• Math background
  • Math background
  • Mathematics background
  • Mathematics background
  • Fundamentals of Statistics
  • Math graphics free wallpaper in free desktop
  • stock vector : math background
  • Math background, discrete math
  • Free Math Background for Powerpoint Slides
  • Royalty-Free (RF) Clipart Illustration of a Math
  • Mathematica -photos of some famous historical figures
  • binary system
  • Pascals triangle.
  • Conic section
  • Welcome to mathematics
  • Taylor polynomials and Taylor series -
  • ... theory of Taylor series to show that the
  • The Unit Circle
  • Graphs of the functions sin(x) and cos(x),
  • GOne of the applications of the zeta function
  • Taylor Series Approximation Illustrated
  • Matematik eğitiminin sağlıklı
  • crazy math(12)
  • crazy math(11)
  • crazy math(10)
  • crazy math(9)
  • crazy math(8)
  • crazy math(7)
  • crazy math(6)
  • crazy math(5)
  • crazy math(4)
  • crazy math(3)
  • crazy math(2)
  • crazy math(1)
  • Mickeys ears are circles which are conic sections

11 شرح قوانين الأسس واللوغاريتمات على e في $\mathbb{R}$

الأربعاء، 24 أبريل، 2013 التسميات:

e يسمي العدد النيبيري أو عدد أويلر وهو ثابت رياضياتي ≈ 2.72 وهو عدد غير نسبي (أي لا يمكن وضعه في صورة كسرية a/b حيث كلاً من a,b أعداداً صحيحة، b ≠ 0 حيث لا يجوز القسمة على الصفر، ولكن لماذا هذا العدد تحديداً ؟ • هذا السؤال يشبه لماذا العدد باي تحديداً ؟ فالعدد باي هو ثابت رياضياتي أيضاً يُفيد بأننا لو قسمنا محيط دائرة (أي دائرة) على قطرها تعطينا نسبة ثابتة دائماً ≈ 3.14 أو 22/7 وكل هذه قيم تقريبية لها فهي عدد غير نسبي، وحسب ظني أن ما دعي للعدد e هو موضوع متعلق بإشتقاق الدالة الأسية لن نتحدث فيه الآن حتى لا تتراكم الموضوعات هنا، فقط كل ما نريد أن نركز عليه هو أن e ثابت رياضياتي يساوي تقريباً 2.72 .

عندما نكتب $e^x$ نطلق على e (الأساس) ، x (الأس) حيث x عدد حقيقي .. ويمكن أن تُقرأ e مرفوع للقوة x أو للأس x .. إذاً ما هو موضوع الأسس ؟ • الأسس جاءت لتبسيط العمليات الحسابية على الضرب (المتكرر) ، والضرب جاء لتبسيط العمليات الحسابية على الجمع (المتكرر) ، ولذا يجب أن ندرك جيداً مفهوم الأس قبل الخوض في البراهين، والإثباتات المقدمة عليها ، فضلاً عن الخوض في حل تمارين متعلقة به .

ومن هنا فصاعداً سنتعامل مع (x) كعدد طبيعي ومن ثم التعميم على الأعداد الحقيقية (حيث الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية IR) من أجل توضيح البرهان فقط حيث أن البرهان سهل جداً لو تعاملنا مع (x) كعدد طبيعي : N = {1,2,3,4,5,...}   l

ما هو الهدف ؟

• الهدف هو الإنتقال من التعامل مع الكائنات الرياضياتية البسيطة إلى كائنات أخرى أعقد منها، حيث تبدو وللوهلة الأولى أنها أقرب إلى الحفظ منها إلى الفهم، ويبدو الأمر أنه مجرد تأديه مجموعة من الخطوات للوصول إلى حل مسألة ما ، ولكن في الحقيقة تعرفنا على هذه القوانين يختصر علينا أداء عمليات حسابية كثيرة جداً، وربما لن نصل الى الحل المطلوب بنفس الكفاءة، ولذا فالرياضيات تهتم بالتعميم كثيراً، ومن قبل ذلك فهي تهتم بالمفاهيم الرياضياتية أكثر ، وهذا شأن أي علم حقيقةًَ لكن لم أجد تعميم بهذا العمق أو وضوح شديد ودقيق جداً في المفاهيم إلا في الرياضيات .

سأبدأ بوضع القوانين (تبعاً للترتيب، حيث كل قانون مبني على الآخر ، ولا يجوز الإنتقال إلى القانون الذي يليه إلا بعد فهم القوانين السابقة له جيداً) وأقوم بشرحها، وفي آخر الموضوع أضعهم جميعاً من أجل التذكير بهم .

أولاً قوانين الأسس :

عندما نكتب $e^5$  فهذا يعني : $e^5 = e \times e \times e \times e \times e $
وبصفة عامة عندما نكتب $e^n$  فهذا يعني أن e مضروبة في نفسها n مرة حيث n عدد صحيح (طبيعي) ، ولكن ماذا لو كان الأسس عدد كسري ؟ .. كي نفهم الأسس الكسرية يجب أن نمر على عدة قوانين منها الجذور ، فعندما نكتب $\sqrt{e}$ فهذا يعني ما العدد الذي لو ضُرب في نفسه مرتين يعطي القيمة e وإذا كتبنا $\sqrt[3]{e}$ فهذا يعني ما العدد الذي لو ضُرب في نفسه ثلاثة مرات يعطي العدد e .. وهكذا بالنسبة للجذور النونية، فيوجد جذر رابع، وخامس، وسادس ... إلخ ، وما علاقة هذا بالأسس الكسرية ؟ • علاقة هذا بالأسس الكسرية أننا سنجد بعد تعرفنا على عدة قوانين أنه يمكن تحويل الجذور إلى أسس كسرية، والعكس صحيح .

نلاحظ أن : $e=e^1$  حيث أن الأس (1) لا يُكتب غالباً .

نلاحظ مرة أخرى :
$e^5 = e \times e \times e \times e \times e = e^{1+1+1+1+1} = e^5$

ماذا نفهم من ذلك ؟

• نفهم أنه عند ضرب الأساسات المتكررة نقوم بجمع الأسس، وهذا هو أول وأهم قانون :

◘ القانون الأول : $e^x e^y = e^{x+y}$  حيث كلاً من x,y أعداداً حقيقية كما سنرى أنه يمكن التعميم على الأعداد الحقيقية بعد فهمنا للأسس الكسرية وعلاقتها بالجذور .

مثال آخر عليه :  $e^3 e^5 = e^{3+5} = e^8$
مثال آخر :
$e^{\frac{1}{2}} e = e^{\frac{1}{2} + 1} = e^{\frac{3}{2}} = e^{1.5}$

وعكس القانون صحيح أيضاً : مثال : $e^5 = e^{2+3} = e^2 e^3$

لقد تعرفنا على ضرب الأساسات المتكررة، بقي أيضاً أن نعرف القسمة، ليكن قسمة e^5  على فهي تعني الآتي :


$\frac{e \times e \times e \times e \times e}{e \times e \times e} = e \times e = e^2$

حيث تم إختصار الثلاث أساسات المتكررة في المقام مع البسط وتبقى لنا أساسين مكررين فقط في البسط، ماذا نفهم من ذلك ؟

• نفهم أنه عند قسمة الأساسات المتكررة نقوم بطرح الأسس، وهذا هو ثاني قانون وهم مهم أيضاً :

◘ القانون الثاني : $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$ وعكس القانون صحيح أيضاً .

مثال :  $\frac{e^7}{e^4} = e^{7 - 4} = e^3$
مثال آخر :
$\frac{e^2}{e^{\frac{1}{2}}} = e^{2 - \frac{1}{2}} = e^{1.5}$
مثال(3) : 
$\frac{e^3}{e^5} = e^{3 - 5} = e^{-2}$

هنا في المثال الأخير حصلنا على أس (سالب) ، فما هو مفهوم الأس السالب ؟ .. كي نفهم مفهوم الأس السالب نعتمد على نفس القانون السابق مباشرة ً .. ، وليكن مثالنا الأخير :

قلنا : $\frac{e^3}{e^5} = \frac{e \times e \times e }{e \times e \times e \times e \times e} = \frac{1}{e^2} = e^{-2}$

حيث تم إختصار الثلاث أساسات من e المكررة في البسط مع ثلاثة في المقام، وتبقى لدينا في المقام اثنين من e ، ولهذا ننتقل إلى القانون الثالث :

◘ القانون الثالث :          $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$

ولكن هذا القانون يفتح علينا قانون رابع (بسيط جداً)

◘ القانون الرابع هو :  $e^0 = 1$

الإثبات : $\frac{e}{e} = e^{1-1} = e^0 = 1$

كيف علمنا أنها تساوي واحد ؟ من خلال وضعنا e/e حيث أن الشيء على نفسه يعطي واحد (شرط ألا يكون صفر على صفر) فوجدنا (بقوانين قسمة الأساسات المتكررة) انها تعطي e^0 ومن هنا جاء القانون .

◘ القانون الخامس      $(x y)^e = x^e y^e$  وعكس القانون صحيح أيضاً، وهو كما رأينا يقوم بتوزيع الأس على ما بداخل القوس .. كي نفهم القانون بشكل مبسط جداً نحلل المسألة الحسابية الآتية :

l                   (2 × 4)³  = (2×4)(2×4)(2×4) = (2×2×2)(4×4×4) = 2³ × 4³

بإختصار وحتى لا نجري هذه الخطوات مرة أخرى علمنا أنه تم توزيع الأس على عملية الضرب التي داخل القوس .

◘ القانون السادس :    $(e^x)^y = e^{x y}$

ويمكن إجراء التجرية على مثال بسيط ، إعتماداً على القانون الخامس (وهو قانون توزيع الأس على القوس) .. والقانون الأول أيضاً هو جميع الأسس للأساسات المتكررة .

$(e^3)^2 = (e \times e \times e)^2 = e^2 \times e^2 \times e^2 = e^{2+2+2} = e^{2 \times 3}$

ولا أريد أن أستعمل طرقاً في التعميم أكثر من ذلك (بدلالة رموز مثلاً بدلاً من الأرقام والأعداد) حتى يتضح المعنى بسهولة .

نأتي الآن إلى كلاً من القانون السابع والثامن، وهما يُفيدان بأنه إذا تساوت الأسس تساوت معها الأساسات، والعكس صحيح أي إذا تساوت الأساسات تساوت معها الأسس (لكن بشروط معينة كما نعلم أن لكل قاعدة إستثناءات) ، وسأستعمل الرمز <==> للدلالة أنه إذا تحقق الطرف الأيمن تحقق معه الطرف الأيسر ، والعكس صحيح .

◘ القانون السابع : $e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$

مثال : إذا وجدنا معادلة فيها : $e^x = e^3$  فهذا يعني أن x = 3
مثال آخر :
$e^{x - 2} = e^3$
  فهذا يعني أن : x - 2 = 3  ومنها x = 5

◘ القانون الثامن : $x^e = y^e \Longleftrightarrow x = y$

مثال : إذا وجدنا $x^e = 3^e$  فهذا يعني أن x = 3

ولا توجد استثناءات في حالة كان الأس أو الأساس e ..

◘ القانون التاسع : $\sqrt[n]{e^x} = e^{\frac{x}{n}}$

هذه هي الأسس الكسرية (والمتعلقة بالجذور) ، ولكن كيف حصلنا على هذه الصغية ؟ للإجابة على هذا السؤال نأخذ مثال على الجذر التربيعي (لتسهيل الملاحظة) : نفرض أن : $\sqrt{e^x} = e^y$ ونوجد قيمة y ... بعد تربيع الطرفين (نعلم أن التربيع يلغي الجذر التربيعي مثل $\sqrt{2^2} = 2)$ ... ولذا بعد تربيع الطرفين نحصل على : $e^x = (e^y)²$

ومنها :  $e^x = e^{2y}$

الأساس = الأساس = e  إذاً الأس = الأس

أي أن :  2y = x   ومنها  $y = \frac{x}{2}$ 

اذاً :  $\sqrt{e^x} = e^{\frac{x}{2}}$   ونفس الشيء تماماً مع بقية الجذور .. ولكن بدلاً أن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين .. نأخذ الجذر النوني للطرفين .

◘ القانون العاشر :   $(\sqrt[n]{e})^x = \sqrt[n]{e^x}$

وإثبات هذا القانون يعتمد على القانون السابق له، والقانون السادس .
$(\sqrt[n]{e})^x = (e^{\frac{1}{n}})^x = e^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{e^x}$
-----------------------------------------------------------------------------------
ثانياً قوانين اللوغاريتمات (وأخص بالذكر اللوغاريتم الطبيعي ln)

ما هو مفهوم اللوغاريتمات ؟

• لن أخوض في تفاصيل كثيرة يُمكن أن تشتت التفكير، ولكن سأوضح في عجالة مفهوم اللوغاريتمات (لا سيما اللوغاريتم الطبيعي Ln)

عندما نحل مسألة من هذا النوع :  $e^x = 2^3$  وهي معادلة تعني ما هي القوي التي أرفها إلى العدد e تعطيني 2³ (أو 8) .. لو حلحلنا هذه المعادلة بقوانين الأسس فقط فلن يتأتي لنا ذلك؛ لأن الأس لا يساوي الأس، ولا أساس يساوي الأساس .. إذا ما الحل هنا ؟ الرياضيات لا تعني كثيراً بالحل (العددي) في مثل هذه المواقف، والمقصود بالحل العددي أي أن أقول x = كذا (أي كذا عدد حقيقي، ولكن 2 ، نصف أي شيء) ، ولكن يمكن القول بأن x تعطيني كائن رياضياتي (ذو قيمة عددية طبعاً لكن لا نعرفها تحديداً) وهذا الكائن الرياضياتي أطلقنا عليه اللوغاريتم، وبعد أن نعطي لهذا اللوغاريتم (ماهيته - أي صفاته وخصائه التي تنطبق عليه) .. أما إعطاء القيمة العددية فيمكن اللجوء إلى فرع في الرياضيات يسمى التحليل العددي، بحيث هذا التحليل يمكن أن يعطينا قيمة تقريبية لـ x ، ولكن هذا حالياً غير مهم، فالأهم هو أن نضع x في قالب أو كائن رياضياتي يسمى (لوغاريتم) .

ندقق مرة ثانية في العبارة السابقة، فنجد أن قيمة x هي العدد الذي لو كان (أس) للأساس e لأعطى القيمة 2³ (فقط هكذا انتهى الموضوع رياضياتياً !) هذه هي قيمة x (ذهنياً) ، ولكن رمزياً نعبر عنها باللوغاريتمات، فنقول : $x = log_e(2^3) = \ln(8)$ 

وتقرأ : لوغاريتم 2 أس 3 للأساس e أو لوغاريتم 8 للأساس e أو اللوغاريتم الطبيعي للعدد 8 ، وهذا اللوغاريتم (أي الطبيعي) نظراً لشهرته الكبيرة في الرياضيات تم إختصاره إلى Ln .. وإلا فيوجد لوغاريتمات لأساسات أخرى غير e (يمكن أن نضع عوضاً عنها أي عدد حقيقي موجب) .. ربما يسأل سائل وماذا نستفيد من ذلك ؟

• الإستفادة الحقيقية تكون في القوانين المستنتجه على اللوغاريتمات (طبعاً بعد مفهومنا له جيداً) بحيث يمكن إختصار العبارات الرياضياتية المعقدة باللوغاريتمات، ومن ثم تحويل اللوغاريتم الى قيمة عددية كما يحلو لنا الأمر (إذا الخلاصة هي أننا نتعامل مع بنى رياضياتية) .

ولذا فأول قانون (وهو قانون لا يستند إلى قوانين أخرى لأنه قانون وضعي، أي وضع ليحل مشكلة لا أكثر تبعاً لمفهوم طبقناه عليه) .

◘ القانون الأول :  $ln(x) = y \Longleftrightarrow x = e^y$

وهذا القانون يعني التحويل من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية، والعكس ، وهو يعني إذا كان : $\ln(x) = y$ فإن $x = e^y$ والعكس صحيح .. حيث أن الطرف الأيسر يترجم الأيمن، والعكس صحيح .. ولنبدأ من الطرف الأيمن، والذي يعني ما العدد (y) الذي لو كان أساً للأساس e يعطينا القيمة x فنجد أنه يفسر الجهة اليسرى تماماً فـ y عبارة عن اللوغاريتم الطبيعي للعدد x .. ولكن كيف نحفظ هذا القانون من أجل التعامل به بشكل سريع في العمليات الجبرية ؟ .. الصيغة اللوغاريتمية هي ln(x) = y  كي نحولها الى صيغة أسية نأتي بـ e (الأساس) ونجلها أساساً لعدد y (أي نعكس فنحول y من أساس الى أس للأساس e) وطبعاً هذه الخطوة تتطلب منا الغاء اللوغاريتم، فالصيغة الأسية قد حلت مكانه .

إذاً (وطبقاً للقانون السابق) كيف نحول العكس ؟ أي من صيغة أسية إلى صيغة لوغاريتمية ؟

ليكن لدينا : $x = e^y$  والتي ينبغي أن تعطي $\ln(x) = y$ طبقاً للتعريف (أو القانون الأساسي الأول) .. نحن الآن نتعامل مع معادلة :

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر

هذا يعني أن : ما يُطبق على الطرف الأيمن يطبق بالمثل على الطرف الأيسر ، فإذا طرحنا 1 من الطرف الأيمن من المعادلة نطرح 1 أيضاً من الطرف الأيسر ، وهكذا بالنسبة للجمع ، والقسمة والضرب ، بل وجميع العمليات الجبرية بما فيها اللوغاريتمات وهذا أمر طبيعي لا يحتاج توضيح .

لدينا : $x = e^y$  فنقول بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين :

$\ln(x) = \ln(e^y)$    ولكن التعريف الذي وضعناه يقول : $\ln(x) = y$

هذا يعني أن : $\ln(e^y) = y$  وهنا نستخلص قانونين، لكن بعد أن نعرف الخطوات التي حدثت ... ln(e^y)  = yln(e) = y*1 = y  إذا أثبتنا أن ln(e) = 1  فتكون خطوة وضع الأس مضرباً في اللوغاريتم صحيحة، وبالفعل فإن :  $\ln(e) = log_e(e) = 1$ كيف عرفنا أنه يساوي 1 ؟ نحوله إلى الصيغة الأسية بهذه الطريقة : نفرض أن : ln(e) = y ومنها e = e^y .. فهنا نجد أن الأساس = الأساس .. إذاً الأس = الأس .. أي أن : y = 1  إذاً : ln(e) = 1  ,,, ونخرج من هذا (طبعاً على عجالة في الشرح) بقانونين مهمين في اللوغاريتمات أيضاً .

◘ القانون الثاني : $\ln(e) = 1$

◘ القانون الثالث :  $\ln(x^e) = e \ln(x)$    

مثال آخر على القانون الثالث :  $\ln(2^3) = 3 \ln(2)$  والعكس صحيح .

وأيضاً طبقاً لهذا القانون فإن : $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -\ln(e) = -1$

حيث تم إستعمال القانون الثالث، وقاعدة من قوانين الأسس، وهي :     $\frac{1}{e} = e^{-1}$

يمكن أن نخرج من القانونين السابقين بنتيجة وهي أن : Ln(1) = 0  حيث : $\ln(1) = \ln(e^0) = 0 \times \ln(e) = 0 \times 1 = 0$
بقي لنا أشياء يسيرة جداً، وهي إجراء العمليات الحسابية (الأربعة) على اللوغاريتمات (الجمع ، الطرح ، الضرب ، القسمة) .

◘ القانون الرابع : $\ln(x) + \ln(y) = \ln(x y)$ 

مثال : $\ln(2) + \ln(3) = ln(2 \times 3) = \ln(6)$

كي نتحقق من صحة هذا القانون نقوم بتحويل اللوغاريتمات إلى الصورة الأسية، وبعدها نحولها مرة أخرى الى الصيغة اللوغاريتمية، مستخدمين في ذلك قوانين الأسس، وقوانين اللوغاريتمات الثلاثة السابقة الذكر .

نفرض أن $\ln(x) = m$  ومنها  $x = e^m$
نفرض أن
$\ln(y) = n$
  ومنها  $y = e^n$

بالتعويض في الطرف الأيمن ...

$\ln(x y) = \ln(e^m e^n) = \ln(e^{m+n}) = (m+n) ln(e) = m + n$

ولكن : $m + n = \ln(x) + \ln(y)$ وهذا شيء كافٍ لإثبات صحة المتطابقة (أي القانون الرابع) حيث أثبتنا أن الطرف الأيمن يحقق الطرف الأيسر) .. وهذا القانون هام جداً حيث أنه يحول من جميع إلى ضرب والعكس صحيح، ولكن ينبغي ملاحظة انه في حالة الضرب يكون هناك ln واحدة فقط، اما في حالة الجمع فيوجد ln لكل حد ... ملاحظة أخرى هذا القانون ينطبق على أكثر من حد .

مثال :  $\ln(x) + \ln(y) + \ln(z) = \ln(x y z)$ ,طبعاً عكس القانون صحيح .

◘ القانون الخامس : $\ln(x) - \ln(y) = \ln(\frac{x}{y})$

وإثباته سهل جداً بمجرد الإعتماد على القانون الذي قبله، وكذلك عكس القانون الثالث حيث $\ln(y^{-1}) = -\ln(y)$  هذا يعني الآتي :

$\ln(x) - \ln(y) = \ln(x) + \ln(y^{-1}) = \ln(x) + \ln(\frac{1}{y}) = ln(\frac{x}{y})$

حيث تم استعمال قاعدة جمع اللوغاريتمات حيث ضربنا x في مقلوب y .

اما عند ضرب اللوغاريتمات فلا نصنع شيء، فمثلاً ln(x) ln(y) l  ليس لها قانون محدد ، ولكن يمكن تطبيق القوانين سابقة الذكر عليها ، فمثلاً يمكننا القول بأن : $\ln(x) \ln(y) = \ln(x)^{ln(y)}$    حيث تم تطبيق القانون الثالث عليها..وهكذا .

◘ القانون السادس : $\frac{\ln(x)}{\ln(y)} = log_y{x}$

,هذا القانون كما رأينا قد الغى تماماً اللوغاريتم الطبيعي وأعطانا لوغاريتم آخر للأساس y (ولا يستعمل هذا القانون الا اذا تطلب الأمر ذلك) .. وإثباته يكون بتحويل كلاً من ln(x) , ln(y) إلى الصيغة الأسية، ثم العكس .
بالطبع يوجد قوانين أخرى لكن هذه أهمها ...

ولكن هناك عدة ملاحظات :

الملاحظة الأولي : عندما يمكن تبديل x , y بأي دالة، مثلاً يمكن أن نضع بدلاً من x دالة أخرى في x أيضاً ، وكذلك بالنسبة لـ y .

الملاحظة الثانية : اذا كنا نتعامل مع اللوغاريتمات ذات القيم الحقيقية فلا يمكن أن يكون ما بداخل اللوغاريتم عدداً سالباً ...

مثال : $\ln(-n)$  حيث n عدد طبيعي موجب ... ماذا يساوي ؟

نحوله الى الصيغة الأسية، فنفرض أنه يساوي y .

$\ln(-n) = y$   ومنها :  $-n = e^y$

ولكن $e^y$ يجب أن تعطي عدداً موجباً دائماً من أجل y عدد حقيقي، يمكن رسم دالة $e^x$ والتحقق من ذلك بنفسك، ولذا فلا حل هنا (في مجموعة الأعداد الحقيقة) .

الملاحظة الثالثة : $\ln(0)$ غير معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية، ولكن يتعامل معها البعض على أنها سالب مالانهاية .

الملاحظة الرابعة : يمكن الإعتماد على هذا الموقع للتأكد من الحلول :


بوضع صيغة المعادلة (مثلاً) في مربع البحث .

مما سبق فإن أهم : {قوانين الأسس واللوغاريتمات على e} هي :

◘ $e^x e^y = e^{x+y}$
◘ $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$
◘ $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$
◘ $e^0 = 1$
◘ $(x y)^e = x^e y^e$
◘ $(e^x)^y = e^{x y}$
◘ $e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$
◘ $x^e = y^e \Longleftrightarrow x = y$
◘ $\sqrt[n]{e^x} = e^{\frac{x}{n}}$
◘ $(\sqrt[n]{e})^x = \sqrt[n]{e^x}$
◘ $ln(x) = y \Longleftrightarrow x = e^y$
◘ $\ln(e) = 1$
◘ $\ln(x^e) = e \ln(x)$
◘ $\ln(x) + \ln(y) = \ln(x y)$
◘ $\ln(x) - \ln(y) = \ln(\frac{x}{y})$
◘ $\frac{\ln(x)}{\ln(y)} = log_y{x}$

                         {مسائل تطبيقية}
1) بين أنه : $\ln(e^2) - 2\ln(\frac{1}{e}) - 4 = 0$

• الحل : $\ln(e^2) - 2\ln(\frac{1}{e}) - 4 = 2\ln(e) - 2\ln(e^{-1}) - 4 \\ = 2\ln(e) + 2\ln(e) - 4 = 2+2-4 = 0$

2) حل في $\mathbb{R}$$\ln(3x+2) = 1$

• الحل :
$3x+2 = e^1 = e \Longrightarrow 3x = e - 2 \Longrightarrow  x = \frac{e - 2}{3}$

3) حل في  $\mathbb{R}$ المتراجحة : $e^{2x+5} - e^{4x} > 0$

الحل : نقوم أولاً بإيجاد حالة المساواه كالآتي :

$e^{2x+5} - e^{4x} = 0 \Longrightarrow e^{2x+5} = e^{4x} \\ 2x+5 = 4x \Longrightarrow 2x = 5 \Longrightarrow x = 2.5 $

والآن نشأ لدينا فترتين أساسيتين وهما : $]-\infty , 2.5[$ و الثانية $]2.5 , \infty[$ 
نأتي في الفترة الأولي ونختر أي عدد ينتمي إليها، وليكن 0 ونعوض به، ونتحقق هل هو يحقق
المتراجحة ؟ بعد التعويض بـ x = 0  نحصل على : $e^5 - e^0 = e^5 - 1$ وهذه القيمة
بلا شك أكبر من الصفر ، وهذا يعني أن الفترة $]-\infty , 2.5[$ تحقق المتراجحة .. بالمثل
نأتي في الفترة الثانية، ونختر منها عدد ينتمي إليها وليكن 3 .. وبعد التعويض نحصل على
الآتي : $e^{11} - e^{12}$  وهذه قيمة سالبة بلا شك حيث طرحنا قيمة صغيرة من قيمة
أكبر منها، ونعلم ان السالب لا يكون أكبر من الصفر ، وبالتالي هذه الفترة لا تحقق المتراجحة،
فيكون الحل هو : x < 2.5           

4) نعتبر الدالة العددية f دالة عددية معرفة على $]0 , \infty[$ بما يلي : $f(x) = 2\ln(x) + x$

a) إحسب كلاً من $f(1)$ و $f(e)$
b) إحسب نهاية الدالة عندما تؤول x الى الصفر ، وعندا تؤول الى مالانهاية .
c) بين أنه لكل x من $]0 , \infty[$ لدينا : $f^\prime(x) = \frac{2+x}{x}$
ثم إدرس إشارة المشتقة الأولى، وإبحث إطراد الدالة .
d) بإستعمال منحنى f حدد حلول المتراجحة $2ln(x)+x-1 > 0$
-----------------------------------------------------------

• المطلوب الأول : $f(1) = 2\ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$
و : $f(e) = 2ln(e) + e = 2+e$

المطلوب الثاني : يمكن إيجاده هندسياً (من خلال الرسم) ، أو إيجاده جبرياً (بقوانين النهايات الأساسية)، ولكن هندسياً نجده
أسهل، حيث أنه من الواضح جداً من خلال الرسم أن x عندما
تؤول الى الصفر فإن f تؤول إلى سالب مالانهاية ، وأن x
عندما تؤول إلى مالانهاية فإن f أيضاً تؤول الى مالانهاية .

• المطلوب الثالث : يريد منا إيجاد المشتقة الأولى للدالة، وهنا لا بد من معرفة قانون إشتقاق اللوغاريتم الطبيعي .. مع علمان أن مشتقة x هي 1 .

اذا كانت $f(x) = \ln(x)$ فإن $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$ ولن الجأ إلى البرهان لأنه يحتاج إلى موضوع منفصل وحده .

نفهم مما سبق أن : $f^\prime(x) = \frac{1}{x} + 1 = \frac{2+x}{x}$ وطبعاً هذا بعد توحيد المقامات .
ونجد أن إشارة المشتقة الأولى موجبة دائماً (أي بعد التعويض بـ x عدد موجب فتعطي كسراً قيمته موجبة أيضاً،
وهذا لأن مجال الدالة ينحصر في فترة موجبة من 0 الى موجب مالانهاية .. أما إطراد الدالة، فهي تزايدية على مجالها
وهذا يظهر واضحاً من الرسم، بأن نأتي إلى أقصى شمال الدالة، ثم نسير يميناً، فنجد أنه كلما سرنا يميناً فإن المنحنى
يصعد الى أعلى، وهذا دلل كافي على أن الدالة تزايدية على مجالها .

المطلوب الرابع : يمكن تحويل المتراجحة إلى : 2ln(x) + x > 1 والتي تعني : f(x) > 1
من خلال الرسم يظهر الحل وهو عندما تكون :  x > 1
===================================================
5) حل المعادلة : ln(x-2) + ln(x+2) - ln(6x-13) = 0

الحل : نحول 0 الى ln(1) ونستعمل قوانين اللوغاريتمات المعروفة، فتطعينا الشكل التالي .

$$ln(\frac{(x + 2)(x - 2)}{6x - 13}) = ln(1)$$

وهذا يفيد بأن : $\frac{(x + 2)(x - 2)}{6x - 13} = 1$

مما يعني أن : $(x + 2)(x - 2) = 6x - 13 $

وبعد فك الأقوس (وتجميع الحدود المشابهة) نحصل على الآتي : $x^2 - 6x + 9 = 0$
ولكن هذا عبارة عن مربع كامل (يمكن ان نعرف ذلك من خلال التحلل) .. فيعطي :
$(x-3)^2 = 0$  مما يعني أن : x - 3 = 0   ومنها :  $x = 3$

 
تابع القراءة

1 ما هو إثبات صيغة كاردان، وكيفية وضع الصيغة في صورة مبسطة ؟

السبت، 20 أبريل، 2013 التسميات: ,

يمكن ذكر الخطوات سريعاً، مع العلم أنه يفضل أن تكون ملم بقوانين الأعداد المركبة الأساسية،
مثل الجذور التكعيبية للواحد الصحيح وهي 1 ، أوميجا ، أوميجا² وإذا لم تكن تعرفها يمكنك
البحث عنها في الإنترنت، لأن هذا يساعدنا في حل مسائل من هذا النوع  z³ = a .

الصيغة العامة للمعادلة التكعيبية هي : $ax^3+bx^2+cx+d=0$
وبفرض  x = y + t  .

هكذا :  $a(y+t)^3+b(y+t)^2+c(y+t)+d=0$

ولكن حتى أختصر عليك الأمور .. وُجد أنه (بعد التعويض) أن القيمة المناسبة
لـ t هي : $\frac{-b}{3a}$ والتي تجعل معامل y² صفراً ..


أي نضع : $x = y - \frac{b}{3a}$
وبعد التعويض وتنظيم الحدود وتنسيقها ينشأ لدينا المعادلة الآتية في y  .

$$y^3+ky+m=0$$

حيث : $k = \frac{-b}{3} + \frac{c}{a}$  و  $m = \frac{2b^3}{27a} - \frac{bc}{3} + \frac{d}{a}$

وفي حقيقة الأمر إذا أردت أن تحصل على صيغة كاردان في صورة مبسطة، فلا
يهمنا قيمة كلاً من k , m بدلالة معاملات المعادلة التكعيبية  حيث أننا علمنا هكذا
أن k هي معامل y وأن m هي الحد المطلق، وهذا - طبعاً - بعد التعويض عن x = y - b/3a .

والآن نكرر الخطوة سابقة الذكر مرة ثانية ...
بوضع y = f + g

$$(f + g)^3 + k(f + g) + m = 0$$

وبعد فكك إياه (وتجميع الحدود المشابهة نحصل على الآتي)

$$f^3 + g^3 + (3fg + k)(f + g) + m = 0$$

ثم نضع شرطاً للتبسيط وهو أن نضع : $(3fg + k) = 0$
فكأننا نريد أن نقول y = f + g  والتي تجعل : $(3fg + k) = 0$
ومنها نحصل على : $fg = \frac{-k}{3}$  بتكعيب الطرفين : $f^3g^3 = \frac{-k^3}{27}$
وقد قمنا بتكعيب الطرفين حتى يسهل حلها مع المعادلة الثانية التي
نتجت بعد وضعنا $(3fg + k) = 0$  وهي$f^3 + g^3 = -m $

وبعدها يتكون لدينا هذا النظام في f³ , g³ .

$$f^3 + g^3 = -m \qquad \Longrightarrow (1)$$
$$f^3g^3 = \frac{-k^3}{27} \qquad \Longrightarrow (2) $$

يمكنك حلها بطريقة التعويض، أو بأن تفرض متغيراً z
(ونكون المعادلة التربيعية بمعلومية مجموع الجذرين وحاصل ضربهما)

$$z^2 + mz - \frac{k^3}{27} = 0$$

الحل يكون بالقانون العام للمعادلة التربيعية ... نوجد المميز أولاً لأنه يعتبر
مرحلة هامة في خطوات الحل، والتي سنحدد منها ما هو عدد الحلول الحقيقية
والمركبة في حالة كان المميز أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر أو يساوي
صفراً .. نعطى رمزاً للمميز . وليكن $\Delta$ .


$$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$

وللتذكرة مرة أخرى m هي الحد المطلق ، k هي معامل y .

ومن هنا فإن : $g^3 = \frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2}$ and $f^3 = \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2}$

ومنها : $g = \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$ and $f = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$

ولكن هذا مجرد حل أول فقط، فكما تعلم أن معادلة من هذا النوع z³ = a
لها ثلاث حلول وهي (حسب ما ذكرنها) : $\sqrt[3]{a}$ و $\omega \sqrt[3]{a}$ و $\omega^2 \sqrt[3]{a}$ . حيث :
$$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i}$$
$$\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{-2\pi}{3}i}$$

من هنا فإن :

حلول f هي : $\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

حلول g هي : $\frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

ولكن هذه الحلول تنتج لنا 9 حلول (مع إهمال الترتيب كزوج مرتب) ممكنة
، ولكن إكتشفنا بعد ذلك أن هناك ثلاثة منهم فقط يحقق المعادلة (1) ، (2) معاً .
وكانت هذه الحلول هي كالتالي :

$$f \qquad \qquad ,  \qquad \qquad  g$$

$$\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega^2\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$

ولكن y = f + g   و  x = y - b/3a   ومن هنا نجد أن حلول x هي :

$$x_1 = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_2 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_3 = \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$

والذي جعلني أفكر في التبسيط بهذه طريقة المنظر الذي هالني من كبر
القانون (على ويكيبيديا) بشكل مفرط فيه جداً (انظر هنا - دالة تكعيبية) .
ولهذا ادعو كل من يهمه الأمر أن يجرب هذه الصيغة مرات متعددة في
حل معادلات تكعيبية متنوعة كي يتثبت بنفسه من صحته .

                                {عدد و طبيعة الحلول تبعاً لقيمة المميز}

بعد تحويل المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الصورة : $y^3 + ky + m = 0$

حيث المميز : $$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$
                                      
                           {في حالة كان المميز > 0}    

• حل حقيقي، وهو $x_1$ + حلان مركبان .

                           {في حالة كان المميز < 0}

• جميع الحلول حقيقية (بدون تكرار) .

                          {في حالة كان المميز = 0}

• جميع الحلول حقيقية (مع تكرار 2 منهم على الأقل، إن لم يكن جميعهم) .

نحصل على حلين مكررين فقط عندما :$m^2 = \frac{-k^3}{27}$ حيث : $x_2 = x_3 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m} + \omega^2 \sqrt[3]{-m}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$
نحصل على الثلاثة حلول مكررة عندما : $m = k = 0$ حيث : $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{-b}{3a}$

والصيغة لديك ويمكنك التأكد من ذلك بنفسك ...

وفي الحقيقة إذا تأكد لنا في معادلة تكعيبية أن :  $m = k = 0$
فهذا يعني أننا نتعامل مع منشور ذات الحدين ذي الأس 3 ، ولذا
يمكن تحويل المنشور إلى الصيغة : $(x + \frac{b}{3a})^3 = 0$

                                     {قوانين مساعدة}

• $Z = a + ib = |z| [\cos(t)+i\sin(t)] = |z| e^{it}$

• $[e^{it}]^r + [e^{-it}]^r \,\, \in \,\, \mathbb{R}$

de Moivre's formula
تابع القراءة

0 ما هي الطريقة العامة لمقارنة دالتين على فترات جزئية محددة ؟

الثلاثاء، 16 أبريل، 2013 التسميات: ,
مثلاً :f(x)=x-x^0.5 معرفة على من الصفر إلى المالانهاية
الدالة g(x)=(x^0.5)-1 معرفة من الصفر إلى المالانهاية
وf أكبر او تساوي g أياً كانت x من المجال السابق


نتبع الخطوات الآتية (في عجالة بدون تفاصيل) .

1- نوجد المجال المشترك بين الدلتين .
2- نوجد نقاط تقاطع الدالتين .
3- نأتي على أقصى يسار المجال المشترك، ونقسمه إلى فترات جزئية حسب نقاط التقاطع .. ثم  نختبر كل فترة من هذه الفترات، بأن نعوض بقيمة تنتمى اليها (شريطة ألا تكون هذه القيمة عبارة عن نقطة تقاطع الدالتين)، فإذا كانت القيمة الأكبر من نصيب أحدى الدالتين، فإن الدالة ذات النصيب الأكبر تكون أكبر من الدالة الأخرى في هذه الفترة، وحالة المساوة تتحق إذا كانت إحدى طرفي الفترة نقطة تعبر عن تقاطع الدالتين .. ونفس الشيء إذا حدث العكس .


       {نأخذ المثال الذي طرحته أنت}

سأكتبه بالعربي ...

د(س) = س - جذر(س) ، ق(س) = جذر(س) - 1

كلاً من مجال الدالة الأولى والثانية معرفة على الفترة ]∞ , 0] , ولذلك يكون هو نفسه المجال المشترك بين الدالتين .

ثانياً : نوجد نقاط التقاطع للدالتين بأن نضع د(س) = ق(س) ، فنجد أنها تكون عندما  س = 1  .

وبناء على هذا يتم تقسيم المجال المشترك إلى الفترات الجزئية الآتية :

الفترة الأولى : [1 , 0]
الفترة الثانية : [∞ , 1]

الخطوة  والأخيرة : (وهي التعويض في كل فترة في كلتا الدالتين من أجل المقارنة ..) .

في الفترة الأولى نأخذ 0.5 (على سبيل المثال فقط حيث أنه عدد مناسب وفي الوقت ينتمي للفترة) .. ونعوض به في كلتا الدالتين .. فنجد أن الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر ، ومن هنا فإن د > ق في الفترة [1 , 0]   .. ونفس الشيء نصنعه مع الفترتين المتبقيتين، فنجد أنه دائماً الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر (فيما عدا القيمة 1 طبعاً ، فهما متساويان عندها) .

النتيجة هي : د(س) ≥ ق(س)

==========================================================
مثال آخر (لتأكيد المعلومة فقط)

ليكن لدينا :  f(x) = e^x   ,  g(x) = x

المجال المشترك بينهما هو IR (جميع الأعداد الحقيقة) .. ولا توجد نقاط تقاطع ، وبناء على هذا ينشأ لدينا فترة وحيدة وهي [∞ , -∞] أو الفترة IR .. إختر أى عدد (حقيقي) وليكن الصفر .

f(0) = 1  ,  g(0) = 0  

النتيجة :  f(x) > g(x)  or  e^x > x

لجميع قيم x الحقيقية .  



تابع القراءة

1 كيف نوجد المساحة المشتركة بين تقاطع الدائرتين في هذا المثال ؟

الاثنين، 8 أبريل، 2013 التسميات:
دائرتان طولي نصفى قطراهما 8 سم . 15 سم والبعد بين مركزيهما 17 سم اوجد مساحة المنطقة المشتركة بين الدائرتين لاقرب سم²
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------








تعتمد الفكرة على قانون مساحة القطعة الدائرية..

                هـ - جاهـ
القانون هو : ـــــــــــــــــ نق²
                    2

أنظر الرابط : http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B7%D8%B9%D8%A9_%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D9%8A%D8%A9

حيث نق هي نصف قطر الدائرة، هـ هي زاوية القطاع الدائري الحاوي للقطعة الدائرية .. وهذا ما نحن بصدده، فنحن لدينا نق لكلتا الدائرتين، ويبقى فقط إيجاد هذه الزاوية في كل قطعة، ولتكن مساحة القطة الدائرية الأولى م1 ، والثانية م1 .

مساحة تقاطع الدائرتين = م1 + م2

المهمة الآن هي إيجاد الزاوية هـ1 ، هـ2

الحل : المثلث أ هـ1 هـ2 قائم الزاوية في أ  .. لماذا ؟

ببساطة طبق عكس نظرية فيثاغورث .. لديك :
نق1 = 15  ، نق2 = 8 والمسافة بينهما = 17
وبحسبة بسيطة نستنتج أن : ²17 = ²8 + ²15 إذن المثلث أ هـ1 هـ2  قائم الزاوية في أ .

لديك نظرية تقول : نصف القطر عمودي على الوتر وينصفه ..
ونظرية أخرى تقول : في المثلث المتساوي الساقين فيه العمود الساقط على القاعدة ينصف الزاوية المقابلة له.

من النظريتين السابقتين نستنتج أن قياس الزاوية هـ1 = 2× قياس(أ هـ1 هـ2)

                                           المقابل        8
من حساب المثلثات : جا(هـ1\2) = ــــــــــــ = ــــــــــــ
                                           الوتر           17

                              8                                  8
ومنها  هـ1\2 = جا^-1(ــــــــ)   اذاً : هـ1 = 2جا^-1(ــــــــــ)
                             17                                 17

بنفس الطريقة (وحتى لا نعيد نفس الفكرة) :

                    15
هـ2 = 2جا^-1(ـــــــــ)
                    17

ملحوظة : الزوايا بالتقدير الدائري .. ولذلك عند الحسابات يجب أن تقوم بضبط الآلة الحاسبة على التقدير الدائري أولاً .. (وهذه الخطوة هامة جداً)

       هـ1 - جا(هـ1)               2جا^-1(8\17) - جا[2جا^-1(8\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²15
              2                                           2

≈ 16.8  سم²


       هـ2 - جا(هـ2)               2جا^-1(15\17) - جا[2جا^-1(15\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²8
              2                                           2

م2 ≈ 42.6 سم²


مساحة تقاطع الدائرتين = م1+م2 ≈ 16.8 + 42.6 ≈ 59.4 سم²
تابع القراءة

1 إثبت أن : جا(54) - جا(18) = 0.5

التسميات:
• لدينا المتطابقة الآتية :  جا3س = 3جاس - 4جا³س

• يمكن إيجاد جا18 بدون آلة حاسبة (اضغط هنا - إيجاد جا(18) بدون آلة حاسبة)

                      -1 + جذر(5)
بوضع : جا18 = ـــــــــــــــــــــ
                             4

                                  --------------------الحل--------------------

جا(54) - جا(18) = جا3(18) - جا(18) = 3جا(18) - 4جا³(18) - جا(18)

= 2جا(18) - 4جا³(18) = 2جا(18)[1 - 2جا²(18)]

     -1+جذر(5)          -1+جذر(5)
= 2 ــــــــــــــــــــ [1 - 2(ـــــــــــــــــــ)²]
          4                         4

   -1+جذر(5)        6 - 2جذر(5)      
= ــــــــــــــــــــ [1 -  ــــــــــــــــــــــــــ]
       2                      8

   جذر(5) - 1      جذر(5) + 1
= ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
       2                    4

     5 - 1          4
=  ــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
       8            8 
 
===========================================
طريقة أخرى للحل :
 
هذه طريقة أخرى للحل، بإستعمال المتطابقات الآتية :
                             س+ص       س-ص
• جاس - جاص = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2               2
• جا2س = 2جاس جتاس

• جتاس = جا(90 - س)

--------------------- الحل -----------------------

                            54 + 18     54 - 18
• جا54 - جا18 = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2              2
= 2جتا36 جا18    ==> (1)

ولكن :• جا36 = 2جا18 جتا18

                  جا36
ومنها جا18 = ــــــــــــــ    بالتعويض في (1)
                  2جتا18

                                      جا36
جا54 - جا18 = 2جتا36 × ــــــــــــــ
                                    2جتا18

البسط = 2جا36 جتا36 = جا72   (قانون ضعف الزاوية)

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ         ==> (2)
                            2جتا18

ولكن : • جتا18 = جا(90 - 18) = جا72

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ = ½
                            2جا72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
تابع القراءة
 
mathematics problem solving © 2010 | تعريب وتطوير : سما بلوجر | Designed by Blogger Hacks | Blogger Template by ياعرب