اوجد باقى قسمة د(س) على (س² - س - 2) اذا علمت ان ..

السؤال : اذا كان باقى قسمة د(س) على (س-2)
هو 19 وكان باقى قسمة د(س) على (س+1) هو -5
فما هو باقى قسمة د(س) على س² - س - 2  ؟

ملحوظة : د(س) = س³ + 5س + 1

الإجابة : نحلل اولاً : س² - س - 2 = (س-2)(س+1)
الآن عند قسمة حدودية من الدرجة الثالثة على حدودية
من الدرجة الثانية فإنه وان وجد باقى للقسمة فإنه يكون
من الدرجة الأولى .

ولكن القاعدة هى ان :

المقسوم = المقسوم عليه×(خارج القسمة) + الباقى

نفرض ان خارج القسمة دالة فى س ونرمز لها بالرمز هـ(س)
وان باقى القسمة معادلة من الدرجة الأولى ::::
وهو : أس + جـ  ( الصورة العامة لمعادلة الخط الخط المستقيم)
حيث كلاً من أ ، جـ ثوابت .. الآن نعيد تعريف د(س)
ملحوظة : د(س) هنا هى المقسوم .

د(س) = (س²-س-2)×هـ(س) + أس+جـ

د(2) = (4-2-2)×هـ(س) + 2أ+جـ = 19

ومنها  2أ+جـ = 19       ..(1)

د(-1) = (1+1-2)×هـ(س) - أ+جـ = -5

ومنها :  -أ+جـ = -5         ..(2)

بحل (1) ، (2) آنياً ينتج المطلوب ، بعد ضرب
معادلة (2) فى 2

2أ+جـ = 19       ..(1)

-2أ+2جـ = -10       ..(2)
ــــــــــــــ بالجمع ـــــــــــــــــ

3جـ = 9   ومنها جـ = 3

بالتعويض فى معادلة (2)

-أ+جـ = -5         ..(2)

-أ + 3 = -5   ومنها أ = 8

اذاً باقى قسمة د(س) على س² - س - 2

= 8س + 3


ملحوظة : كان يمكن حلها بسهولة بالقسمة المطولة بدون حتى
وجود مثل هذه المعطيات فى السؤال .. كلآتى :-

نفرض وجود ثابت أ بحيث س³ + 5س + (1 - أ) يقبل القسمة
على س² - س - 2   ويكون الحل بسيط جداً كالآتى :-

  س + 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س³ + 5س + (1 - أ)          |   س² - س - 2                               
                                       ــــــــــــــــــــــــــــ
س³ - س² - 2س
ــــــــــ بالطرح ــــــــــــــ
س² + 7س + (1 - أ)
س² - س - 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الى هذا الحد ونقف ثم نسأل متى يكون باقى القسمة = 0  ؟
الإجابة عندما : 7س + (1 - أ ) = - س - 2 
الآن نوجد أ بدلالة س ينتج الباقى المطلوب .

1 - أ = -8س - 2   ومنها  - أ = -8س - 3   بضرب الطرفين فى -1

أ = 8س + 3