اثبات نظرية اقليدس للمثلث القائم الزاوية

لاحظ ان :
:: مساحة المثلث القائم abc
½ حاصل ضرب طولى ضلعى القائمة
وهما ab ، ac 

ايضاً مساحة المثلث القائم = ½ القاعدة × الإرتقاع
من 1 ، 2 ينتج ان :

ac × ab = ah × cb


:::: برهان بقية العلاقات عن طريقة تشابه المثلثات
انظر الشكل فى المراجع:::::::

حيث ان المثلث ahb يشابه المثلث cab
من خلال التشابه ينتج ان :

 ab/hb = cb/ab

حاصل ضرب الطرفين = حاصل شرب الوسطين
وينتج ان :

ab² = bh × bc

بنفس الطريقة المثلث ahc يتشابه مع المثلث bac
ومن التشابه ينتجه ان :

  ac/hc = bc/ac

ac² = ch × cb


ملحوظة هناك عدة اثباتات لهذه القاعدة، ممكن تثبتها ايضاً
بمبرهنة فيثاغورث، لكنى أخترت اسهلهما .