اثبات ان مجموع اعداد فردية مرتبة ترتيب جيد = مربع كامل

1 =1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
1+3+5+7+9+11=36
1+3+5+7+9+11+13=49
1+3+5+..................+(2ن-1) = ن²

هل تعلم اين استوقفك البرهان ؟؟
البرهان استوقفك فى عند هذه الصيغة :
1+3+5+..................+(2ن-1) = ن² لماذا وضعت بهذا الشكل ؟؟

لنكن اكثر وضوحاً : لاحظ ان جميعها اعداد فردية متتالية، والصورة العامة للعدد
الفردى اما ان توضع على هذه الصيغة (2ن+1) او (2ن-1) نستخدم مين فيهم ؟؟
نستخدم الثانية لماذا ؟؟ لأنها صحيحة فى هذه الحالة وتعبر عن المجموع اعلاه ..
لاحظ : 2ن-1 وبوضع ن = 1

2(1) - 1 = 1
2(2)-1 = 3
2(3)-1=5 .... وهكذا ستلاحظ بالفعل ان هذه هى الصيغة المستخدمة
فى هذا النسق الرياضى المرتب ترتيب جيد ..

1+3+5+..................+(2ن-1) اجميع (لاحظ ان هذه الصيغة العامة )

لاحظ انها متتابعة حسابية حدها الأول أ=1 ، واساسها = 3-1 = 2 ، وحدها الأخير = (2ن-1)
وعدد حدودها ن حداً ،

1+3+5+..................+(2ن-1) = ن (1+(2ن-1) ) /2= 2ن²/ 2 = ن²


وقد عرفنا ان ناتج جمعها = ن² ( وهو المطلوب )


اثبات آخر : 1+3+5+..................+(2ن-1) بالإستقراء على ن وبوضع ن=1
نحصل على المطلوب، والآن نفرض ان لعلاقة صحيحة عند ن = ك، ثم نوجد
صحة العلاقة عندما ن =ك+1

1+3+5+ ......+[2(ك+1)-1] = 1+3+5+....+(2ك+1)

ولكن رتبة الحد الأخير = ن = عدد الحدود

الصورة العامة للحد الأخير ( بالنسبة للمتابعة الحسابية ) = أ+(ن-1)د

1+2(ن-1) = 2ك+1 تؤدى الى ... 2(ن-1)=2ك تؤدى الى ن-1=ك

اذاً : ن = ك+1 = عدد الحدود :


قانون ايجاد مجموع متتابعة حسابية = ½ عدد الحدود(الحد الاول+الحد الاخير)



= (ك+1)(1+2ك+1) /2 = (ك+1)(2ك+2) /2 = 2(ك+1)(ك+1)/2



= (ك+1)(ك+1) = (ك+1)² ولكن ك عدد طبيعى .. اذاً (ك+1)² = مربع كامل

وهذا هو المطلوب تماماً .. اذاً عندما ن=ك+1 العلاقة صحيحة ..