اوجد المتتابعة الهندسية التى تحقق تلك الشروط ؟

متتابعة هندسيه مجموع حديها الثاني والثالث 6 وحاصل ضرب الحد الاول في الرابع -72 اوجد المتتابعة .

 نفرض ان الحد الأول أ  ، اساسها ر

أر + أر² = 6   ومنها  أ (ر+ر²) = 6

                  6
ومنها أ = ـــــــــــــــــــ
                ر+ر²

أ × أر³ = - 72  ومنها أ² ر³ = -72

بالتعويض عن أ

      36
ــــــــــــــــــــــــ ر³ = -72
    ( ر+ر²)²

بضرب الطرفين فى (ر+ر²)²

36ر³ = -72(ر+ر²)²

36ر³ = -72(ر^4 + 2ر³ + ر²)

36ر³ +72ر^4 + 144ر³ + 72ر² = 0

72ر^4 + 180ر³ + 72ر² = 0

ر^4 + 2.5ر³ + ر² = 0

ر²(ر² + 2.5ر + 1 ) = 0

اما ر² = 0 ومنها ر = 0 مرفوض

واما  ر² + 2.5ر + 1 = 0
الحل بالقانون العام ..

المميز = جذر(6.25 - 4) = 1.5

      -2.5  ±  1.5
ر = ـــــــــــــــــــــــــ
             2

اما ر = -0.5    او  ر = -2

بالتعويض فى المعادلة : أ² ر³ = -72

أ² × (-0.5)³ = -72

         72
أ² = ــــــــــــ = 576  ومنها أ = ± 24
       0.125

بالتعويض عندما ر = -2


أ² × (-2)³ = -72

أ² = 9   ومنها أ = ± 3

الآن وفق بين :

أ = ±24    عندما  ر = -0.5

أ = ±3      عندما  ر = -2

اذا اردت التحقق اختبرهم جميعا لنأخذ :
أ = 24  ، ر = -0.5  ونكتبها

{24 ، -12 ، 6 ، -3، ......}   لا تحقق الشرط

ثم نأخذ : أ = -24 ، ر = -0.5

{-24 ، 12 ، -6 ، 3 ، ....}       تحقق الشرط

ثم نأخذ أ = 3   ،  ر = -2

{3 ، -6 ، 12 ، -24 ، ...}  تحقق الشرط

ثم نأخذ أ = -3 ، ر = -2

{-3 ، 6 ، -12 ، 24 ، ...} لا تحقق الشرط

اذاً عدد حلول المتتابعات هما :

{-24 ، 12 ، -6 ، 3 ، ....}
{3 ، -6 ، 12 ، -24 ، ...}