معلومات عامة عن أعداد بيرنولى

تظهر اعداد بيرنولى فى دالة زيتا الريمانية، وايضاً فى التكامل الظلالى
ونشر بعض المتسلسلات، حيث تهتم بدراسة معاملات الحدود فى مجاميع
(ن-1)^م  حيث م تنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية

م = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .................}

حيث تم دراسة ان حاصل جمع( summation ) تلك المعاملات = 0

مثال : 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ......

تمثل فى العلاقة  ½ن² - ½ن
وكما يلاحظ ان ½ - ½ = 0
لأن ب0 = 1  ، ب1 = ½   حيث ب اختصار لأول حرف من بيرنولى، ويفضل كتبابتها بالإنجليزية .

وتمثل فى تلك العلاقة ( يطول شرحها الآن )

2             2
 ق  ب0 +  ق ب1  = 0
   0            1


◄قيم اعداد بيرنولى الفردية فيما عدا الواحد معدومة = 0

تمثل اعداد بيرنولى فى تلك العلاقة، لكل (ن-1)^م

(م+1)      (م+1)          (م+1)                (م+1)
      ق ب0 +    ق  ب1 +      ق ب2 + .... +     ق ب م  = 0
        0             1                 2                      م


مثال : نريد ان نوجد قانون عام لهذه المتسلسلة :

1² + 2² + 3² + ........... + ن²

بناء على تعريف خاص ( لأعداد بيرنولى ) نوجد اولا ً مجموع
المتلسلسة 0² + 1² + 2² + 3² + ...... + ن²

                              1               م       (م+1)
من تلك العلاقة :  ــــــــــــــــــــــــ مــــــــــــج       ق  ب(ك) ن^(م+1-ك)
                             م+1          ك=0             ك

حيث ن = عدد الحدود = الحد الآخير .

ب0 = 1  ، ب1 = -½  ،  ب2 = 1\6

      1           3                  3                    3
ـــــــــــــــــــــ [  ق ب0  ن³ +  ق ب1 ن² +  ق  ب2 ن ]
      3              0                   1                   2

      1              3               ن
= ــــــــــ [ن³ - ـــــــــ ن² + ـــــــــــ ]
      3              2               2

      1                  ن - 3ن²
= ــــــــــــ [ن³ + ـــــــــــــــــــــــ]
      3                      2

       ن³           ن - 3ن²                   2ن³ - 3ن² + ن
= ــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       3                6                                6


     ن (2ن² - 3ن + 1 )            ن (ن - 1) (2ن - 1 )
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 6                                  6

وهكذا تم استنتاج القانون، ولكن هذا القانون يبدأ من مجموع الصفر
لذلك اذا اردنا ان يكون قانون صالح للبدأ من الواحد الصحيح، نضع ن+1 للطرفين
بدلاً من ن فقط ..

(ن+1)(ن+1-1) (2(ن+1) - 1 )                ن (ن+1) (2ن+1)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
              6                                                  6


اظن الموضوع طويل ويحتاج الى وضوح اكثر من ذلك، لذلك نكتفى بهذا القدر ... تحياتى.