إثبت انه فى اى مثلث أ ب جـ فيه (جاأ+جاب)/جاجـ > 1

حل1: زواياه هى أ ، ب ، جـ  نفرض أن أضلاعه أ َ ، بَ  ، جـَ

                    جاأ  + جاب          أ َ + بَ
              ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
                      جاجـ                   جـَ

يمكن استنتاجها من قانون الجيب : هكذا :

    أ َ              بَ              جـَ
ــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ
  جاأ             جاب            جاجـ

                                                      أ َ            جاأ
ومن خواص النسبة والتناسب ينتج أن :  ــــــــــــ = ـــــــــــــــ
                                                     جـ َ          جأجـ

             بَ          جاب
وايضاً : ــــــــــــ = ــــــــــــــ
            جـَ          جاجـ


         جاأ  + جاب             أ َ + بَ
اذاً :  ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
             جاجـ                    جـَ


ولكن فى اى مثلث يتحقق فيه أن طول اى ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث :

اذاً  أ َ + بَ > جـ َ وهذا يدل على أن البسط أكبر من المقام اى أن المقدار

كله حتماً أكبر من الواحد .
.............................................................................................
حل2:

         أ+ب+جـ = 180  ومنها أ+ب = 180 - جـ


  جاأ + جاب            جاأ + جاب
ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
    جاجـ                  جا(أ+ب)


وبطرح المقام من البسط اذا نتج انه اقل من الصفر
فهذا دليل على أن المقام اقل من البسط او البسط
اكبر من المقام .. اذاً الكسر كله أكبر من الواحد .


جا(أ+ب) - (جاأ + جاب)


= جاأ جتاب + جتاأ جاب - جاأ - جاب


= جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1)

الآن نفرض ان المثلث حاد الزاوية اذاً كلاً من أ ، ب
محصورين فى الفترة ]0 ، 90[

اذاً كلاً من جاأ ، جاب ، جتاأ ، جتاب كميات موجبة
تحصر قيمها فى الفترة ]0 ، 1[

اذاً فى هذه الحالة نتحقق من أن :

جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1) < 0


الآن نأخذ الحالة التى يكون فيها المثلث قائم الزاوية
نفرض أن المثلث قائم الزاوية فى جـ فهذا يدل على
أن كلاً من أ ، ب حادتين ويكون بذلك انتهى البرهان
عند هذه الخطوة، ثم نفرض أن المثلث قائم الزاوية
فى أ فيكون بذلك جاأ = 1   و  جتاأ = 0  بالتعويض
مع علمان ان ب زاوية حادة فى هذه الحالة .

(جتاب - 1) - جاب < 0

وأخيراً نفرض أن المثلث منفرج الزاوية .

فإذا كان منفرج الزاوية فى جـ هذا يعنى أن كلاً من أ ، ب
حادتين ونكون انتهينا من البرهان، ثم نفرض أن المثلث
منفرج الزاوية فى أ .

هذا يعنى أن كلاً من جاأ  ، جاب  موجبتين لأن جا موجبة
فى الربع الأول، ولكن جتاأ سالبة لأن جتا سالبة فى الربع الثانى .

فى جميع الحالات يتحقق ايضاً أن :


جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1) < 0

وبالمثلث نأخذ حالة ب زاوية منفرجة تتحقق نفس النتيجة


اذاً : جاأ + جاب > جا(أ+ب)


         جاأ + جاب
اذاً : ـــــــــــــــــــــــــــ > 1
         جا(أ+ب)


            جاأ + جاب
ومنها : ـــــــــــــــــــــــــ > 1
               جاجـ

وهو المطلوب : إضغط هنا لتتطلع على حل ثالث