اوجد تكامل س/جذر(س - س²) دس

.         س
∫ــــــــــــــــــــــــ دس
 جذر(س - س²)


= ∫ س (س - س²)^-0.5 دس


= -½∫ -2س (س - س²)^-0.5 دس


= -½∫[(1 - 2س) - 1] (س - س²)^-0.5 دس


= -½∫(1 - 2س)(س - س²)^-0.5 دس

 + ½∫(س - س²)^-0.5 دس

لاحظ ان التكامل الأول عبارة عن تكامل دالة فى مشقتها ..


 
=  - (س - س²)^0.5 + ½∫(س - س²)^-0.5 دس
          


الآن نترك المسألة الأساسية ونبدأ فى حساب
∫(س - س²)^-0.5 دس


                1
= ∫ ــــــــــــــــــــــــــــ دس
       جذر(س - س²)


           1                   1
= ∫ـــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ دس
       جذر(س)       جذر(1 - س)




تستطيع مثلاً حله بالتجزىء او بالتعوضيات المثلثية او
 اى شىء آخر وتكون بذلك قد اوجدت ناتج التكامل .

واقترح عليك الآتى : ضع س = ص² ومنها دس = 2ص دص

بالتعويض فى التكامل اعلاه ..


          2ص                  1
= ∫ـــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ دص
       جذر(ص²)       جذر(1 - ص²)


                1
= 2∫ ــــــــــــــــــــــــ دص
        جذر(1 - ص²)


      -1
= 2جاص   ((راجع درس مشتقة الدوال المثلثية العكسية))


ولكن ص² = س  ومنها ص = ±جذر(س)  بالتعويض ..

      -1
= 2جا[±جذر(س)]

الآن نعود الى التكامل الأصلى ..

.         س
∫ــــــــــــــــــــــــ دس
 جذر(س - س²)


=  - (س - س²)^0.5 + ½∫(س - س²)^-0.5 دس

     -1
= جا[±جذر(س)] - جذر(س - س²)  + ث


حيث ث ثابت التكامل .


int ∫x/sqrt[x-x^2].dx = sin^-1(± sqrt(x)) - sqrt(x - x²) + C