هذا النوع من التكاملات يسمى بدالة الخطأ erf
والدالة الأصلية له هى e^-x² حيث e هو العدد النيبيرى
حيث أن تكامل هذه الدالة من -∞ الى ∞ = جذر(باى)
sqrt(pi) erf(x) ..l
الآن نفرض الآتى :
a^-x² = e^-kx²
حيث k ثابت .. بأخذ ln للطرفين
lna^-x² = ln e^-kx²
ll -x² lna = -kx²
k = lna
اذاً :
a^-x² = e^-ln(a)x²
ll ∫a^-x² dx = ∫e^-ln(a)x² dx
ll = ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx
قد يبدو التكامل معقد للوهلة الأولى .. لكن لا تقلق
كل الذى حدث هو اننا بدلنا المتغير x بدالة أخرى وهى sqrt(ln(a))x ..l
افرض ان : y = sqrt(lna)x
اشتق الطرفين بالنسبة لـ x ولا تنسى ان a ثابت .
dy = sqrt(lna) dx
dx = dy/sqrt(lna) ..ll
بالتعويض ...
ll ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx = 1/sqrt(ln(a))∫e^-y² dy
ولكن هذا التكامل هو دالة الخطأ erf بعينها
( لاحظ ان المتغيرات x و y كلها
عبارة عن رموز اعتباطية ))
ll = sqrt(pi) erf(y)/sqrt(ln(a)) ...ll
put y = ln(a) x
ll = sqrt(pi) erf(ln(a) x)/sqrt(ln(a)) ..l
sqrt(pi/lna) ..l
هذه نتيجة التكامل من من سالب ما لانهايه الى ما لانهايه
مثال ضع a = 3 فإن نتيجة التكامل هى :
sqrt(pi/ln3) ≈ 1.691
والدالة الأصلية له هى e^-x² حيث e هو العدد النيبيرى
حيث أن تكامل هذه الدالة من -∞ الى ∞ = جذر(باى)
sqrt(pi) erf(x) ..l
الآن نفرض الآتى :
a^-x² = e^-kx²
حيث k ثابت .. بأخذ ln للطرفين
lna^-x² = ln e^-kx²
ll -x² lna = -kx²
k = lna
اذاً :
a^-x² = e^-ln(a)x²
ll ∫a^-x² dx = ∫e^-ln(a)x² dx
ll = ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx
قد يبدو التكامل معقد للوهلة الأولى .. لكن لا تقلق
كل الذى حدث هو اننا بدلنا المتغير x بدالة أخرى وهى sqrt(ln(a))x ..l
افرض ان : y = sqrt(lna)x
اشتق الطرفين بالنسبة لـ x ولا تنسى ان a ثابت .
dy = sqrt(lna) dx
dx = dy/sqrt(lna) ..ll
بالتعويض ...
ll ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx = 1/sqrt(ln(a))∫e^-y² dy
ولكن هذا التكامل هو دالة الخطأ erf بعينها
( لاحظ ان المتغيرات x و y كلها
عبارة عن رموز اعتباطية ))
ll = sqrt(pi) erf(y)/sqrt(ln(a)) ...ll
put y = ln(a) x
ll = sqrt(pi) erf(ln(a) x)/sqrt(ln(a)) ..l
sqrt(pi/lna) ..l
هذه نتيجة التكامل من من سالب ما لانهايه الى ما لانهايه
مثال ضع a = 3 فإن نتيجة التكامل هى :
sqrt(pi/ln3) ≈ 1.691
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق