اوجد تكامل sin(1/x) dx

ليس لهذه الدالة دالة أولية، ولكن يمكن الإقتراب
منها عن طريق التكامل بالتجزىء ومنشور ماكلورين

 ll                                                                                                    ∫sin(1/x) dx


نضع u = sin(1/x)   ll


ومنها : du = -cos(1/x)/x² dx

ونضع dv = dx  ومنها v = x

نطبق القاعدة : ll                                                                                  u.v - ∫v du

ll                                                                            x sin(1/x) - ∫x.-cos(1/x)/x² dx


ll                                                                                x sin(1/x) + ∫cos(1/x)/x dx


ll                                                                                   = xsin(1/x) + ci(1/x) + C

حيث تكامل الدالة الثانية يمكن الإقتراب منه عن طريق
نشر الدالة بمتسلسة ماكلورين .


cos(x) = 1 - x²/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...     ll


بوضع 1/x بدلاً من x للطرفين ..

لاحظ أن : ll                                                                                         1/x = x^-1

وعن النشر نقوم بضرب الأس السالب فى جميع الأسس ..


cos(1/x) = 1 - x-²/2! + x^-4/4! - x^-6/6! + ...     ll

بقسمة الطرفين على x ينتج لنا :


cos(1/x)/x = 1 - x-³/2! + x^-5/4! - x^-7/6! + ...   ll


بالتعويض فى التكامل اصبح :

ll                                                                                     = xsin(1/x) + ci(1/x) + C


ll                                         = xsin(1/x) + ∫(1 - x-³/2! + x^-5/4! - x^-7/6! + ...) dx   ll



ll                                     = xsin(1/x)+x+x^-2/2(2!)-x^-4/4(4!)+x^-6/6(6!) - .... + C ll‏
        

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░  
   

وهناك حل آخر عن طريقة فك Sin مباشرةً بمفكوك تايلور .


sin(x) = x - x³/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...  ll

الآن ll                                   1/x = x^-1


sin(1/x) = x^-1 - x-³/3! + x^-5/5! - x^-7/7! + ...  ll

ومن ثم نجرى عملية التكامل طبيعى جداً .


ll                                                                                           ∫sin(1/x) dx


ll                                              ∫( x^-1 - x-³/3! + x^-5/5! - x^-7/7! + ...) dx


ll                                      = ln(x)+x^-2/2(3!)-x^-4/4(5!)+x^-6/6(6!) - ... + C


وكما نلاحظ فالمتسلسلة ممتدة الى مالانهاية .