يمكنك اشتقاقه بعدة طرق، وكل طريقة تتميز بأنها تحوى على فكرة او مجموعة أفكار معينة .
د(س) = لط(س)
لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
أعتقد انها هكذا اصبحت أكثر تعقيداً فى حين ان
هناك برهان لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى عن طريق
تحويل الدالة من الصورة اللوغاريتمية الى الصورة الأسية .
د(س) = لط(س) ومنها هـ^د(س) = س
نشتق الطرفين بالنسبة لـ س ينتج لنا
دَ(س) هـ^د(س) = 1
1 1
دَ(س) = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
هـ^د(س) س
...........................................................................
اما اذا كنت مصر ان تبدأ من التعريف الأساسى للمشتقة الأولى للدالة
فستحتاج الى حلها بتلك الطريقة كما لو كانت نهاية أعطت كمية غير معينة 0/0
ونتحايل على الحل بإبتكار بعض الطرق الجبرية للوصول فى النهاية الى ايجاد ناتج النهاية .
لكن : لا مفر من استخدام بعض خواص اللوغاريتمات .
لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
لط[(س+هـ)/هـ]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
= نهـــــــا (1\هـ) لط[(س+هـ)/هـ]
هـ←0
= نهـــــــا لط[(س+هـ)/س]^(1\هـ)
هـ←0
= نهـــــــا لط[(هـ/س) + 1]^(1\هـ)
هـ←0
وبوضع : هـ/س = ص
فينتج عندها أن : 1/هـ = 1/(س ص)
عندما تؤول هـ الى الصفر فإن ص ايضاً تؤول الى الصفر .
= نهـــــــا لط[ص + 1]^1/(س ص)
ص←0
= (1\س) نهـــــــا لط[ص + 1]^(1\ص)
ص←0
ضع : (1\ص) = ن
ومنها ص = (1\ن) وعندما تؤول ص الى الصفر فإن :-
ن تؤول الى مالانهاية .
= (1\س) نهـــــــا لط[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
= (1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
اليس المقدار : نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
هو العدد النيبيرى ذاته ؟
تكملة للحل نصل الى أن :
(1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
= (1\س) لط(هـ) = 1\س حيث هـ العدد النيبيرى .
اذاً مشتقة لط(س) = 1\س
د(س) = لط(س)
لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
أعتقد انها هكذا اصبحت أكثر تعقيداً فى حين ان
هناك برهان لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى عن طريق
تحويل الدالة من الصورة اللوغاريتمية الى الصورة الأسية .
د(س) = لط(س) ومنها هـ^د(س) = س
نشتق الطرفين بالنسبة لـ س ينتج لنا
دَ(س) هـ^د(س) = 1
1 1
دَ(س) = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
هـ^د(س) س
...........................................................................
اما اذا كنت مصر ان تبدأ من التعريف الأساسى للمشتقة الأولى للدالة
فستحتاج الى حلها بتلك الطريقة كما لو كانت نهاية أعطت كمية غير معينة 0/0
ونتحايل على الحل بإبتكار بعض الطرق الجبرية للوصول فى النهاية الى ايجاد ناتج النهاية .
لكن : لا مفر من استخدام بعض خواص اللوغاريتمات .
لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
لط[(س+هـ)/هـ]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ
= نهـــــــا (1\هـ) لط[(س+هـ)/هـ]
هـ←0
= نهـــــــا لط[(س+هـ)/س]^(1\هـ)
هـ←0
= نهـــــــا لط[(هـ/س) + 1]^(1\هـ)
هـ←0
وبوضع : هـ/س = ص
فينتج عندها أن : 1/هـ = 1/(س ص)
عندما تؤول هـ الى الصفر فإن ص ايضاً تؤول الى الصفر .
= نهـــــــا لط[ص + 1]^1/(س ص)
ص←0
= (1\س) نهـــــــا لط[ص + 1]^(1\ص)
ص←0
ضع : (1\ص) = ن
ومنها ص = (1\ن) وعندما تؤول ص الى الصفر فإن :-
ن تؤول الى مالانهاية .
= (1\س) نهـــــــا لط[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
= (1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
اليس المقدار : نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
هو العدد النيبيرى ذاته ؟
تكملة للحل نصل الى أن :
(1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
ن←∞
= (1\س) لط(هـ) = 1\س حيث هـ العدد النيبيرى .
اذاً مشتقة لط(س) = 1\س
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق