اثبت ان 12ن+5 لا يمكن ان يكون مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى

12ن+5  دائماً عدد فردى لأن زوجى+فردى = فردى

ولكن ليست هذه هى القضية، فالقضية الأساسية هى أن جميع المربعات
الكاملة هى حاصل مجموع الأعداد الفردية من 1 الى ن  ... فمثلاً

4 = 1 + 3   وهنا نلاحظ ان عدد الحدود 2 فى حين أن 4 = (2)²

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7               ... وهكذا

وبما أن العدد 12ن+5 فردى دائماً اذاً وان كان من الممكن ان نصنع منه مربع كامل
فلابد ان يعطينا عدد حدود (فردية) وكل حد فردى، ويبدأ من العدد 1 .. ولكن هل هذا
جائز فى حقل الأعداد الطبيعية ؟  لنرى ... بحيث نفرض أن العدد الفردى هو

                                    2ك+1

مربعه = (2ك+1)²   ((من اجل ك ، ن عددان طبيعان (فرض))

12ن+5 = (2ك+1)²    

12ن+5 = 4ك² + 4ك + 1

12ن =  4ك² + 4ك - 4  بقسمة الطرفين على 4

3ن = ك² + ك - 1    ومنها

        ك² + ك - 1
ن = ــــــــــــــــــــــــ
             3

ن عدد طبيعى اذا وفقط اذا كان   ك² + ك - 1  من مضاعفات العدد 3
ولذلك نفرض أن :  ك² + ك - 1 = 3م  حيث م عدد طبيعى، والآن نوجد
ك بدلالة م بالقانون العام .. المعادلة هى ك² + ك - (3م+1) = 0

المميز =  1 + 4(3م+1) = 12م+2 = 2(6م+1)

             -1 ± جذر(2) جذر(6م+1)
اذاً : ك = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2

وتظهر المشكلة هنا جلية وواضحة تماماً ان ك ليس عد طبيعى .. اذاً

مستحيل ان يكون 12ن+5 مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى ..