كيف نوجد نها(س←0) [لط(1 - س²) - لط(جتاس)]/س² بدون استخدام قاعدة لوبيتال ؟

لقد اوجدت النهاية بالفعل بدون قاعدة لوبيتال لكن هذا
يتطلب منا ان نعلم مسبقاً التالى :
                                           1
اذا كنا نعلم أن : نهـــــــــــا (1 + ــــــــــ)^س = هـ
                   س←∞             س

                        1                1    
فإن : نهـــــــا (1 - ــــــــ)^س = ــــــــــ
      س←∞       س               هـ

حيث هـ هو العدد النيبيرى ...
------------------------------------------------------------------
بالعودة الى مسألتك، بعد توزيع البسط على المقام ...

          لط(1 - س²)            لط(جتاس)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0       س²        س←0     س²


             لط(1 - س²)            2لط(جتاس)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²        س←0     2س²


             لط(1 - س²)                لط(جتا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                جا²س لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0  جا²س  س²

                     جا²س
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــ = 1
       س←0      س²

ولهذا نقوم بعزلها من النهاية الثانية فتصبح النهاية بهذا الشكل ...

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0    جا²س


فى النهاية الثانية نفرض أن جاس = ع وعندما س
تؤول للصفر فإن ع ايضاً تؤول للصفر .. بالتعويض

             لط(1 - س²)                  لط(1 - ع²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              ع←0       ع²

ما الفرق بين النهاية الأولى والنهاية الثانية ؟

الإجابة : لا فرق ...

اذاً بكل بساطة نستطيع ان نقول أن النهاية اصبحت :

             لط(1 - س²)                  لط(1 - س²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0       س²

                  لط(1 - س²)              
= ½ نهــــــــا ــــــــــــــــــــ
     س←0         س²        

           1
بوضع ـــــــــــــ = ص   ومنها ص تؤول الى ∞
         س²

وبعدها تأخذ النهاية هذا الشكل ...

                                  1                      
= ½ نهــــــــا  ص لط(1 - ـــــــــ)
     ص←∞                  ص    

                              1                      
= ½ نهــــــــا  لط(1 - ـــــــــ)^ص
     ص←∞              ص    

              1
= ½ لط(ـــــــــ) = ½ × -1 = -½
            هـ