اثبات قانون "4" فى التفاضل بقاعدة لوبيتال

تنص قاعدة لوبيتال على انه اذا كانت الدالة على هذه
الصورة د(س) = ق(س)/ر(س) وكانت تعطى
كمية غير منعينة 0/0 او ∞/∞ فإننا نقوم بإشتقاق
البسط مرة، والمقام مرة ( كلاً منهم على حدى)
فإذا لم تتعين النهاية نشتق مرة أخرى .. وهكذا
الى ان يتعين الناتج .

           س^ن  - أ^ن       ن
نهـــــا ـــــــــــــ = ـــــــ  × أ^ن-م
س←أ       س^م - أ^م        م

** ولكن لاحظ ان كلاً من أ ، م ، ن ثوابت
نقوم بإشتقاق البسط مرة، والمقام مرة .. فنحصل على الآتى :

          ن س^(ن-1)
نهـــــا ــــــــــــــــ
 س←أ       م س^(م-1)

لاحظ ان الاساسات متشابهة فنقوم بطرح الاسس ..

= نهــــا ن/م س^[ن-1 - (م-1) ] = نهـــان/م س^(ن-1 -م+1 )
   س←أ                           س←أ

= نهـــــان/م س^(ن-م) وبوضع س = أ
   س←أ

              ن
          = ـــــ أ^(ن-م)
              م

وهكذا حصلنا على المطلوب : للمزيد