اثبت ان مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية ؟

نفرض ان هناك عدد " أ " هو آخر الأعداد الأولي
، ثم نقوم بعملية ضرب الأعداد الأولية من 2 الى أ 
فتكون جميع الأعداد المضروبة تقبل القسمة
على جميع الأعداد الأولية من 2 الى أ

نفرض وجود عدد س بحيث :

س = ( 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × .............. × أ )
وبفرض ان هناك عدد " ص " =
( 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ........... × أ ) + 1
اذاً ص > س لكنه لا يقبل القسمة على اى عدد اولى من 2 الى أ
اذاً هناك احتمالين :-
1) ص عدد أولى > أ
2) ص عدد يقبل القسمة على عدد أولى أكبر من أ
وكلا الإحتمالين يناقضان ان أ هو آخر الأعداد الأولية .
اذاً مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية من الأعداد .

للمزيد طالع هذا الموضوع ايضاً..