إوجد تكامل 1/(ظاس + جاس) دس

.          1
∫ــــــــــــــــــــــــــ دس
   ظاس + جاس

هذا التكامل يمكن أن يحل بعدة طرق أذكر منها :

.          1
∫ــــــــــــــــــــــــــ دس
   ظاس + جاس


بقسمة البسط والمقام على جاس


        قتاس
∫ ـــــــــــــــــــــ دس
     قاس + 1


نفرض ان ص = ظا(س/2)

ومنها س = 2ظا^-1(ص)

                 2
دس = ــــــــــــــــــــ دص
            1 + ص²


              1+ص²
قتاس = ــــــــــــــــــــ
              1 - ص²


             1+ص²
قاس = ـــــــــــــــــــ
              2ص²

بالتعويض فى التكامل الأصلى مع اجراء العمليات
الحسابية ( التى لن اضعها هنا نظراً طول حدود
المسألة ) فإخذ التكامل هذا الشكل :-

             4ص²
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
    (1-ص²) (1+3ص²)


نأخذ ما داخل التكامل ونفرض أن :

         4ص²                     أ              ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ
 (1-ص²) (1+3ص²)       (1-ص²)      (1+3ص²)


من خلال توحيد المقام نتحقق من أن :

أ(1+3ص²) + ب (1-ص²) = 4ص²

أ + 3أص² + ب - ب ص² - 4ص² = 0


أ+ب + ص² (3أ - ب - 4) = 0


نضع 3أ - ب - 4 = 0  ومنها 3أ - ب = 4


اذاً ينتج ان :  أ + ب = 0

بحل المعادلتين معاً ( بالجمع )

4أ = 4   ومنها أ = 1

1 + ب = 0   ومنها ب = -1

الآن اصبح التكامل على الصورة :-


      1                      1
∫ـــــــــــــ دس - ∫ ـــــــــــــــــ دس
   1-ص²               1+3ص²


= ظاز^-1(ص) - ظا^-1(جذر(3) ص) + ث


حيث اقصد بـ ظاز^-1 اى الظل الزائدى العكسى

ظا^-1 يعنى الظل العكسى .

ث  : ثابت التكامل .

عوض عن ص = ظا(س/2)


= ظاز^-1[ظا(س/2)] - ظا^-1[جذر(3) ظا(س/2)] + ث