برهان صيغة أويلر المثلثية

نعلم أن : منشور الدالة الأسية هى :

هـ^س = 1+س+س²\2 + س³\3! + .....

نبدل س بـ ت س فنحصل على :-

هـ^(ت س) = 1+ت س - س²\2 - (ت س³)\3! +...

ولكن :

جتاس = 1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

جاس = س - س³\3! + س^5\!5 - س^7\7!+...

ومنها نحصل على :

ت جاس = ت س - (ت س³)/3!+.....


بالجمع نحصل على :

جتاس + ت جاس =

1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

+ ت س - (ت س³)/3!+.....


= 1+ ت س - س²\2 - (ت س³)\3! + ....

وهذه الصيغة تكافىء منشور هـ^(ت س)

اذاً : هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

حيث هـ ≈ 2.71828  ، ت وحدة تخيلية = جذر(-1)