إثبت أن : جازس = (هـ^س - هـ^-س)/2

ولنبدأ من صيغة أويلر المثلثية .


هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

هـ^(-ت س) = جتاس - ت جاس

(( وهذه الخطوة لن إثبتها.. تحقق منها بنفسك))


بطرح المعادلة الأولى من الثانية :

هـ^(ت س) - هـ^(- ت س) = 2 ت جاس


                هـ^(ت س) - هـ^(- ت س)
اذاًَ : جاس = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2ت


ولكن : جازس = - ت جا(ت س)

(( هذه علاقة بين الجيب والجيب الزائدى ))

وبضرب العلاقة السابقة فى - ت .

              هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
- ت جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        - 2


الآن نبدل س بـ ت س (لأنها متطابقة)

ولاحظ أن ت × ت = ت² = -1


                     هـ^(ت ت س) - هـ^(-ت ت س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                   -2



                         هـ^(-س) - هـ^( س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                 -2


لاحظ سالب فى المقام يمكن برفعها للبسط ..


                          هـ^س - هـ^-س
- ت جا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                2


ولكن  - ت جا(ت س) هى نفسها جازس


                     هـ^س  - هـ^-س
اذاً جاز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                             2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

وهذا إثبات آخر آراه من وجهة نظرى أسهل :
وهو نفس الأسلوب السابق لكن نبدأ من
صيغة أويلر (للدوال الزائدية مباشرة ً)

نعلم أن :

هـ^س = جتازس + جازس

هـ^-س = جتازس - جازس


وعليه وبعد الطرح ينتج لنا :-

هـ^س - هـ^-س = 2جازس


            هـ^س - هـ^-س
جازس = ــــــــــــــــــــــــــــــ
                     2