اوجد تكامل س جذر(س - 3) دس بطرقتين ؟

الطريقة الأولى : بالتعويض

∫س جذر(س - 3) دس

التكامل بالتعويض ..

نفرض أن س - 3 = ص

ومنها  دس = دص


وايضاً س = ص+3  بالتعويض ..

∫س جذر(س - 3) دس


= ∫جذر(ص) (ص+3) دص


= ∫ص^0.5 (ص+3) دص

لاحظ أن جذر(ص) = ص^0.5  تابع ..

وعند الضرب نجمع الأسس


= ∫ص^1.5+3ص^0.5 دص


= ∫ص^1.5 دص + 3∫ص^0.5 دص


= (2\5) ص^2.5 + 3(2\3) ص^1.5 + ث


= (2\5) ص^2.5 + 2 ص^1.5 + ث

بالتعويض عن ص = (س - 3)   التكامل هو :


=  (2\5) (س - 3) ^2.5 +2(س - 3) ^1.5 + ث


ويمكنك ترتيبيه اكثر من هذا ..
................................................................

الطريقة الثانية : تؤكد لنا الطريقة الأولى


∫س جذر(س - 3) دس


= ∫[(س-3)+3] جذر(س - 3) دس

ما الذى حدث ؟

الذى حدث هو اضفنا 3 ثم طرحناها مرة ثانية

والآن نوزع جذر(س-3) على القوس ومن
ثم توزيع التكامل عليه (من خصائص التكامل)

= 3∫جذر(س-3)دس + ∫(س-3)جذر(س-3) دس


= 3∫(س-3)^0.5 دس + ∫(س-3)×(س-3)^0.5 دس


= 3∫(س-3)^0.5 دس + ∫(س-3)1.5 دس


  3 (س-3)^1.5         (س-3)^2.5
= ــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ + ث
        1.5                     2.5


                       
=   (2\5) (س - 3) ^2.5 +2(س - 3) ^1.5 + ث