مضروبة فى tanu .
let X = sqrt(3) tanu
نشتقة الطرفين بالنسبة لـ X
dx = sqrt(3) sec²u du
بالتعويض فى التكامل ..
ll ∫1/xsqrt(x²+3) dx
ll = ∫ sqrt(3) sec²u/sqrt(3)tanu.sqrt(3tan²u+3) du
3 تخرج من تحت الجذر بـ جذر(3)
ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)sqrt(tan²u+1) du
تعلم المتطابقة الشهيرة :tan²u+1 = sec²u
بالتعويض فى التكامل ..
ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)sqrt(sec²u) du
الذجر يلغى التربيع فينتج :
ll = ∫ sec²u/tanu.sqrt(3)secu du
بعد لإختصار والتبسيط نحصل على الصورة :
ll = 1/sqrt(3)∫csc(u) du
هل تعلم أن تكامل : csc(u) = -ln|csc(u)+cot(u)| l ؟
يتضح من ذلك أن نتيجة التكامل هى :
ll - ln|csc(u)+cot(u)|/sqrt(3) + C ll
الآن نريد فقط ايجاد u بدلالة X :
لاحظ قلنا : X = sqrt(3) tan(u) ll
ومنها : tan(u) = X/sqrt(3) ll
من خلال ذلك يتضح أن :
csc(u) = sqrt(x²+3)/x
cot(u) = sqrt(3)/x
تحقق من تلك الخطة بنفسك..الآ عوض فى التكامل ..
ll - ln|csc(u)+cot(u)|/sqrt(3) + C ll
ll - ln|(sqrt(x²+3)+sqrt(3))/x|/sqrt(3) + C ll
وتستطيع تبسيطه من خلال قوانين اللوغاريتمات المعروفة ..
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق