0 أب ج ء مربع فيه أ=(3،-2) ،ج=(1، 4) فأوجد ميل ب ء ومعادلته ؟

من خلال مراجعتى لسؤالك تبين لى انك قد                 
كتبت السؤال بطريقة خاطئة حيث أن أ ب جـ د
ليس مربع وانما مستطيل، ولهذا وجب عليك ان
تكتب سؤالك بطريقة سليمة .

اعتقد ان المربع هو أ جـ ب د

ميل أ جـ كما قلنا = -3

ولكن ب د // أ جـ  اذاً ميل ب د = ميل أ جـ

معادلة ب د هى : ص = -3س + ث  حيث ث ثابت .

الآن النقطة د تحقق المستقيم ب د (لكنها غير معلومة)

تستطيع ايجادها بالطريقة التى تناسبك، واقترح عليك الآتى :-

طول أ جـ = طول أ د  ومن خلال استعمال قانون البعد
بين نقطتين نصل الى أن (نفرض أولاً أن د = (س،ص) )

أ د = جذر[(س - 3)²+(ص + 2)²] = 2جذر(10)

بتربيع الطرفين ...

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

نحتاج الى معادلة ثانية ...

لديك طول القطر جـ د = جذر(2)×2جذر(10) = 4جذر(5)

حصلنا عليها من خلال مبرهنة فيثاغورث ...

ولكن يمكنك ايجاد طول القطر عن طريق قانون البعد بين نقطتين أيضاً .

طول القطر هو جـ د  .

جـ د = جذر[(س - 1)² + (ص - 4)²] = 4جذر(5)

(س - 1)² + (ص - 4)² = 80  ==> (2)

بحل (1) ، (2) توصلنا الى س ، ص وبالتالى نكون قد
حصلنا على النقطة د التى تحقق المستقيم ب د .

بطرح (1) من (2) .

(س-1)² - (س-3)² + (ص-4)² - (ص+2)² = 80-40 = 40

استعمل قانون الفرق بين مربعين من أجل التبسيط .

2(2س - 4) - 6(2ص - 2) = 40

4(س - 2) - 12(ص - 1) = 40  بقسمة الطرفين على 4 .

(س - 2) - 3(ص - 1) = 10  قم بفك الأقواس ...

س - 2 - 3ص + 3 = 10    رتب الحدود واختصر ...

س = 3ص + 9      ==> (3)  بالتعويض فى (1)

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

(3ص+6)² + (ص+2)² = 40 

[3(ص+2)]² + (ص+2)² = 40

9(ص+2)² + (ص+2)² = 40

10(ص+2)² = 40   بقسمة الطرفين على 10

(ص+2)² = 4  ومنها ص+2 = ± 2

ص = 0        أو    ص = -4

بالتعويض فى معادلة (3) : س = 3ص + 9  

س = 9        أو  س = -3

الحل الأول والثانى مقبول من حيث انه يجعل الشكل
مربعاًً ، ولكن الحل الثانى فقط مقبول كونه يحافظ على
الترتيب الذى اشرطناه فى بادىء الحل ، ويمكن التعريف
على ذلك من خلال تمثيل هذه النقاط على الشبكة
التربيعية .


الإحداثى س ، ص هذا يحقق ب د  .. بالتعويض .

فى المعادلة : ص = -3س + ث

-4 = 9 + ث   ومنها  ث = -13

اذاً معادلة المستقيم ب ء هى :

ص = -3س - 13

تابع القراءة

0 حل تمرين فى القطع المكافىء ..

ليكن P القطع المكافئ الذي معادلته x²=2y و ليكن [pQ] و ترا محرقيا فيه ميله m ( اي p و Q هما نقطتا تقاطع مستقيم ميله m مار بمحرق القطع )
1 - أثبت ان المماسين في p و Q للقطع P متعامدان
2 - أثبن ان المماسين في p , Q يتقاطعان في نقطة تقع على دليل P
3 - هل تبقى الخاصتان السابقتان صحيحتين في حالة اي قطع مكافئ
التمرين موجود في صفحة 93 تمرين رقم 2 (الهندسة التحليلية)
و ارجو ان تكون الإجابة مفصلة بشكل دقيق جدا و لو مع الرسم

السؤال خفيف .. لذيذ .. وسأكتبه بالرموز العربية نظراً لصعوبة الكتابة باللغتين معاً

معادة القطع المكافىء هى : س² = 2ص  (نضعها على الصورة القياسية)

اذاً : س² = 4 × ½ص   اى ان أ = ½  وهى المسافة بين رأس القطع المكافىء
وبؤرته او بين الرأس ودليله .. من هنا نستخلص ما يلى .

معادلة دليله هى : ص = -½  احداثيات بؤرته (محرقه) هى : (0 ، ½)



المستقيمات المارة من محرقة تقطع محور الصادات فى ½  اذا الصورة
القياسية لجميع هذه المستقيمات هى : ص = م س + ½  حيث م
هى الميل المتغير لهذه المستقيمات ...

أولاً نوجد نقطة تقاطع القطع المكافىء مع المستقيم  ص = م س + ½ بأن
نقوم بحلهم معاً ....  بالتعويض فى معادلة القطع عن : ص = م س + ½

س² = 2(م س + ½)   ومنها  س² = 2 م س + 1  (نحل المعادلة فى س)

س² - 2 م س - 1 = 0    نحل المقدار الثلاثى بالقانون العام .....

                     
المميز(او دلتا) =  4م² - 4(-1) = 4(م²+1)


          2م + 2جذر(م²+1)
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــ  = م+جذر(م²+1)
                   2
أو : س = م - جذر(م²+1)

الآن وبكل بساطة ويسر يريد ميل المماس (فى القطع المكافىء) عند هذه الإحداثيات ..


س² = 2ص  ومنها ص = ½س²  (نشتق الطرفين بالنسبة لـ س)

صَ = س    او تكتب هكذا  دَ(س) = س

دَ(م+جذر(م²+1)) = م+جذر(م²+1)

دَ(م - جذر(م²+1)) = م - جذر(م²+1)

بضرب الميل الاول × الثانى

 [م+جذر(م²+1)][م - جذر(م²+1)] = م² - (م²+1) = -1

اذاً المماسان متعامدان (لأن حصاصل ضرب الميلين المتعامدين = -1)

نفرض أن معادلة المماس الأول : ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

معادلة المماس الثانى : ص =  [م - جذر(م²+1)]س + جـ

حيث ب ، جـ الأجزاء المقطوعة من محور الصادات ... بحل المماسين معاً ينتج لنا
نقطع تقاطع المماسين (والتى نريد ان نتحقق هل بالفعل تقع على دليل القطع ؟ )


ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب                      (1)

ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ                     (2)

بضرب س فى القوس ينتج لنا ...


ص = م س +جذر(م²+1)س + ب                    (1)

ص = م س - جذر(م²+1)س + جـ                    (2)

بجمع (1) ، (2)

2ص = 2 م س + (ب+جـ)                              (3)  

بطرح (1) ، (2)

 0 = 2جذر(م²+1) س + (ب - جـ)                   (4)         

ومنها   2جذر(م²+1) س = (جـ - ب) 

                   (جـ - ب)
اذاً : س = ــــــــــــــــــــــــ     بالتعويض فى معادلة (3) 
               2جذر(م²+1)


             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


 كيف نوجد ب ، جـ  ؟
من خلال نقطتى ميل المماس للدالة ..

س = م+جذر(م²+1)   او  س = م - جذر(م²+1)  بالتعويض فى معادلة القطع ..

د(س) = ½س²   ومنها  د(م+جذر(م²+1)) = ½[م+جذر(م²+1)]²

وبالمثل : د(م - جذر(م²+1)) = ½[م - جذر(م²+1)]²

بالتعويض بـ النقطة (م+جذر(م²+1) ، ½[م+جذر(م²+1)]²) فى المماس الأول ..

ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

 ½[م+جذر(م²+1)]² = [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)] + ب

ب =  ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)]

= ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² = -½[م+جذر(م²+1)]²

بنفس الطريقة نوجد جـ .. عوض بالنقطة (م - جذر(م²+1) ، ½[م - جذر(م²+1)]²)
  فى المماس الثانى .. ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ

 ½[م - جذر(م²+1)]² = [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)] + جـ

اذاً : جـ  = ½[م - جذر(م²+1)]² - [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)]

= ½[م - جذر(م²+1)]²  - [م - جذر(م²+1)]² = -½[م - جذر(م²+1)]²

الآن نوجد كلاً من   جـ +ب    ،  جـ - ب

جـ+ب = -½[م - جذر(م²+1)]² - ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½ [ [م - جذر(م²+1)]² + [م+جذر(م²+1)]² ] 

= -½ [م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) + م² + 2م جذر(م²+1)+ (م²+1) ]

= -½(4م²+2) = - (2م²+1)

ثانياً ايجاد : جـ - ب

جـ - ب = -½[م - جذر(م²+1)]² + ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½[ [م - جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² ]

= -½ [ م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) - م² -2م جذر(م²+1) - (م²+1)]

= -½[-4م جذر(م²+1)] = 2م جذر(م²+1)

بالتعويض فى :

             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


                 2م² جذر(م²+1)
اذاً : 2ص  = ــــــــــــــــــــــــــــ - (2م²+1) = 2م² - 2م² - 1 = -1
                   جذر(م²+1)


ص = -½  ولكن هذه معادلة دليل القطع المكافىء

اذاً المطلوب الثانى تحقق ...

تابع القراءة

0 كيف نختبر نظام مكون من معادلتين فى مجهولين ان لهم عدد لا نهائى من الحلول او لا يلحوا معاً ؟

نختبر الجزء المقطوع من المحور y، اذا كان مختلف فلا يوجد حل لهاتين

 المعادلتين معاً، واذا كان متماثل فإنه يوجد عدد لانهائى من الحلول .

تفسير الطريقة : نقول ان للمعادلتين فى مجهولين انهما لهما عدد لا
نهائى  من الحلول او لا يلحوا معاً اذا وفقط اذا كان m1 = m2 والتى
تفسر فى صورة محدد المصفوفة، حيث كلاً من m1 و m2 ميلى
رسم المعادلتين (فى صورة خط مستقيم)

الحالة الأولى :عدد لا نهائى من الحلول
*****************************
عندما يتطابق المستقيمان، فنعطى تفسيراً لهذا انهم يتقاطعوا فى
عدد لا نهائى من النقاط يترتب عليها عدد لا نهائى من الحلول .

جبرياً : اذا كانت : y = ax + b  فإن الجزء المقطوع من المحور y هو b

اذا كانت هناك معادلتان هما : y = ax + b    و y = ax + b'       ll
الميل = a فى كلتا المعادلتين

هناك عدد لا نهائى من الحلول اذا تحقق

b = b'                  ll

الحالة الأولى :عدد ليس لها حل وحيد على الأقل

فى نفس المثال السابق a = الميل

ولكن : b ≠ b'           ll

وتعنى هندسياً ان الخطان متوازيان (غير متطابقان)
لذلك لم يتقاطعوا فى اى نقطة واحدة على الأقل .


السؤال هو : لماذا b هى الجزء المقطوع من محور y ؟
***********************************
نعلم ان الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم فى
الغالب تكون على الصورة : y = ax + b  بحيث اوجدنا y بدلالة x .
a = المشقتة الأولى للدالة = ميل الدالة ((حاول ان تثبتها بنفسك))

هندساً انظر الشبكة التربيعية لتجد ان الجزء المقطوع من محور y
ان وجد فهو موجود عندما تكون x معدومة القيمة أى x=0 

نعلم من ذلك ان y هى الجزء المقطوع من المحور
y عندما x = 0  .. الآن نضع x = 0

y = a(0) + b   ومنها y = b

تساوى الجزء المقطوع من محور y-axis

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
ليكن لدينا : ax+by=c
             'a'x+b'y=c

وكان : ab'-a'b=0

هنا نضع x=0 فى كلتا المعادلتين فينتج لنا :

by=c  ومنها y=c/b

بنفس الطريقة فى المعادلة الثانية y=c/b'  ll

اذا تحقق أن : c/b = c/b'      ll

فإن هناك عدد لا نهائى من الحلول .

بينما اذا تحقق : c/b ≠ c/b'    ll

فلا يوجد حل لهاتين المعادلتين معاً .
◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄

مثال : 3x + 4y = 5
       6x + 8y = 7

الآن : 3*8  - 4*6 = 0

ولكن : 5/4 ≠ 7/8

النتيجة : لا يوجد حل للمعادلتين (معاً)

تابع القراءة

3 اوجد اقرب نقطة تقع على منحنى الدالة y²+x = 0 للنقطة ll (0,-3) ll

نستعمل قانون المسافة بين نقطتين ::::
 
النطقة الأولى ll  (0,-3)  ll

النقطة الثانية (نقطة تقع على المنحنى)

ولتكن النقطة : ll (x,y)  ll

نفرض أن المسافة بينهما = d


d² = x² + (y+3)²   ll


ولكن : y²+x = 0

ومنها  y = ± sqrt(-x)   ll

ولا تنزعج فإنه من الطبيعى ان x سالبة

بالعويض ..

d² = x² + [±sqrt(-x)+3]²   ll


d² = x² -x ±6sqrt(-x) + 9

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ...

d = sqrt[x² -x ±6sqrt(-x) + 9]  ll

ولا نأخذ الحالة السالبة لأنه لا يوجد مسافة طول سالبة .

اصبحت d دالة فى x وبإيجاد القيم القصوى للدالة
ونوجد x التى تجعل d اقل ما يمكن .

                       
الآن : مشتقة الجذر التربيعى


          مشتقة ماداخل الجذر
 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           2× الجذر نفسه


المشتقة الأولى = 0  عندما :

  مشتقة ماداخل الجذر = 0


2x - 1 ±3/sqrt(-x) = 0


ll    ±3/sqrt(-x) = (1 - 2x)   ll


حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

sqrt(-x) (1 - 2x) = ±3

الآن نحن قد علمنا أنه لا يكن ان تكون x موجبة
لأنه اذا كانت موجبة يكون ما بداخل الجذر سالب
ولكن نحن نريد الحل فى مجموعة الأعداد الحقيقة
اذاً لابد ان تكون x سالبة .

الآن : x سالبة تؤدى الى ان ما داخل الجذر موجب
اذاً قيمته موجبة .. تؤدى الى أن المقدار :
(1 - 2x) قيمته سالبة .. اذاً نأخذ الحالة السالبة فقط .

sqrt(-x) (1 - 2x) = -3

بتربيع الطرفين ينتج :

ll                 -x(1 - 2x)² = 9


ll           -x(1 -4x + 4x²) = 9


ll            -x + 4x² - 4x³ = 9


ll       -4x³ + 4x² - x - 9 = 0


4x³ - 4x² + x + 9 = 0

بإضافة 8x وطرحها مرة أخرى ..


4x³ - 4x² - 8x + 9x + 9 = 0


4x(x² - x - 2) + 9(x+1) = 0


4x(x+1)(x-2) + 9(x+1) = 0


بأخذ (x+1) عامل مشترك ..

ll          (x+1) (4x(x-2) +9) = 0


ll       (x+1) (4x² - 8x + 9) = 0


اذاً : x + 1 = 0  ومنها x = -1

القوس الثانى عند حله بالقانون العام ينتج لك أعداد مركبة .

ويمكنك التأكد من انها قيمة صغرى محلية للدالة عند ايجاد
المشتقة الثانية للدالة عندما x = -1 تجد انها تعطى قيمة
موجبة .. اذاً x = -1 قيمة صغرى محلية .

الآن نعوض فى الدالة الاصلية عند x = -1


y²+x = 0   بعد التعويض : y² = 1

ومنها : y = 1    أو  y = -1

احدهم فقط مقبول وهو الحل السالب
ويمكن التأكد من ذلك بعد طرق منها رسم
تقريبى للدالة لتجد أن y = -1 اقرب الى
النقطة ll  (0,-3)  ll

اذاً أقرب نقطة تقع على منحنى y^2+x=0

من النقطة ll (0,-3) ll هى النقطة ll  (-1,-1)  ll
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

حل آخر :

نعلم أنه اذا كانت لدينا نقطة تنتمى لقطعة مستقيمة وكانت
 لدينا نقاط أخرى فى المستوى فإن أقصر طول بين النقطة
التى تنتمى للقطعة المستقيمة الى اى نقطة فى المستوى
هى النقطة التى تكون مسقط عمودى على على القطعة المستقيمة .

وهذا يدلنا على أن : أقرب طول بين نقطة ما على منحنى الدالة
والنقطة (-1,-1) هو العمودى على ميل المماس للدالة عند هذه 
النقطة : الآن نوجد المشتقة الأولى للدالة ..

y²+x = 0    ومنها 2y y' + 1 = 0   اذاً :  y' = -1/2y

والميل العمودى له هو :ll            2y

الآن نوجد الميل العمودى بين النقتطين : ll  (x,y)   , (0,-3)  ll

ll                                  = (y+3)/x =2y

ll                         x = (y+3)/2y        (1


ولكن المعادلة الأصلية هى : y²+x = 0    (2

بالتعويض فى (1) فى (2)




y² + (y+3)/2y = 0    بضرب الطرفين فى 2y



2y³ + y+3 = 0


وبعد حلك للمعادلة ينتح أن y = -1  وبالتعويض فى الدالة الأصلية

ينتج أن x = -1  

اذاً النقطة هى : (-1,-1)

تابع القراءة

3 اوجد صورة x,,y,z بالدوران حول النقطة p بزاوية 90 درجة فى عكس اتجاه عقارب الساعة

بزواية 90
XYZمثلث  
رؤوسه هي : (Z(1,5) , Y(3,1) , X(0,-1 ودورانه بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة حول النقطة (P(-1,1

وهذا السؤال يتعلق بدرس التحويلات الهندسية : الدوران .

اذا كان الدوران فى نقطة الأصل فإن :
انعكاس النقطة ll  (x , y)  ll  فى نقطة الأصل
بزاوية 90 درجة هى : ll    (-y , x)    ll


بالنسبة لسؤالك فالإنعكاس فى نقطة أخرى فهنا
نحرك كل نقطة بحيث تكون نقطة الدوارن مركز
لها (او بمثابة نقطة أصل لها)

ولفعل هذا نطرح نقطة الدوران من جميع النقاط المذكور
ثم نجر الإنعكاس (كما لو كنا فى نقطة الأصل)
ومن ثم نضيف مرة أخرى نقطة الدوارن .

لن يتضح هذا الا بحل أول نقطة :

أولاً : نوجد النقطة X بالدورن حول النطقة p زاوية
قياسها 90 درجة فى عكس اتجاه عقارب الساعة .

خطوات الحل :

1) نوجد ll  X - P  = (0,-1) - (-1,1)  = (1,-2)  ll

2) نوجد دوران النقطة ll  (1,-2)  ll حول نقطة الأصل
بزاوية مقدارها 90 درجة .

= ll   (2,1)  ll

3) نضيف لها نقطة الدوران .

ll   (2,1) + (-1,1) = (1,2)   ll

اذاً صورة النقطة X بالدوران حول p بزواية قياسها
90 درجة فى عكس اتجاه عقارب الساعة هى النقطة

x' (1,2)                         ll


لاحظ الحل سهل عندما تتعود عليه وحتى لا نكرر
نفس الخطوات فإن :


صورة x هى  x' (1,2)      ll

صورة y  هى y'(-1,5)      ll

صورة z هى  z'(-5,3)      ll‏

تابع القراءة

0 اوجد معادلة الدائرة التى تمس محور السينات فى النقطة (-2 ، 0) وتقطع جزءاً من محور الصادات طوله 4جذر(3)

الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها (د ، هـ)
ونصف قطرها نق هى : -

(س - د)² + (ص - هـ)² = نق²

وبما انها تمس محور السينات فى النقطة التى ذكرتها

اذاً د = -2   ،  هـ = نق

((تستطيع ايضاً ان توجدها عن طريق المشقتة الأولى
لكنها تعتبر خطوات زائدة ))
.........................................................
وتقطع من محور الصادات الموجب وترا طوله 4جذر(3)

تعلم ان نصف القطر عمودى على الوتر وينصفه

اذاً ينصبفه الى 2جذر(3)  ، 2جذر(3)

ومن ثم يكون طول الضلع الأفقى (كما هو مبين بالرسم)
يساوى 2 ( لأنه موازى لمحور السينات من -2 الى 0 )
وطبعاً لا يوجد طول ضلع بالسالب لذلك نقول ان الطول
= |-2| = 2

الآن الوتر فى المثلث القائم هو (نق) = هـ

استخدم نظرية فيثاغورث :

هـ² = (2)² + (2جذر3)²

هـ² = 16  ومنها هـ = 4    ،  نق = 4

الآن : د = -2   ،  هـ = 4   ، نق = 4

اذاً : معادلة الدائرة اصبحت :

(س + 2)² + (ص - 4)² = 16

تابع القراءة

33 كيف نوجد مجال الدالة ؟

شكل "1" د(س) = س²

اولا ً : ░ ايجاد مجال الدالة بيانياً ( من الرسم ) ░

تعريف : مجال الدالة هندسياً هو الجزء المشغول من محور السينات .


مثال "1" عند رسم الدالة التربيعية د(س) = س²

كما فى المراجع ( شكل 1 )



فى الشكل نجد ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة تقابلها
نقطة وحيدة ( ووحيدة فقط ) على محور السينات، ونلاحظ
ان منحنى الدالة ممتد الى أعلى ( الى مالانهاية )
وهذا يعنى ان كل نقطة تقابلها نقطة وحيدة على على محور
السينات .. تؤدى الى ان الدالة معرفة على جميع الأعداد
الحقيقية، اى ان مجالها هو ح .

مثال "2" عند رسم الدالة التكعيبية د(س) = س³

شكل"2" د(س) = س³

كما فى المراجع ( شكل 2 )

فنجد ايضاً ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة اذا
اقطنا منها عامود على محور السينات فإن كل نقطة
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات الى مالانهاية
لذلك نقول ان ميل ال دالة التكعيبية
 معرفة على ح
(( أى على جميع الأعداد الحقيقية ))

                                                          1
مثال "3" عند رسم الدالة الكسرية د(س) = ـــــــــــ
                                                        س

شكل"3" د(س) = 1/س

كما فى المراجع ( شكل 3 )





فنجد ان كل نقطة تقع على منحنى تقابلها نقطة وحيدة
على مور السينات، ثم افترقت الدالة الى ( شطرين ) عند
الصفر .. ثم بقية الرسم فى الربع الثالث ايضاً كل
نقطة عليها تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات

ولكن هذه الدالة غير معرفة عند الصفر كما يظهر فى الرسم
فإننا اذا وضعنا اصبع السبابة مثلاً عند نقطة الأصل ثم حاولنا
الطلوع الى أعلى فنجد ان الصفر ليس له صورة او ان
صورته تقترب من اللانهاية ( لكنها ليست صورة حقيقية )
كذلك اذا ما حاولنا النزول الى اسفل نجد ان الصفر ليس
له صورة ( على منحنى الدالة ) فقط نستطيع ان نقول
ان صورته تقترب من سالب ملانهاية ، كذا رأينا ان الصفر
له صورتان مقربتنا وهما موجب ملانهاية وسالب مالانهاية
(( لكنها ليست صورة فعلية لأن اللانهاية اصلاً ليست عدد حقيقى ))

اذاً نقول ان مجال هذه الدالة هو ح فرق الصفر وتكتب

ح - {0}

اى انها معرفة على جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا الصفر .


مثال "4" عند رسم الدالة الجذرية د(س) = جذر(س)


كما فى المراجع ( شكل 4 )

شكل"4" د(س) = جذر(س)

نجد ان كل نقطة تقع على منحن الدالة ( فى الطرف الأيمن )
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات .. ولكن من الجهة
الأخرى ( الطرف الأيسر ) لا توجد نقاط للدالة تقابل محور
السينات .

لذلك نقول ان مجال هذه الدالة هو اى عدد موجب من 0 الى مالانهاية
وتكتب هكذا مجال الدالة = [0 ، ∞[

الصفر هنا مغلق ( لأنه ضمن مجال الدالة )
بينما ∞ فترة مفتوحة لأن ∞ ليست عدد حقيقى .



ثانياً : ░ ايجاد مجال الدالة جبرياً░

تعريف : مجال الدالة جبرياً هو جميع الفترات التى تكون فيها الدالة
معرفة .

مثال : اذا أخذنا مثال "1" ومثال "2" واردنا ان نوجد مجال الدالة جبرياً

د(س) = س²   بالتعويض فى الدالة بقيم محددة نلاحظ ان :

د(-5) = (-5)² = 25

د(-3) = (-3)² = 9

د(-1) = (-1)² = 1

د(0) = (0)² = 0

د(1) = (1)² = 1

د(3) = (3)² = 9

د(5) = (5)² = 25


وهكذا .. اذا استمرينا بالتعويض فنجد اننا بإستطاعتنا التعويض بأى
عدد حقيقى .. لذلك نقول ان مجال الدالة هو ح .

كذلك نفس الشىء بالنسبة للدالة د(س) = س³

يمكن التعويض فيها بأى عدد حقيقى أ مثلاً بحيث

د(أ) = أ³

لذلك مجال الدالة هو  ح .


وهنا نذكر نتيجة هامة جداً .. مجال الدالة د(س) = س^ن

حيث ن عدد طبيعى ( صحيح )       ..  هو   ح

اى ان مجال دالة عبارة عن س مرفوعة لأس صحيح ( مجالها ح )

استنتاج مباشر : الدوال كثيرات الحدود مجالها ايضاً ح .

الإثبات سهل جداً ، فقط بمعرفتنا ان الدالة يمكن كتابتها كمجموع دوال.

مثال د1(س) = س²    ، د2(س) = س³

د1 ، د2  هى اسماء ( مجردة ليس لها معنى سوى انها تميز دالة عن أخرى )

الآن نفرض ان مجموع د1  ، د2  هو  د

د(س) = س³ + س²

هكذا حصلنا على دالة عبارة عن مجموع دالة تربيعية وتكعيبية معاً .

ولكن مجال س²  هو ح   ومجال  س³  هو ح ايضاً

اذاً مجال س³ + س²  هو ح ايضاً .

نتيجة أخرى : د(س) = أ  مجالها ح لكل أ عدد حقيقى

وتسمى هذه بالدالة الثابتة .

مثال :  د(س) = 1

نلاحظ انه يمكن وضع الدالة هذه على الصورة د(س) = س^0

لذلك فإن اى عدد اس صفر (فيما عدا الصفر ) يساوى 1

لذلك نتعامل مع الدالة الثابتة على انها ضمن الدوال كثيرات الحدود .
ويكون مجالها هو ح .

ايضاً عند رسم الدالة د(س) = 1  تتعين فى رسمة خط مستقيم

موازٍ لمحور السينات، وذلك لأن عند التعويض فيها فإنها تأخذ قيمة ثابتة 1 فقط .

يعنى : د(10) = 1
         د(5) = 1
           د(4.5) = 1
         .
. وهكذا .. د(أ) = 1

حيث أ عدد حقيقى .

الدوال كثيرات الحدود تكون على هذا الشكل :


د(س) = أس^ن + ب س^(ن-1) + جـ س^(ن-2) + .... + د

حيث د هو الحد المطلق ..

مثال : د(س) = 3س^5 + 4س^4 + س³ + 2س² + س + 4

تعتبر دالة كثيرة حدود ومجالها ح .




                                              1
الآن نأخذ المثال الثالث : د(س) = ــــــــــــ
                                             س

نلاحظ ان س موجودة فى المقام.

حيث يمكن التعويض فى الدالة بأى عدد حقيقى فيما عدا الصفر
لماذا ؟؟ لأن الصفر سيجعل المقام بصفر ، والقسمة على الصفر
غير جائزة .

اذا عوضنا بصفر ..

              1
د(0) = ــــــــــــ = كمية غير معرفة .
             0

اذاً مجال هذه الدالة هو  ح - {0}


وبصفة عامة نذكر ما يلى :


مجال الدالة الكسرية هو ح فرق اصفار المقام .


                                                       س² + 2س
مثال "5" : عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                                                         س + 1

لتعيين مجال الدالة نقول :

مجال الدالة = ح - {اصفار المقام}

ونعين اصفار المقام بهذه الطريقة .. نسأل ما القيمة التى تأخذها س
حتى تجعل المقام يساوى صفر ؟؟

وهى هنا واضحة تماماً القيمة هى س = -1

لأن  -1 + 1  = 0

ولكن نريد تعينها بطريقة علمية فنساوى المقام بالصفر هكذا ..

س + 1 = 0  ومنها  س = -1  (( هى صفر للمقام ))

اذاً المجال = ح - {-1}

                                                        س
مثال "6" عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــ
                                                    س² - 1

اولاً نوجد اصفار المقام ( بمساواة المقام بالصفر )

س² - 1 = 0   ومنها س² = 1  اذاً س = ±1

مجال الدالة = ح - {±1}

                                                       س² - 1
مثال "7" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                   س² - س - 6



اصفار المقام : س² - س - 6 = 0   بتحليل المقدار الثلاثى .

(س - 3) (س + 2) = 0

اما س - 3 = 0   ومنها س = 3

واما س + 2 = 0   ومنها س = -2

اى ان مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}


وهنا نريد ان ننوه الى خطأ يقع فيه بعض الطلاب .

                               
                                                      (س + 2)      
مثال"8" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                    س² - س - 6


الحل الصحيح هو كما سبق نوجد اصفار المقام
بمساواة س² - س - 6 = 0

ومن ثم مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}

ولكن البعض يفعل ذلك وهو تحليل المقام هكذا ..


                  (س + 2)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            (س + 2) (س - 3)


وبإختصار  (س + 2) فى كلاً من البسط والمقام ..

                        1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    س - 3


ومن ثم س - 3 = 0   ومنها  س = 3

اذاً  المجال هو ح - {3}

وهذا غير صحيح .. لأن الدالة الأصلية اصفار مقامها ليست هكذا
فالصحيح هو ايجاد أصفار المقام أولاً ومن ثم تبسيط شكل الدالة
ان امكن ذلك .

وأخيراً : نأخذ مثال "4" أعلاه ونحله جبرياً :

د(س) = جذر(س)

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر صفر ؟   نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة موجبة ؟  نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة سالبة ؟  غير ممكن

لماذا ؟

لأنه لا يوجد جذر لعدد سالب فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

مثال اذا قلنا س² = -1 

هل يوجد عدد عند تربيعه يعطى قيمة سالبة ؟

نحن نعلم ان التربيع يلغى الإشارة السالبة .. اذاً اى عدد حقيقى
مربعة لابد ان تكون قيمة موجبة .

من جهة أخرى س² = -1  اذا احذنا الجذر التربيعى للطرفين

س  = ± جذر(-1)

اذاً لا توجد قيمة حقيقية لعدد حقيقى سالب .

وبناء عليه يتم تعريف مجال الدالة د(س) = جذر(س)  جبرياً

على انه جميع الأعداد الموجبة (فقط) + الصفر .

اذاً مجال الدالة = ح+

يعنى جميع الأعداد الحقيقة الموجبة، واحياناً تكتب

مجال الدالة = ح+ +{0}

,احياناً تكتب مجال الدالة = [0 ، ∞[

واحياناً تكتب مجال الدالة ح ≥ 0

وهذه من افضل الصيغ لها لأنها تلخص المضمون كله فى صيغة مبسطة .

وتقرأ مجال الدالة هو ح حيث ح اكبر من او يساوى الصفر .

وبصفة عامة : مجال الدالة الجذرية هى جميع القيم التى تحقق
ان ما تحت الجذر قيمة موجبة او تساوى الصفر ..

مثال "9" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(3س - 1)

هنا نضع ماتحت الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

3س - 1 ≥ 0      ونحل المتباينة .


3س ≥ 1    ومنها س ≥ 1\3

فقط هكذا تعين مجال الدالة ( سهولة )


مثال "10" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(4 - س²)

نضع : 4 - س² ≥ 0     هذا حل .. ونكمل

لكن من الأفضل طالما ان ما تحت الجذر التربيعى دالة  اكبر من
 الدرجة الأولى فيفضل وضعها فى صورة معادلة .. هكذا .

4 - س² = 0  ومنها س² = 4   ومنها س = ±2

الآن نرسم خط الأعداد ونفصله عند القيم 2   ، -2
لنجد انه مقسوم الى ثلاً فترات ، ثم نختار اى عدد
فى كل فترة ونتحقق منه فى العلاقة 4 - س² ≥ 0

اذا حقق العلاقة تكون هذه الفترة ليست مجال الدالة
 ( طبعاً لا نعوض بجميع الأعداد لان هذا مستحيل ..))

واذا لم تحقق العلاقة  4 - س² ≥ 0  تكون ضمن مجال الدالة


المهم .. بعد التعويض نجد ان هناك فترة وحيدة فقط تحقق
مجال الدالة وهى  الفترة من -2  الى 2


اذاً مجال الدالة = [-2 ، 2]




░ ثالثاً : ايجاد بعض الدوال الأخرى░


مجال دالة المقياس ( دالة القيمة المطلقة ) هو ح .

مثال مجال الدالة د : د(س) = |س|   هو ح

مجال الدالة د : د(س) = |3س - 2|  هو ح  .. وهكذا


كذا ايضاً مجال الدالة الأسية هو ح :


مثال : د(س) = 2^س   مجالها ح .

(( ونلاحظ انها دالة اسية لأن س موجودة فى الأس ))


كذا ايضاً : دالتى الجيب وجيب التمام مجالها ح .

مثال : د(س) = جاس   مجالها ح



►♫ايجاد مجال الدالة الكسرية مع دخول بعض الدوال الأخرى عليها♫◄


                                                           1
مثال "11" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                                                   جذر(س+1)

هذه دالة كسرية دخل عليها دالة جذرية .

ونحن نعلم لإيجاد مجال الدالة الكسرية نعين اصفار المقام
(( يعنى نساوى المقام بالصفر ))

ونعلم ايضاً عند ايجاد مجال الدالة الجذرية فإننا نضع ما داخل
الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

الآن نوفق بين المفهوم الأول وبين المفهوم الثانى

فنأخذ ما تحت الجذر اكبر من الصفر ( فقط ولا يساوى الصفر )

لأنه اذا ساوى الصفر سيكون المقام يساوى صفر ، وهذا غير جائز .

اذاً مجال الدالة يتعين من خلال وضع :  س + 1 >  0

ومنها س >  -1

تابع القراءة

1 ادرس الشكل الذى فيه النقط (A(-2,3 و (B(2,1 و (C(-5,-1 و النقطة D بحيث المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB

نعتبر النقط (A(-2,3 و (B(2,1 و (C(-5,-1 و النقطة D بحيث المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB

لتكن النقطتين I و J منتصفي القطعتين [AB] و [CD]
على التوالي
1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا www.

هذا اضرب نموذج للشكل الذى يعنيه السؤال ( فى المراجع )

1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
................................................................
كما يظهر واضحاً فى الشكل انه شبه منحرف، والتعليل
كما يلى، لكى نقارن بين متجه ومتجه آخر فى المستوى
من حيث الطول يجب ان يكونوا متوازيين ( لأنهم يعبروا عن اتجاه )
ولكن هناك قاعدة اكبر من قاعدة أخرى .. اذاً طبيعة الشكل هو شبه
منحرف ( غير متساوى الساقين ) كما سنبين لاحقاً .

لكى نحددد زوج الإحداثيات للنقطة D نستعين بالمعطى :

المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB

المتجهة CD  = نهايته - بدايته

نفرض ان D  هى النطقة (x , y) بحيث ان المتجه CD
= (x+5 , y+1)

ايضاً ضعف المتجه AB = 2(4 , -2)  = (8,-4)     ll

الآن  المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB

(x+5 , y+1)  = (8,-4)

x+5 = 8           ومنها x = 3

y+1 = -4  ومنها y = -5

اذاً احداثى النقطة D (-3 , 5)         ..l
.................................................
الآن لاحظ ان كلاً من احداثيات J , I  هى عبارة
عن منصفات قطعة مستقيمة ، وطبع قانون المنصف
بأن تجمع الإراتيب وتقسم على 2 ، والأفاصيل وتقسم على 2

I = ((2-2)/2  , (3+1)/2)  = (0 , 2)      ...l

j = ((-5+3)/2 , (-1-5)/2) = (-1 , -3)       ..l
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)

نفرض ان معادلة AC هى المستقيم y = mx+a

ولكن المستقيم AC يحقق النقتطين A(-2,3)  , C(-5,-1)    ..l

m = (3--1)/-2--5) = 4/3

y = 4/3x + a

عوض بأى نقطة ولتكن A

3 = -8/3 + a  ومنها a = 17/3

اى ان معادلة الخط المستقيم AC هى y = 4/3x + 17/3
........................................................................
 تمثيلا بارمتريا (BD) :

نضع المستقيم BD على الصورة y = mx + a

 m = (1--5)/2-3) = 6/-1 = -6

y = -6x + a

عوض بالنقطة B(2,1)      ..l

1 = -12 + a  ومنها a = 13

y = -6x + 13

let y = t

t = -6x + 13

6x = 13 - t

x = 13/6 - t/6
...................................................................
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E

بالنظر الى الشكل تجد ان E تتقاطع خارج الشكل الرباعى
وايجادها يكون بحل المستقيمين AC  و  BD

AC : y = 4/3x + 17/3
BD : y =  -6x + 13


4/3x + 17/3 = -6x + 13


4/3x + 6x = 13 - 17/3

22/3x = 22/3   بقسمة الطرفين على 22/3

x = 1

الآن عوض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y

 y =  -6x + 13

y = -6 + 13  = 7

اذا احداثيات E هى E (1 ; 7)             ..l
..............................................................
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)

الحل : نوجد المستقيم Ij بحيث نضعه على الصورة
الديكارتية y = xm+a
بحيث يمر هذا المستقيم بالنقط I (0 , 2)   , j(-1 , -3)   .l

m =  (2--3)/(0--1) = 5

y = 5x + a

عوض بأى نقطة منهم ولتكن I (0 , 2)      .l

 2 = 0 + a  ومنها a = 2

اى ان معادلة المستقيم Ij هى y = 5x + 2

الآن عوض بالنقطة E (1 ; 7)    ..l  اذا حققت المعادلة
فهى بالفعل تنتمى للمستقيم Ij

y = 5x + 2

 7 = 5 + 2

بالفعل تحققها لأن 7 = 5 + 2 = 7

اذاً النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية

الحل : اذا اردنا ايجاد احداثيات النقطة F فإننا نحل
المستقيمين  AD و BC  معاً بأى طريقة وتستطيع
حلهم بواسطة المصفوفات .

AD يمر بالنقطتين A(-2 , 3 )   ,  D(3 , -5)   ..l

AD : y = mx+a

m = (3--5)/-2-3) = -8/5

y = -8/5x + a

عوض بالنقطة A(-2 , 3 )    ,,l

3 = 16/5 + a   ومنها a = -1/5

AD : y = -8/5x-1/5

بنفس الطريقة نوجد معادلة المستقيم BC
الذى يمر بالنقطيتين B(2 , 1)  , C(-5 , -1)  ..l

BC : y = mx+a

m = (1--1)/2--5) = 2/7

y = 2/7 x + a

عوض بالنقطة B(2 , 1)    ..l

1 = 4/7 + a  ومنها a = 3/7


BC : y = 2/7x+3/7

الآن نضع : 

AD : y = -8/5x-1/5

BC : y = 2/7x+3/7


2/7x+3/7 = -8/5x-1/5

2/7x + 8/5x = -3/7 - 1/5

66/35x = - 22/35  بضرب الطرفين فى 35

66x =- 22

x =  -22/66

x = - 1/3

بالتعويض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y .

BC : y = 2/7x+3/7

y = 2/7 * -1/3  + 3/7

y = 1/3

اذاً احداثى النقطة F هو  F(-1/3 , 1/3)    ..l
.........................................................
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية

الآن النقطة F تنتمى للمستقيم IJ فى حالة واحدة فقط
اذا كانت تحقق المستقيم هذا المستقيم ..

y = 5x + 2  هذا معادلة IJ

عوض بالنقطة F(-1/3 , 1/3)    ..l

لكى نتحقق من ان :

1/3 = -1/3 .5  + 2

بالفعل المعادلة صحيحة تماماً والنقطة F تحقق
 المستقيم IJ

ولكننا اثبتنا فى المطلوب الثانى ان النقطة E ايضاً
تنتمى للمستقيم Ij .

اذاً النقط E و F و I و J مستقيمية  .
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا

بالفعل تم انشاء الشكل بالكامل كما فى المراجع .
وهو عبارة عن الشكل E C D  .

تابع القراءة

0 اوجد المعادلة القياسية للقطع الناقص (16س^2-72س)+(9ص^2+54ص) +18=0

(16س² - 72س) + (9ص² + 54ص) + 18 = 0

= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

هذه الخطوة واضحة اخذنا 16 عامل مشترك
من القوس الأول ثم 9 مشترك من القوس الثانى ..
= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

نقوم بإكمال المربع ..

الحد الاوسط فى المربع الكامل هو :
2 جذر(الحد الأول) ( جذر الحد لثالث )

                              الحد الاوسط
اذاً جذر الحذر الثالث = ــــــــــــــــــــــــــ
                            2جذر(الحد الأول)

                  (مربع الحد الاوسط)
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      4 الحد الاول
     (-4.5)²
= ـــــــــــــــــ =[ (4.5)/2 ]²
       4

وكذلك الحد الثالث بالنسبة لـ ص

         36
= ــــــــــــــــــــ = 9
         4

بإكمال المربع ..

= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

= 16(س²-4.5س+[ (4.5)/2 ]² - [ (4.5)/2 ]² )
+ 9 (ص²+6ص+9 - 9) = -18

= 16 [(س-2.25)² - [ (4.5)/2 ]² ]
+ 9[(ص+3)² - 9] = -18

= 16(س-2.25)² - 16 [ (4.5)/2 ]²
+ 9(ص+3)² - 81 = -18

16(س-2.25)² + 9(ص+3)² = -18+81+16 [ (4.5)/2 ]²

16(س-2.25)² + 9(ص+3)² = 144

بقسمة الطرفين على 144

16(س-2.25)²       9(ص+3)²
ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ = 1
  144                      144

(س-2.25)²          (ص+3)²
ـــــــــــــــــــــ +  ــــــــــــــــــــــ = 1
      9                    16

وتعتبر معادلة قطع ناقص فيه
أ = 3 ، ب = 4 ، جـ = 5

ومركزه النقطة (2.25 ، -3)

تابع القراءة

5 اوجد النقطة د التى تحقق الشرط المطلوب من المسألة

أ ب جـ  د متوازى اضلاع فيه أ (3 ، 4) ، ب (2،-1) ، جـ (-4،-3)  اوجد د :


الحل :





أ ب جـ  د متوازى اضلاع فيه أ (3 ، 4) ، ب (2،-1) ، جـ (-4،-3)  اوجد د :


اولاً انظر الرسم، ومن ثم نوجد نقطة د من قانون البعد بين نقتطين .. الحل فى المرجع :


من خواص متوازى الأضلاع نجد ان : طول أب = د جـ


أب = جذر[(3-2)² + (4--1)² ] = جذر(1+25) = جذر(26) 


وبفرض ان احداثى النقطة د (س،ص)


د جـ = جذر[(س+4)² + (ص+3)² ] = جذر(26)


(س+4)² + (ص+3)² = 26


س² + 8س + 16 + ص² + 6ص + 9 = 26


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


ولكن ايضاً : ب جـ = أ د         (( من خواص متوازى الأضلاع ))


ب جـ = جذر[(2+4)² + (-1+3)²] = جذر(36+4)=جذر(40) 


أ د = جذر[(س-3)² + (ص-4)²] = جذر(40)


(س-3)² + (ص-4)² = 40


س² -6س + 9 + ص² - 8ص + 16 = 40


س²+ص² -6س - 8ص = 15                      (2)


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


ـــــــــــــــــ بطرح (1) ، (2) ــــــــــــــــــــــــــــــ
-14س - 14ص = 14   بالقسمة على -14


س + ص = -1     ومنها ص = -(س+1)   بالتعويض فى (1)


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


س² + س²+2س + 1 + 8س -6س - 6 = 1


2س² + 4س -6 = 0     بالقسمة على 2


س² + 2س - 3 = 0    


(س - 1 ) ( س + 3 ) = 0


 اما س = 1         ،   اما س = -3




              بالتعويض فى العلاقة : س+ص = -1


اما ص = -2          ،   ص  = 2


اذاً : احداثى نقطة د : اما ( 1 ، -2 )   ،  واما  ( -3 ، 2 )


ولكن النقطة ( 1 ، -2 ) لا تحقق شرط المطلوب من المسألة
اذاً النقطة الصحيحة هى ( -3 ، 2 ) هى احداثى النقطة د .

تابع القراءة

0 اهم حالات ايجاد معادلة الخط المستقيم

الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هى : ص = أس + جـ
حيث س،ص متغيريين فى دالة ، أ ميل الدالة، جـ الجزء المقطوع
من محور الصادات .

1) يعطيك نقطتين معلومتين، ويطلب منك الميل والجزء المقطوع
من محور الصادت .
2) يعطيك الميل، ونقطة معلومة، ويطلب منك ايجاد الجزء المقطوع
من محور الصادات .
3) يعطيك الميل والجزء المقطوع من محور الصادات، ويطلب منك ايجاد
مجموعة محددة تحقق الدالة .
4) يعطيك نقطتين احدهما فيه مجهول، والأخرى معلومة، ويعطيك الجزء
المقطوع من محور الصادات، ويطلب منك ميل الدالة .
5) يعطيك قياس الزاوية التى يصنعها المستقيم فى الإتجاه الموجب
لمحور السينات، ويطلب منك الميل،، حيث ان الميل فى هذه الحالة
= ظاهـ ، هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ، والإتجاه
الموجب لمحور السينات .
6) يعطيك الزاوية المحصورة، ونقطة تقع عليه، ويطلب منك الجزء المقطوع
من محور الصادات .
7) يعطيك مستقيم معلوم يوازى المستقيم المجهول، ويطلب منك مثلاً
اسجاد نقطة تحققه، او الجزء المقطوع من محور الصادات، او حتى ممكن
يطلب منك الميل، حيث انه فى هذه الحالة  ميل المستقيم1 = ميل المستقيم2
8)يعطيك مستقيم معلوم عامودى على مستقيم مجهول، ويطلب منك نفس الاشياء
السابقة، وفى هذه الحالة يكون ميل المستقيم1 ×  ميل المستقيم2 = -1

ملحوظة كل هذه الاشياء تطبق على المعادلة التى على الصورة : ص = أس + جـ
فإن لم تكن المعادلة على هذا الشكل، جعلناها على الصورة السابقة .

مثال : 2س + 3ص = 5  هذه ليست على الصورة القياسية السابقة
ولكى نجعلها هكذا نفعل الآتى :

3ص = -2س  + 5    وبقسمة الطرفين على 3 نحصل على

ص = (-2\3)س + (5\3)

الميل = -2\3 ، الجزء المقطوع من محور الصادات = 5\3

تابع القراءة