3 اذا علمت ان أ+ب=225 فإثبت أن : ظتاأ/(1+ظتاأ) × ظتاب/(1+ظتاب) = 0.5

• القانون الأول :
                     1 + ظاس ظاص
ظتا(س - ص) = ـــــــــــــــــــــــــ
                      ظاس - ظاص

• ظا225 = ظتا225 = 1

•
أ+ب = 225  هذا يعنى أن : ظتا(أ+ب) = ظتا(225) = 1

استعمل المتطابقة :

                 1 - ظاأ ظاب
ظتا(أ+ب) = ــــــــــــــــــــــ = 1
                  ظاأ + ظاب  

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين .

1 - ظاأ ظاب = ظاأ + ظاب

ومنها   ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)

فى اعتقادى انه توجد أكثر من طريقة للحل، ولكن من خلال النظر
الى الطرف الأيمن نجد ان كلاً من الدالة التى تحتوى على أ والدالة
التى تحتوى على ب منفصل كلاً منهم عن الآخر ، لهذا يمكن ان
نقول : بما أن  أ + ب = 225   اذاً  أ = 225 - ب

                              1 + ظا225 ظاب      1 + ظاب  
ظتاأ = ظتا(225 - ب) = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                               ظا225 - ظاب         1 - ظاب

                             1 + ظاب            2
ومنها : 1 + ظتاأ = 1 + ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                              1 - ظاب        1 - ظاب

            ظتاأ           1 + ظاب       1 - ظاب       1 + ظاب
اى أن : ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ × ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
          1 + ظتاأ       1 - ظاب            2                2


بالمثل تماماً (وبتكرار نفس الخطوات) :

 ظتاب          1 + ظاأ
ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
1 + ظتاب          2

                ظتاأ          ظتاب         1 + ظاأ           1 + ظاب
هذا يعنى : ـــــــــــــ × ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ
              1+ظتاأ       1+ظتاب          2                   2

   (1+ظاأ)(1+ظاب)     1 + ظاأ + ظاب + ظاأ ظاب
= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           4                                4

ولكن ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)      بالتعويض ...

   1 + (ظاأ + ظاب) + 1 - (ظاأ + ظاب)        2
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
                      4                                4

اتمنى ان اجد طريقة أخرى للحل ...

تابع القراءة

2 اثبت ان : ( أ َ² - بَ² )/جـَ² = جا(أ - ب)/جا(أ + ب)

بعد تفكير وجدت ان قانون الجيب مناسباً للحل، لكن قبل الحل
نعلم أن : أ + ب + جـ = 180  ومنها أ + ب = 180 - جـ

هذا يعنى :  جا(أ+ب) = جا(180 - جـ)

ولكن : جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكلمة لها)

اذاً : جا(أ+ب) = جاجـ    وهذه خطوة هامة جداً ...

ثانياً : ارشدك الى قوانين النسبة والتناسب .

• مجموعة المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

• اذا تساوت نسبتان فإنه اذا تم تبديل الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيح .

ما سبق اذا لم يكن فيه شىء واضح عندك فيمكنك السؤال عنه
ولم اتناقش فيه كثيراً اولاً حتى لا اترك السؤال الأساسى الذى
نحن بصدده واششت ذهنك، ثانياً لأنك من المفترض انك اخذته
فى السابق (اظن فى المرحلة الإعدادية) .

القانون الثالث (وهذا مهم جداً جداً وهو محور السؤال)

المتطابقة : جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

وسأثبتها أولاً حتى لا يتشتت تفكيرك عند حل السؤال .

اثبات المتطابقة السابقة :-

جا(أ + ب) جا(أ - ب) = (جاأ جتاب + جاب جتاأ)(جاأ جتاب - جاب جتاأ)

= جا²أ جتا²ب - جا²ب جتا²أ

= جا²أ (1 - جا²ب) - جا²ب (1 - جا²أ)

تعليق : لأن جا²س = 1 - جتا²س   (متطابقة مشهورة)

والآن نقوم بعملية التوزيع على الأقواس ..

= جا²أ - جا²أ جا²ب - جا²ب + جا²أ جا²ب

= جا²أ - جا²ب     (وهو المطلوب)

فقط اريدك ان تعلم أن : جا²أ - جا²ب = جا(أ+ب) جا(أ - ب)

------------------------------------------
والآن نعود الى السؤال الأصلى ...
------------------------------------------
ذكرنا سابقاً أن : جا(أ + ب) = جاجـ   (فى المثلث فقط)

الآن ومن قانون الجيب .

  أَ َ          بَ         جـَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ

لكن مجموع المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

  أ َ          بَ         جـَ       أ َ - بَ         أ َ + بَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ     جاأ - جاب     جاأ + جاب

سنأخذ النسبة جـ َ/جاجـ   (لأنها المناسبة هنا)

اذاً :

 أ َ - بَ             جـ َ
ـــــــــــــــــ  =  ــــــــــ         ==> (1)
جاأ - جاب         جاجـ

أ َ + بَ          جـ َ
ـــــــــــــــــ = ــــــــــ          ==> (2)
جاأ + جاب      جاجـ

بضرب (1) × (2)

   (أ َ - بَ)(أ َ + بَ)             جـَ ²
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
(جاأ - جاب)(جاأ + جاب)       جا²جـ

استعمل قانون فرق المربعين من اجل فك البسط والمقام .

 أ َ² - بَ²           جـَ²
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جا²أ - جا²ب       جا²جـ

استعمل خاصية تبديل الوسطين (فى التناسب) ...

 أ َ² - بَ²         جا²أ - جا²ب
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    جـَ²               جا²جـ

ولكن جاجـ = جا(أ + ب)

و :   جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

 أ َ² - بَ²         جا(أ + ب) جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    جـَ²                جا²(أ + ب)

اختصر ...


 أ َ² - بَ²          جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ          #
    جـَ²             جا(أ + ب)

تابع القراءة