اثبت ان : ( أ َ² - بَ² )/جـَ² = جا(أ - ب)/جا(أ + ب)

بعد تفكير وجدت ان قانون الجيب مناسباً للحل، لكن قبل الحل
نعلم أن : أ + ب + جـ = 180  ومنها أ + ب = 180 - جـ

هذا يعنى :  جا(أ+ب) = جا(180 - جـ)

ولكن : جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكلمة لها)

اذاً : جا(أ+ب) = جاجـ    وهذه خطوة هامة جداً ...

ثانياً : ارشدك الى قوانين النسبة والتناسب .

• مجموعة المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

• اذا تساوت نسبتان فإنه اذا تم تبديل الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيح .

ما سبق اذا لم يكن فيه شىء واضح عندك فيمكنك السؤال عنه
ولم اتناقش فيه كثيراً اولاً حتى لا اترك السؤال الأساسى الذى
نحن بصدده واششت ذهنك، ثانياً لأنك من المفترض انك اخذته
فى السابق (اظن فى المرحلة الإعدادية) .

القانون الثالث (وهذا مهم جداً جداً وهو محور السؤال)

المتطابقة : جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

وسأثبتها أولاً حتى لا يتشتت تفكيرك عند حل السؤال .

اثبات المتطابقة السابقة :-

جا(أ + ب) جا(أ - ب) = (جاأ جتاب + جاب جتاأ)(جاأ جتاب - جاب جتاأ)

= جا²أ جتا²ب - جا²ب جتا²أ

= جا²أ (1 - جا²ب) - جا²ب (1 - جا²أ)

تعليق : لأن جا²س = 1 - جتا²س   (متطابقة مشهورة)

والآن نقوم بعملية التوزيع على الأقواس ..

= جا²أ - جا²أ جا²ب - جا²ب + جا²أ جا²ب

= جا²أ - جا²ب     (وهو المطلوب)

فقط اريدك ان تعلم أن : جا²أ - جا²ب = جا(أ+ب) جا(أ - ب)

------------------------------------------
والآن نعود الى السؤال الأصلى ...
------------------------------------------
ذكرنا سابقاً أن : جا(أ + ب) = جاجـ   (فى المثلث فقط)

الآن ومن قانون الجيب .

  أَ َ          بَ         جـَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ

لكن مجموع المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

  أ َ          بَ         جـَ       أ َ - بَ         أ َ + بَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ     جاأ - جاب     جاأ + جاب

سنأخذ النسبة جـ َ/جاجـ   (لأنها المناسبة هنا)

اذاً :

 أ َ - بَ             جـ َ
ـــــــــــــــــ  =  ــــــــــ         ==> (1)
جاأ - جاب         جاجـ

أ َ + بَ          جـ َ
ـــــــــــــــــ = ــــــــــ          ==> (2)
جاأ + جاب      جاجـ

بضرب (1) × (2)

   (أ َ - بَ)(أ َ + بَ)             جـَ ²
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
(جاأ - جاب)(جاأ + جاب)       جا²جـ

استعمل قانون فرق المربعين من اجل فك البسط والمقام .

 أ َ² - بَ²           جـَ²
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جا²أ - جا²ب       جا²جـ

استعمل خاصية تبديل الوسطين (فى التناسب) ...

 أ َ² - بَ²         جا²أ - جا²ب
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    جـَ²               جا²جـ

ولكن جاجـ = جا(أ + ب)

و :   جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

 أ َ² - بَ²         جا(أ + ب) جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    جـَ²                جا²(أ + ب)

اختصر ...


 أ َ² - بَ²          جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ          #
    جـَ²             جا(أ + ب)