7 كيف يبدأ الشخص بالتفكير فى ايجاد حل لمساله رياضياتية ؟
الاثنين، 4 فبراير 2013
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
سأتناول بعض الخطوات بشكل سريع ولك أيضاً أن تضيف أو تعدل عليها وقتما شئت .
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
0 ما هى الشروط الواجب توافرها فى البرهان لكي يكون صحيح ؟
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
هذه بعض إقتراحتى ولك ان تعدل عليها إن شئت، أو أن تضيف اليها .
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
| [1] |
مسلمة التوازي(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [2] |
هندسة زائدية(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [3] |
برهان رياضياتى(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [4] |
مبرهنات عدم الاكتمال لغودل(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [5] |
en.wikipedia.org
|
