ما هى الشروط الواجب توافرها فى البرهان لكي يكون صحيح ؟

هذه بعض إقتراحتى ولك ان تعدل عليها إن شئت، أو أن تضيف اليها .

1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .

ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .

2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .

والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .

3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .

مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .

4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .

فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .

5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية

مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :

"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."

وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)

ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :

من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)

اتمنى الا أكون نسيت شىء ...

المراجع