كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟

سأقترح عليك عدة نقاط إذا وجدت نفسك قادراً عل فهمها أو تجاوزها فستكون مؤهل لأن تكون الرياضيات تخصصك ومادة محببة لك ، وهنا أعني أن توفر من وقتك ومجهودك لتعلم المزيد والمزيد في الرياضيات ولا تمل أبداً، بل تجد متعة كبيرة في تعلمك إياها. وإن لم تجد ذلك فأعتقد أنه سيكون لديك مواهب في مجالات أخرى وستكون مبدع فيها أكثر من الرياضيات .. فأنا ركزت على الرياضيات أكثر لأنها تتفق مع طريقة تفكيري وهي إلى حد ما تناسبني، ولذلك فقد لا تناسبك بما فيه الكفاية.. ربما أنت مبدع في مجال آخر .. على كل الحال النقاط الرئيسية هي :
===========================

• فكر بطريقة غير إعتيادية.

▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب :) هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !

▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد  .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .

▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.

▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.

▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.

▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.

▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.

▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.

▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!

▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.

▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!

▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.

▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.


أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.