0 ما هي الطريقة العامة لمقارنة دالتين على فترات جزئية محددة ؟

مثلاً :f(x)=x-x^0.5 معرفة على من الصفر إلى المالانهاية
الدالة g(x)=(x^0.5)-1 معرفة من الصفر إلى المالانهاية
وf أكبر او تساوي g أياً كانت x من المجال السابق

نتبع الخطوات الآتية (في عجالة بدون تفاصيل) .

1- نوجد المجال المشترك بين الدلتين .
2- نوجد نقاط تقاطع الدالتين .
3- نأتي على أقصى يسار المجال المشترك، ونقسمه إلى فترات جزئية حسب نقاط التقاطع .. ثم  نختبر كل فترة من هذه الفترات، بأن نعوض بقيمة تنتمى اليها (شريطة ألا تكون هذه القيمة عبارة عن نقطة تقاطع الدالتين)، فإذا كانت القيمة الأكبر من نصيب أحدى الدالتين، فإن الدالة ذات النصيب الأكبر تكون أكبر من الدالة الأخرى في هذه الفترة، وحالة المساوة تتحق إذا كانت إحدى طرفي الفترة نقطة تعبر عن تقاطع الدالتين .. ونفس الشيء إذا حدث العكس .


       {نأخذ المثال الذي طرحته أنت}

سأكتبه بالعربي ...

د(س) = س - جذر(س) ، ق(س) = جذر(س) - 1

كلاً من مجال الدالة الأولى والثانية معرفة على الفترة ]∞ , 0] , ولذلك يكون هو نفسه المجال المشترك بين الدالتين .

ثانياً : نوجد نقاط التقاطع للدالتين بأن نضع د(س) = ق(س) ، فنجد أنها تكون عندما  س = 1  .

وبناء على هذا يتم تقسيم المجال المشترك إلى الفترات الجزئية الآتية :

الفترة الأولى : [1 , 0]
الفترة الثانية : [∞ , 1]

الخطوة  والأخيرة : (وهي التعويض في كل فترة في كلتا الدالتين من أجل المقارنة ..) .

في الفترة الأولى نأخذ 0.5 (على سبيل المثال فقط حيث أنه عدد مناسب وفي الوقت ينتمي للفترة) .. ونعوض به في كلتا الدالتين .. فنجد أن الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر ، ومن هنا فإن د > ق في الفترة [1 , 0]   .. ونفس الشيء نصنعه مع الفترتين المتبقيتين، فنجد أنه دائماً الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر (فيما عدا القيمة 1 طبعاً ، فهما متساويان عندها) .

النتيجة هي : د(س) ≥ ق(س)

==========================================================

مثال آخر (لتأكيد المعلومة فقط)

ليكن لدينا :  f(x) = e^x   ,  g(x) = x

المجال المشترك بينهما هو IR (جميع الأعداد الحقيقة) .. ولا توجد نقاط تقاطع ، وبناء على هذا ينشأ لدينا فترة وحيدة وهي [∞ , -∞] أو الفترة IR .. إختر أى عدد (حقيقي) وليكن الصفر .

f(0) = 1  ,  g(0) = 0  

النتيجة :  f(x) > g(x)  or  e^x > x

لجميع قيم x الحقيقية .  

تابع القراءة

3 لماذا نكتب مشتقة الدالة بهذه الطريقة دص = دَ(س) دس عند إجراء التكامل ؟

لدينا الدالة د(س) مشتقتها دَ(س)
ولدينا باستعمال الكتابة التفاضلية دص\دس=دَ(س)
لماذا عندما نكامل نضع الكتابة بهذا الشكل
دص=دَ(س).دس
؟
لماذا لانتركها بهذا الشكل
دص\دس=دَ(س) لنجد بعد المكاملة ص=د(س)

هذا سؤال بسيط لكنه جيد .

            دص        معدل تغير ص
دَ(س) = ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
            دس       معدل تغير س

من خلال أن :

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

فإننا نجد :  دص = دَ(س) دس

بأخذ التكامل للطرفين : ∫دص = ∫دَ(س) دس

ومنها : ص = د(س)

وهنا لابد من وقفة .. ما الذى حدث هنا ؟

• الأساس هو تجميع أطوال دص المتناهية فى
الصغر والتى وجد فى الأساس أنها تساوى الدالة
نفسها .

لاحظ الشكل التالى :

|       |
|                |
|                        |
|                             |

مجرد تخيل والا فإن دص قيمة تؤول للصفر ..
هنا شىء مثير يحدث وهو أن مجموعة الأطوال
المتناثرة (|) تعطى العمود الذى على أقصى اليمين .

وهذا بالمثل ما حدث حيث أن دص متغيرة وهى
تغير التغيير الرأسى لميل الخط المستقيم عند
نقطة ما على الدالة .. ربما يكون كلام معقد
بعض الشىء - لا سيما أول مرة - لكن مع
التجربة والتحليل يتبين لك ذلك اذ أنك تحتاج
الى أن تفهم العلاقة التى تربط التكامل المحدد
بالمساحة الواقعة تحت منحنى الدالة .

نخلص من ذلك الى ان التكامل ما هو الا
مجموع معدلات تغير ص أو ما يسمى بالمجموع
دص اللانهائى ، او المتناهى فى الصغر، اى ان
التكامل عكس التفاضل تماماً .. فهو يعنى بتجميع
هذه الأجزاء المتناهية فى الصغر .

ثم أنصحك بدراسة مفهوم التطابق، والقرآة عن
طريقة الإستنزاف (على عدة مواقع منها الويكيبيديا)


اذا لم يكن ما كتبته مفهوماً، فيمكنك طلب
تفسير الغموض .

تابع القراءة

6 اوجد مشتقة 1/جذر(3س) بقانون المشتقة العام .

                1
د(س) = ـــــــــــــــــ  بالضرب بسطاً ومقاماً فى جذر(3س)
           جذر(3س)

           جذر(3س)     جذر(3)     جذر(س)
د(س) = ــــــــــــــــ = ــــــــــــ × ـــــــــــــــ
              3س            3            س


                     د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) =  نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
            هـ←0         هـ

                          جذر(3)  جذر(س+هـ)      جذر(س)              
د(س+هـ) - د(س) = ــــــــــ [ـــــــــــــــــــــ  - ــــــــــــــــ]
                             3       (س+هـ)            س

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - (س+هـ) جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                    س(س+هـ)

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                       س(س+هـ)

بعد هذا التبسيط نعود لأصل القانون ....

جذر(3)           س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0                   هـ س(س + هـ)

نقوم بتوزيع البسط على المقام ...

جذر(3)          س جذر(س+هـ) - س جذر(س)             هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0     هـ س(س + هـ)                 هـ←0  هـ س(س + هـ)

بقسمة النهاية الأولى بسطاً ومقاماً على س
وقسمة النهاية الثانية بسطاً ومقاماً على هـ  (العامل الصفرى)

جذر(3)           جذر(س+هـ) -  جذر(س)                    جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0       هـ (س + هـ)                    هـ←0  س(س + هـ)

فى النهاية الثانية نضع هـ = 0 (لأننا اختزلنا العامل الصفرى)

اما النهاية الأولى فنقوم بإخراج 1/(س+هـ) وهذه النهاية = 1/س
بعد وضع هـ = 1  (والمعنى ان النهاية الأولى عبارة عن حاصل
ضرب نهاتين) ...


جذر(3)      1               جذر(س+هـ) -  جذر(س)    جذر(س)
ــــــــــ × ـــــــــ  نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــ
 3          س     هـ←0              هـ                      س²

                  جذر(س+هـ) - جذر(س)
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
         هـ←0             هـ
                     
وسنرمز لنا بالرمز جذر(س) َ       ...

                 جذر3  جذر(س)َ    جذر(س)
اذاً : دَ(س) = ـــــــــ [ــــــــــــ - ــــــــــــــ]
                   3        س         س²

وبعد توحيد المقامات ...

   جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                   س²

وهذا يحولنا مباشرة ً الى ايجاد مشتقة جذر(س) بالقانون العام .

           جذر(س+هـ) - جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ

وهذه هى الفكرة فى السؤال وكان بالإمكان البدء ....

هنا نقوم بضرب البسط والمقام فى المرافق وهو : جذر(س+هـ) + جذر(س)
وكل هذا من أجل اظهار العامل الصفرى (هـ) فى البسط حتى يُختصر مع نظيره
فى المقام .


           جذر(س+هـ) - جذر(س)    جذر(س+هـ) + جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ                    جذر(س+هـ) + جذر(س)


                        س + هـ - س
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0    هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

                       هـ
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  نختصر العامل الصفرى ...
   هـ←0  هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  


                         1
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0   [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

والآن وبعد إختصار العامل الصفر جاز لنا ان نستعيض هـ بـ 0 .

               1                     1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
   جذر(س) + جذر(س)      2ذر(س)


نعود الى آخر خطوة :

             جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
دَ(س) = ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
              3                 س²


   جذر3   س/2جذر(س) - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                  س²

طريقة أخرى اسرع فى الحل .

                                1/جذر(س+هـ) - 1/جذر(س)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ـــــــــــــــــــــتـــــــــــــــــــ
                      هـ←0               هـ

بالضرب بسطاً ومقاماً فى المرافق = 1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)

                                      1/(س+هـ) - 1/س
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نقوم بتوحيد المقامات فى البسط فقط ...

فنجد أن : 1/(س+هـ) - 1/س = -هـ/س(س+هـ)  بالتعويض ...

                                                -هـ/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نختزل العامل الصفرى هـ  .

                                                -1/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0    [1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نضع هـ = 0
   
                                      -1/س²
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          [1/جذر(س) + 1/جذر(س)]

                             -1/س²                       -1            2
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــ = 1/جذر(3) ــــــــــ ÷ ـــــــــــــــ
                         2/جذر(س)                     س²       جذر(س)

      -1           جذر(س)     - جذر(س)
= ـــــــــــــــــ × ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
  جذر(3) س²       2          2جذر(3) س²

وهى نفسها النتيجة التى حصلنا عليها سابقاً لكن بعد وضعها فى ابسط صورة .

تابع القراءة

0 كيفية اثبات أن مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)

تستطيع اثباتها بالإستقراء الرياضى على ن .

العبارة صحيحة من أجل ن = 1  لأن مشتقة س هى 1

1 = 1س^0  حيث س لا تساوى الصفر .

نفرض أن العبارة صحيحة من أجل ن = ك

اى اننا نفرض صحة ان مشتقة س^ك = ك س^(ك-1)

والآن نبرهن على صحة العبارة عندما ن = ك+1

(س^(ك+1))  َ= (س^ك × س) َ

انت الآن بحاجة الى تطبيق قاعدة حاصل الضرب product rule

مشتقة الاول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول

= (س^ك) َ س + س^ك

ولكن (س^ك) َ = ك س^(ك-1)     (فرضاً كما بينا)

اذاً : (س^(ك+1))  َ = ك س^(ك-1)×س + س^ك

==> نجمع الأسس لأن الأساسات متشابهة

= ك س^ك + س^ك   بأخذ س^ك عامل مشترك ...

= (ك+1) س^ك   وهو المطلوب اثباته ....... كيف ؟؟

لاحظ تبعاً للقاعدة فإن مشتقة س^(ك+1) = (ك+1) س^ك

وهذا ما حصلنا عليه، اذاً العبارة صحيحة .

ولكن ماذا لو كنا نريد الإثبات بدون استعمال قاعدة حاصل الضرب ؟

تستطيع اثبات ذلك عن طريق اللوغاريتم الطبيعى ...

نفرض أن د(س) = س^ن  بأخذ لط للطرفين ...

لط[د(س)] = ن لط(س)   نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

    دَ(س)        ن
= ـــــــــــــ = ــــــــــ   اذاً دَ(س) س = ن د(س)
    د(س)       س

           ن د(س)     ن س^ن
دَ(س) = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ن س^(ن-1)
             س              س

وأخيراً يمكنك اثباتها عن طريق القانون العام للإشتقاق .

                        د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0             هـ

تابع القراءة

3 ما الفائدة من النهايات والإتصال فى الرياضيات ؟

ارغب بمعرفة الفائدة من النهايات و الاتصال
يعني مثلا المعادلات تفيد بايجاد المجاهيل
ماذا عن النهايات و الاتصال ماهي فائدتها العلمية ؟

استطيع ان افيدك بشكل مختصر بأن النهايات من مبادىء التفاضل الذى
يهتم بدراسة الإشتقاق بوجه عام عن طريق دراسة مفاهيم أساسية
عن " الكميات المتناهية فى الصغر " .

لماذا بُنى التفاضل على النهايات ؟ .. الإجابة بهدف دراسة اشتقاق الدالة .
وما هو اشتقاق الدالة ؟.. حتى تفهمين ما حدث يجب ان تفهمى او تدرسى
جيداً مفهوم مشتقة الدالة، فعلى الرغم من ان المناهج التعليمية تهتم بدراسة
النهايات أولاً الا ان الذى دعى الى النهايات هو البحث عن مفهوم مشقتة الدالة .

المشتقة الأولى للدالة : هى مفهوم مجرد تجريد تام، وخطواته (ان لم تفيهمها)
اشبه ما تكون بالحفظ، لأن الرياضيات تنتقل من مفاهيم أساسية ومفهومة وواضحة
الى مفاهيم أخرى مجردة (أى لا تعلمين من اين أتت، ولماذا يتم الإشتقاق بهذه
الطريقة ان لم تكونى فى الأساس قد درستى البراهين، او المفاهيم الأساسية)

مثال :   .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
         
من المفترض أن الشكل مستطيل والمكون الأساسى له هو مجموع
عدد لا متناهى من هذه النقاط (لم اكلها طبعاً لصعوبة ذلك) هنا ولتكن
الكمية المتناهية فى الصغر هى هذه النقطة " . " - وان كانت اقل من
ذلك بكثير - لأنها كمية تؤول الى الصفر طولاً ومساحاً وحجماً .. فكان
السؤال هو متى نحصل على أكبر مساحة ممكنة لمستطيل ؟

التفاضل يجيب على سؤال كهذا بحيث يتم فرض أن العرض x
والطول y  .
          

مساحة المستطيل = الطول * العرض

يمكن فرض أن مساحة المستطيل = m 

وبتعبير رياضياتى فإن :  m = x y   وتعنى مساحة جميع اى مستطيل مهما
كان طوله أو عرضه (طبعاً لا يوجد طول بالسالب) .

يمكن الإجابة على هذا السؤال من خلال تجربة (اى بدون التفاضل) ولكن
ستكون طريقة طويلة وصعبة ومملة، بحيث يمكن دراسة جميع حالات
المستطيل، كالمربع فهو حالة خاصة من خالات المستطيل، ومفهوم
المربع هو x = y  أى الطول = العرض، ما هو الإحتمال الثانى ؟
قد يكون الإحتمال الثانى هو ان الطول أكبر من العرض .. فنقول
عندما كان الطول أكبر من العرض كانت مساحة المستطيل = ؟؟؟
ثم نطرح احتمال أخير، عندما كان الطول اصغر العرض كم كانت
مساحة المستطيل ؟ .. ونبدأ بالمقارنة ايهما أكبر فى المساحة ؟
من خلال علمان أن كلاً من x , y  كميات موجبة، او بالأكبر أكبر
من او تساوى الصفر .

بملاحظة ما حدث نجد اننا نتعامل مع كميات معينة تتغير بتغير كميات
أخير، أى ان بتغير الطول قد يتغير العرض، او لا يتغير فيبقى ثابتاً
نجد ايضاً اننا نتعامل مع مفهومين أساسياً (الثابت والمتغير)
ستجدين عبارات كثيرة مثل هذه .. عندما تغيرت x (اى الطول)
من ...... الى .......  تغيرت (معها) y  من ...... الى .........
ما هى نسبة تغير y الى نسبة تغير x ؟

هذا ما يكتب فى الرياضيات  dy/dx

dx   ثابت  ... اما  dy  فهو متغير (وكل هذه فرضيات)

أى قد نفعل العكس فنقول dx متغير و y ثابت ، لكن بشرط
ان يتم حل المسألة كاملاً بناء على قبول صحة هذه الفرضية .

dx  هى معدل التغير الذى طرأ على طول المستطيل، وكما عبرت
عنها بالنقطة مثلاً  " . " ان لم تكن أقل من هذا بكثير، لكنها لن
تصل بأى حال من الأحوال الى الصفر، لأن القسمة على الصفر
مفهوم صعب ومعقد جداً لم يتم التعرف اليه الى الآن، فنكتفى
بالقول بأن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .


dy هى أيضاً التغيير الذى طرأ على العرض .

وأخيراً   dm  هو التغير الذى طرأ على المساحة .

ملحوظة : كل هذه تغييرات متناهية فى الصغر ..

d إختصار لكملة derivative اى اشتقاق .

المشكلة الرئيسية وهى : لتكن dx = 0  بالصفر ، وأن dy = 0 بالفعل
فما هى قيمة dy/dx والتى = 0/0  >>> تسمى كمية غير معينة فى
التفاضل، وهذا بإيجاز شديد يعود الى عدة أسباب وهى ان dx , dy
لا يساوون صفر تماماً بل كلاً منهم يؤول الصفر  .. السب الآخر وهو
انه ليس من الضرورى ان تؤول x الى الصفر بنفس ما تؤول y الى الصفر
كأن نقول مثلاً سرعة الضوء أكبر من سرعة الصوت ..

مثال آخر ، ليكن قانون ما فى متغييرت تحكمه القاعدة y = (x² - 1)/(x-1)   l

الآن عندما x = 1  فإن y غير معرفة .. لأنه عندما x = 1  فإن المقام = 0
والقسمة على الصفر غير معرفة .. النهايات توجد نهاية y عندما x تؤول
الى الواحد (بحكم ان الدالة غير متصلة عندما x = 1

العامل الصفرى هو x - 1  يجب التخلص منه بحيث يجوز القسمة
عليه بسطاً ومقاماً (بعدما فرضنا أن x تؤول الى 1 وهذا يؤدى الى
ان x - 1  تؤول الى الصفر) وبالتالى فالقسمة ستكون على شىء
يؤول الى الصفر (وليس الصفر تماماً)  .

الحل سريعاً : نحلل البسط كفرق مربعين (اى نضع الدالة فى صورة أخرى)

y = (x-1)(x+1)/(x-1)   l  وبالقسمة على x - 1

y = x+1   شرط ان x تؤول الى الواحد ... هنا بعدما اختزلنا العامل
الصفرى يجوز ان نضع x = 1  مباشرة ً، ولن نكتب x = 0.9999 مثلاً
لأن 0.999999  تؤول الى الواحد .  اذاً  y = 1 + 1 = 2   .

هذا يعنى أن y تؤول الى 2 عندما  x تؤول الى الواحد .
ملحوظة عادة ما يكتب y = 2  مباشرة ً لأننا نتعامل مع
كميات متناهية فى الصغر .

خلاصة القول : أن مفهوم النهايات مرتبط ارتباط وثيق بمفهوم الإشتقاق
والعكس صحيح، ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق بالتغييرات التى
تطرأ على الدالة .. يعنى سبب ومسبب، مثلاً x = 1  عندما y = 2
اى ان x لن تكون 1 الا عندما تكون y = 2 (كتعويض فى دالة ما)

ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق برسم الدوال، ورسم الدوال
مرتبط ارتباط وثيق بالهندسة التحليلية، والهندسة التحليلية مرتبطة
ارتباط وثيق بالهندسة الإقليدية بحيث تعالجها فى صورة جبرية .
(اى تقوم بعملية ربط الجبر بالهندسة) ، ومن خلال اعطاء رسم
لكل لدالة تم التعرف على مفهوم الإشتقاق، وهو مفهوم هندسى
فى المقام الأول ومتعلق كثيراً بنظرية فيثاغورث .

نتسوع أكثر من ذلك من خلال مفاهيم بسيطة جداً :

مثلاً : اذا رأينا شكل ما يشبه المربع او المستطيل فنقول ان هذا الشكل
مربع (اذا وفقط اذا) كانت أضلاعه متساوية والقطران عموديان وينصف كلاً
منهما الآخر .

اى اذا تحقق العكس فإن الشكل مربع ..

نبتعد لما هو أكثر من ذلك : اذا وجدنا شكل ما منحنى مرسوم
فنقول هذا المنحنى هو بمثابة حلول المعادلة y = x²  اذا وفقط
اذا كانت شكل الدالة كيت وكيت .... ونضع تفاصيل .. بإختصار
ربطنا هنا الهندسة بالجبر ، وهو ما قادنا بالفعل لفتح باب كبير
فى الرياضيات هو والتفاضل والتكامل .

صورة تفيد بأن جميع النقاط الواقعة على هذا المنحنى هى
حلول العلاقة y = x²  اللانهائية، وكما نرى هنا فإن ثم تغير يحدث
لـ x نجد تغيراً ملحوظاً على y

الرابطة اذا وفقط اذا

وهذا روابط ممكن تفيدك : http://www.youtube.com/watch?v=77Uuo_1bgFs


سأتوقف الى هذا الحد نظراً لأنى أطلت، وايضاً لأن المفاهيم كثيرة لا تكفى
ان الخصها فى موضوع واحد ..

تابع القراءة

0 ماهي الخطوات التي أجريها لتكوين المعادله التفاضليه ؟

وهل أعامل الدوال الإختياريه على أنها ثوابت ؟

سيكون من المفيد جداً مطالعتك لمرجع [1]
بحيث وضع ملخصاً سريعاً لكيفية تكوين
معادلة تفاضلية من خلال حدها العام بحيث
اذا كانت تحتوى على n من الثوابت فإنه يتم
اشتقاقها n مرة، ثم نحن من نحدد المعادلة
التفاضلية تكون فى اى متغير x ام y ... الخ
وآخر خطوة هى التخلص من الثوابت الإختيارية
بأى طريقة تناسبك، كأن نقوم بالإستعاضة عن
هذه الثوابت بدلالة الدالة نفسها او جزء منها .

وأعطى مثال توضيحى على ذلك ....

كون المعادلة التفاضلية التى حلها العام هو :

$y = a \cos(px - c)$

حيث كلاً من a , c ثابتين اختياريين، p ثابت مطلق .

نجرى الإشتقاق على هذه المعادلة مرتين متتاليتين
نظراً لوجود ثابتين اختياريين .

$y' = - pa \sin(px - c)$

$y" = - p^2 a \cos(px - c)$

الخطوة الأخيرة نتخلص من الثوابت الإختيارية ..

نعلم أن :  $a cos(px - c) = y$   بالتعويض ...

اذاً :    $y"  = - p^2 y$   وهى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية .

مثال 2) من نفس الكتاب ... أوجد المعادلة التفاضلية
لمجموعة الدوائر المتساوية  ؟

الحل : نفرض أن نصف القطر لهذه الدوائر هو r .
فتكون معادلة مجموعة الدوائر هى :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$                   

بحيث النقطة (a,b) الإحداثيات المختلفة لمراكز هذه
الدوائرة المتساوية فى القطر ويعتبرا هنا ثوابت اختيارية
ولكن r  ثابت مطلق .. لماذاً ؟ لأنه يعتبر عن نصف القطر
الثابت حتى يعطينا مفهوم مجموع الدوائر المتساوية
فى نصف القطر (او القطر) لكنها مختلفة المركز فقط .

بمفاضلة المعادلة (ضمنياً) بالنسبة لـ x .

$ 2(x - a) + 2y'(y - b) = 0$           

بقسمة الطرفين على 2 ...

$(x - a) + y'(y - b) = 0$             

نشتق المعادلة مرة ثانية بالنسبة لـ x .
(ونستعمل هنا قاعدة الضرب بالنسبة للحد
الثانى : مشتقة الأول×الثانى+ مشتقة
الثانى×الأول)

$1 + y"(y - b) + y'^2 = 0$             

تأتى المرحلة الأخيرة وهى التخلص من الثوابت الإختيارية ...

سنقوم بوضع ما حصلنا على لكن فى صورة أخرى ...

$y - b =  -(1+y'²)/y"$

ثم نعود بالخلف ونعوض فى المعادلة :

$(x - a) + y'(y - b) = 0$

المهم انه بعد التعويض واجراء بعض الخطوات
البسيطة فإننا نحصل على التالى، ونتذكر ان
اهم شىء هو محاولة التخلص من الثوابت
الإختيارية بأى طريقة صحيحة ومناسبة .

$x - a = y'(1+y'²)/y" $

ومن خلال التعويين السابصاً سيكون من
السهل جداً التعويض بهما فى المعادلة
الأصلية : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$  

$\frac{y'^2(1+y'^2)^2}{y"^2} + \frac{(1+y'^2)^2}{y"^2} = r^2$

$\frac{(1+y'^2)^2 (1+y'^2)}{y"} = r^2$

$
\frac{(1+y'^2)^3}{y"^2} = r^2$

وأخير بأخذ الجذر التربيع للطرفين ...

$\frac{\sqrt{(1+y'^2)^3}}{y"} = r$

وهكذا تكونت المعادلة التفاضلية لجميع الدوائر
المتساوية فى نصف القطر .

===========================
مثال 3)  من نفس الكتاب .

برهن على أن المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
(يقصد شكل القطع المكافىء) التى محورها x هى
$y y" + y'^2 = 0$

الحل : الصورة العامة لمعادلة القطع المكافى
الذى محوره x تكون على الشكل :

$y^2 = 4a(x - b)$

وبإجراء التفاضل مرتين ....

$2y y' = 4a$  بالقسمة على 2

$y y' = 2a$   نشتق مرة ثانية ...

(بإستخدام قاعدة حاصل الضرب product rule)

$y'² + y y" = 0$                   #

وبعد مفاضلة العلاقة لا توجد ثوابت إختيارية، وبهذا
نكون قد كونا المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
التى محورها x .

-------------------------------------------------------------
نعلم الدوال الإختيارية تعتبر ثوابت، لكنها ليست
بالضرورة ان تكون مطلقة، فالثوابت الغير مطلقة
هى التى نعتمد على تغيريها لينتج من ذلك معادلة
تفاضلية جديدة .. اذاً فتم اعتمادها ثوابت على (فرضاً)
على أساس نحن من نحدد قيماً لها من خلال التعويض
فى الحل العام لإنتاج معادلات تفاضلية جديدة من هذا
الحل العام .

مثال : اذا كان a ثابت اختيارى فى حل عام لمعادلة
تفاضلية ما فإن   $a^2 + \sin(a)$  مثلاً تعتبر دالة او
ثابت اختيارى أيضاً ...
=============================

مرجع[1] : كتاب pdf يشرح فى خطوات بسيطة كيفية تكوين معادلة تفاضلية من خلال حلها العام .

مرجع[2] : Differential equations - Formation of Differential Equations

تابع القراءة

0 كيف نشتق س^س ؟

هناك طريقتين :

الطريقة الأولى : د(س) = س^س  بأخذ لط للطرفين .

لط[د(س)] = س لط(س)  نشتق الطرفين بالنسبة لـ س .

 دَ(س)
ـــــــــــــ = لط(س) + 1
 د(س)

تم إشتقاق الطرف الأيسر بقاعدة حاصل الضرب product rule

والآن : دَ(س) = د(س)[لط(س) + 1]  ولكن د(س) = س^س

اذاً " دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]
==================================
الطريقة الثانية : عن طريقة استعمال خاصية مشهورة فى اللوغاريتمات .

س^س = هـ^لط(س^س)  حيث هـ هو العدد النيبيرى، لط هو اللوغاريتم الطبيعى .

د(س) = هـ^[س لط(س)]  ومن ثم نشتق كما لو كنا نشتق دالة أسية ...

((ملحوظة : الأس نشتق عن طريق قاعدة الضرب أيضاً product rule)

دَ(س) = [لط(س) + 1] × هـ^[س لط(س)]

ولكن : هـ^[س لط(س)] = د(س) = س^س   بالتعويض ...

دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]

تابع القراءة

0 اذا كان ق(3) = 5 ، ق'(س) = 4 فما هى قيمة نها(س←3) [ 3 ق ( س) ــ س ق(3)]/[س - 3] ؟

مباشرة ً عند التعويض بـ س = 3  تكون النهاية كمية غير معينة 0/0 .
وهذا يعنى أنه بإمكانك حل السؤال بقاعدة لوبيتال .

           3ق(س) - س ق(3)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــا 3قَ(س) - ق(3)
س←3          س - 3               س←3

= 3قَ(3) - ق(3) = 3(4) - 5 = 7

ان لم تكن اخذت هذه القاعدة بعد (قاعدة لوبيتال) فهذه طريقة أخرى للحل :

نفرض أن : س - 3 = هـ  ومنها  س = 3 + هـ

وعندما س تؤول الى 3  فإن هـ تؤول الى الصفر ... بالتعويض

          3ق(3 + هـ) - ق(3) (3 + هـ)
نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0               هـ

             3ق(3 + هـ) - 3ق(3) - هـ ق(3)
= نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                  هـ

وبتوزيع البسط على المقام ....

              3ق(3 + هـ) - 3ق(3)               هـ ق(3)
= نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــا ـــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                    هـ←0       هـ

فى النهاية الأولى نأخذ 3 عامل مشترك والنهاية الثانية نقسم
على العامل الصفرى هـ .

                ق(3 + هـ) - ق(3)
= 3 نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ - ق(3)
     هـ←0            هـ

ما رأيك .. اليست النهاية عبارة عن ق'(3)  ؟

= 3ق'(3) - ق(3)   بالتعويض بالذى ذكره لك فى السؤال ...

= 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7

تابع القراءة

0 كيف نوجد نها(س←0) [لط(1 - س²) - لط(جتاس)]/س² بدون استخدام قاعدة لوبيتال ؟

لقد اوجدت النهاية بالفعل بدون قاعدة لوبيتال لكن هذا
يتطلب منا ان نعلم مسبقاً التالى :
                                           1
اذا كنا نعلم أن : نهـــــــــــا (1 + ــــــــــ)^س = هـ
                   س←∞             س

                        1                1    
فإن : نهـــــــا (1 - ــــــــ)^س = ــــــــــ
      س←∞       س               هـ

حيث هـ هو العدد النيبيرى ...
------------------------------------------------------------------
بالعودة الى مسألتك، بعد توزيع البسط على المقام ...

          لط(1 - س²)            لط(جتاس)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0       س²        س←0     س²


             لط(1 - س²)            2لط(جتاس)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²        س←0     2س²


             لط(1 - س²)                لط(جتا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                جا²س لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0  جا²س  س²

                     جا²س
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــ = 1
       س←0      س²

ولهذا نقوم بعزلها من النهاية الثانية فتصبح النهاية بهذا الشكل ...

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0    جا²س


فى النهاية الثانية نفرض أن جاس = ع وعندما س
تؤول للصفر فإن ع ايضاً تؤول للصفر .. بالتعويض

             لط(1 - س²)                  لط(1 - ع²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              ع←0       ع²

ما الفرق بين النهاية الأولى والنهاية الثانية ؟

الإجابة : لا فرق ...

اذاً بكل بساطة نستطيع ان نقول أن النهاية اصبحت :

             لط(1 - س²)                  لط(1 - س²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0       س²

                  لط(1 - س²)              
= ½ نهــــــــا ــــــــــــــــــــ
     س←0         س²        

           1
بوضع ـــــــــــــ = ص   ومنها ص تؤول الى ∞
         س²

وبعدها تأخذ النهاية هذا الشكل ...

                                  1                      
= ½ نهــــــــا  ص لط(1 - ـــــــــ)
     ص←∞                  ص    

                              1                      
= ½ نهــــــــا  لط(1 - ـــــــــ)^ص
     ص←∞              ص    

              1
= ½ لط(ـــــــــ) = ½ × -1 = -½
            هـ

             

تابع القراءة

4 ما السبب فى أن مشتقة مساحة الدائرة تعطى محيط الدائرة

قانون مساحة الدائرة = ط×نق²
معدل تغير المساحة بالنسبة للقطر (د م \د نق) = 2×ط×نق  وهو نفسة قانون محيط الدائرة

قانون حجم الكرة =  4\3 × ط × نق³
معدل تغير الحجم بالنسبة للقطر(د ح \د نق) = 4×ط×نق²  وهو نفسة قانون مساحة سطح الكرة

قانون الحجم الفائق لما فوق الكرة = 1\2 ×ط^2×نق^4
معدل تغير الحجم الفائق بالنسبة للقطر(د ف \د نق) = 2×ط²×نق³  وهو نفسة قانون الحجم المحيط بالكرة الفائقة.

فما هي العلاقة؟

محاولة تخيل ما حدث (مجرد تخيل، والا فإن د نق تؤول للصفر)

سأتناول شرح الدائرة ثم يكون من السهل استنتاج البقية .
ليكن لدينا دائرة نصف قطرها نق فتكون المساحة ط نق²
بعدها نضيف الى نصف القطر دنق والمعنى كأننا لم نضيف
شىء حيث دنق هو معدل تغير نصف قطر الدائرة وهو كما
تعلم كمية تؤول الى الصفر، بدورها ايضاً لا تؤثر كثيراً فى
مساحة الدائرة وكأن شىء لم يحدث، ولكن التفاضل يعترف
بهذه الكميات المتناهية فى الصغر ويصنع لها كل اعتبار .

الآن : محيط الدائرة = 2 ط نق

بعد احداث تغيير = 2 ط (نق + د نق) = 2ط نق + 2ط دنق

ما الذى حدث ؟ لقد حدث انه حدث تغيير بسيط جداً فى
نصف القطر، والذى بدوره قد صنع حلقة حول محيط الدائرة
ونحن الآن نريد ان نحسب مساحتها ..

مساحة هذه الحلقة = 2 ط (نق + د نق) × د نق

(طبعاً فعد فردها تعطيك شكل اشبه بالمستطيل)

          معدل تغير مساحة الدائرة        دم
الآن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
           معدل تغير نصف قطرها         دنق

    2 ط (نق + د نق) × د نق
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            د نق

= 2 ط (نق + د نق)

وبهذا يمكننا اهمال القيمة د نق حيث أنها قيمة مهملة
أصلاً وتؤول الى الصفر، متى يكون لها قيمة ؟؟ فى حالة
ضربها فى مالانهاية مثلاً او قسمتها على قيمة قريبة منها
ولهذا السبب نهمل د نق حيث انها ليست عامل مؤثر فى
هذه الحالة.
                         دم
وبناء عليه يصبح : ـــــــــــــــ = 2 ط نق
                        د نق

وهذا تفسيير هندسى مقبول من وجهة نظرى، بحيث يمكن
استنتاج نفس الشىء بالنسبة للكرة .


مرجع قد يُفيدك 

---------------------------------------------------------------------------------------
.

بالنسبة للكرة فالموضوع مشابه لما حصل :

حجم الكرة = 4\3 ط نق³

حجم الكرة بعد الزيادة = 4\3 ط (نق + د نق)³


معدل تغير الحجم     4\3 ط (نق + د نق)³ - 4\3 ط نق³
ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 معدل تغير نق                      د نق

   4\3 ط[3 (د نق) نق² + 3 (دنق)² نق + (د نق)³]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                            د نق


= 4\3 ط[3 نق² + 3(د نق) نق + (د نق)²]

والآن يمكنك تجاهل  3(د نق) نق + (د نق)² حيث أنها قيمة تؤول للصفر .

                      معدل تغير الحجم
وبناء عليه فإن : ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 4 ط نق²
                       معدل تغير نق

تابع القراءة

0 بين ان : س+1÷س)^2+ (ص+1÷ص)^2 ≥ 25\2

حيث س + ص = 1  ، وكلاً منهم أعداد موجبة .

مباشرة ً بإستعمال متباينة الوسط الحسابى :-
بما أن س ، ص أعداد حقيقية موجبة اذاً  كلاً من
(س + 1/س)² ، (ص + 1/ص)² ايضاً اعداد
حقيقية موجبة ... اذاً

(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)²
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ≥ جذر[(س + 1/س)²(ص + 1/ص)²]
                2

(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ 2(س+1÷س)(ص+1÷ص)

الآن نأخذ (س+1÷س)(ص+1÷ص)

ونضعه فى صورة مبسطة .. بتوحيد المقامات

س² + 1         ص² + 1      
ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ =
   س                ص        

(س² + 1) (ص² + 1)
-----------------------------
       س ص        

     س²ص² + س² + ص² + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                س ص

استخدم العلاقة س² + ص² = (س + ص)² - 2 س ص

= 1 - 2 س ص   بالتعويض ..

   س²ص² - 2 س ص + 1 + 1        
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             س ص            

بإكمال المربع ...    

    (س ص - 1)² + 1        
= ـــــــــــــــــــــــــــــــ     ---> (1)
         س ص                    

ولكن لدينا ايضاً :

 س + ص
ـــــــــــــــــ ≥ جذر(س ص)
     2

  1
ـــــــــ ≥ جذر(س ص)   بتربيع الطرفين ...
  2
              1
س ص ≤ ـــــــــ
              4

وطالما ان س ص اقل من او تساوى ربع
اذاً فهى مازالت تُبقى على صحة العلاقة

                                      2[(س ص - 1)² + 1]
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            س ص

فى حالة تم التعويض مباشرة ً عن س ص = 1\4

وبعدها ينتج لك المطلوب .
                                          25
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــ
                                           2

وطبعاً ما صنعته كان محاولة للحل ...

اليك تكملة اجابتى الأخيرة، كل الذى ذكرته فيها كان سليماً
، وكذا ايضاً التعويض المباشرة عن س ص = 1\4 ولكن
النقص فى الإجابة هو اننى لم اذكر لماذا تم اختيار س ص = 1\4
ولم يتم اختيارها اقل من ذلك على الرغم من ان هذا مسموح ..

فى الخطوات الأخيرة ذكرت :-
                                       
                                         2[(س ص - 1)² + 1]
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                س ص


المطلوب هو ايجاد قيمة س ص التى تجعل :

2 [(س ص - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ  اقل ما يمكن ..
      س ص

شريطة  س + ص = 1  (هذا شرط اساسى ولا ستتغير المسألة)

س + ص = 1  --->  ص = 1 - س  بالتعويض ...

2[(س ص - 1)² + 1]      2[(س(1-س) - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
          س ص                    س(1 - س)

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

نشق الطرفين بالنسبة لـ س ...

               2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1]
دَ(س) = 2×ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                    (س  - س²)²

بمساواة البسط بصفر ..

2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1] = 0


لتهسيل الحساب ضع س - س² = م
ونضع 1 - 2س = ك

2م ك (م - 1) - ك (م - 1)² - ك = 0   بأخذ ك عامل مشترك ..

ك[2م(م - 1) - (م - 1)² - 1] = 0

اما ك = 1 - 2س = 0   ومنها س = ½

او : 2م(م - 1) - (م - 1)² - 1 = 0

2م² - 2م - م² + 2م - 1 - 1 = 0

م² = 2   ومنها م = ±جذر(2)

س - س² = ±جذر(2)

س² - س ±جذر(2) = 0

المميز = جذر[1 - 4*±جذر(2)]

وهذا يعنى ان جذر(2) مرفوض لأنه سيجعل ما
تحت الجذر التربيعى عدد سالب ...

المميز = جذر[1 + 4جذر(2)]

        1 ± جذر[1 + 4جذر(2)]
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  2

الحل السالب مرفوض لأنه ذكر فى السؤال ان س موجبة .

الحل الموجب بالتقريب  س ≈ 1.8 لأقرب جزء من عشرة

ولكن هذا الآخر مرفوض لأن س + ص = 1  ، ص قيمة موجبة

وبناء علي الحل الوحيد المقبول هو  س = ½

بعد التعويض فى العلاقة

     2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
             س - س²

                      25
نجدها بـ 12.5 = ــــــــــ
                      2

وهذا يؤكد لنا صدق :

                                            25
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــ
                                            2

تابع القراءة

0 اوجد نهـا(س←ط/6) [جذر(3) - 2جتاس]/[جا(س - ط/6)] بدون قاعدة لوبيتال

اليك الإثبات بدون لوبيتال على ان النهاية = 1

              جذر(3) - 2جتاس
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ  نضع س - ط/6 = ص
س←ط/6    جا(س - ط/6)

ومنها س = ص + ط/6     وايضاً ص ← 0  بالتعويض ..

        جذر(3) - 2جتا(ص + ط/6)
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0            جاص

بإستخدام قانون مجموع زاوتين (للجتا)

        جذر(3) - 2[جتاص جتاط/6 - جاص جاط/6]
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0                    جاص

            جذر(3) - 2جتاص جتاط/6 + 2جاص جاط/6
=نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ص←0                    جاص

بعد التعويض عن قميتى جتاط/6  ، جاط/6 ينتج لنا ...

            جذر(3) - جذر(3)جتاص+ جاص
=نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ص←0            جاص

بتوزيع البسط على المقام مع أخذ جذر(3) عامل مشترك ..


                      1 - جتاص                جاص
= جذر(3)نهـــــــا ـــــــــــــــــ + نهـــــــا ـــــــــــــــ
          ص←0    جاص          ص←0    جاص

من الواضح ان النهاية الثانية = 1

اما النهاية الأولى نوجدها عن طريق الضرب فى المرافق

ضرب بسطاً ومقاماً فى 1 + جتاس  فيتكون لدينا ..

                        (1 - جتاص) (1 + جتاص)
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

                                1 - جتا²ص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

                               جا²ص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     جاص (1 + جتاص)

اختصر جاص بسطاً ومقاماً ..

                              جاص
= جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ + 1
            ص←0     (1 + جتاص)

بالتعويض المباشر نجد ان :

              جا0                             0
جذر(3)ــــــــــــــــــــــــ = جذر(3) × ـــــــــــ = 0
          1 + جتا0                          2

وبناء عليه فإن :

                           جاص
جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ + 1 = 1
            ص←0   (1 + جتاص)

تابع القراءة

2 اوجد : lim(x→∞) xlnx - xln(x-1) l

بالتعويض المباشرة تعطى مالانهاية - مالانهاية  (كمية غير معينة)
ولكن يمكن وضع النهاية فى صورة أخرى (ومن خصائص اللوغاريتمات)

lim(x→∞) xlnx - xln(x-1)  ==> lim(x→∞) x [lnx - ln(x-1)]  l

ولتحويلها الى نهاية (فى صورة كسر) نفرض أن : x = 1/y
ومنها  y = 1/x  وعندما x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول الى الصفر .

lim(y→0)  [ln(1/y) - ln(1/y -1)]/y    وبتوحيد المقامات

L = lim(y→0) [ln(1/y) - ln((1-y)/y)]/y

بإستعمال بعض خصائص اللوغاريتمات البسيطة ...

L = lim(y→0) [-lny - ln(1-y) + lny)]/y

L = lim(y→0) - ln(1-y)/y

بعد التعويض بـ y = 0  نجد ان النهاية = 0/0 وهنا يجوز
استعمال قاعدة لوبيتال عن طريق اشتقاق البسط مرة
والمقام مرة (كلاً منهم على حدى)
-------------------------------------------------------------------------- للتأكد من ان حلك سليم :-

lim(x→∞) xlnx - xln(x-1)         l

ما عليك سوى رسم الدالة فى اى برنامج متخصص فى رسم الدوال
او مباشرة ً ترسمها فى موقع ولفرام الفا، ومن خلال الرسم يتضح
(اذا نظرنا على محور x متجه نحو اللانهاية) نجد ان الدالة تقترب من
قيمة معينة وهى 1 .

وكان فى الإمكان حل النهاية عن طريق متسلسلات النشر
ايضاً يمكنك حلها بالطريقة الآتية :

L = lim(x→∞) xlnx - xln(x-1) ==> lim(x→∞) x[lnx - ln(x-1)]   l

L =  lim(x→∞) xln[x/(x-1)]    l

نفرض أن : x/(x-1) = y  وعندما x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول الى الواحد
ولكن هذا يتطلب منا ايجاد x بدلالة y  .

x/(x-1) = y   ==> x = y(x-1)  ==> x = xy - y

اذاً :   xy - x = y   بأخذ x عامل مشترك ..

x(y-1) = y   ومنها   x = y/(y-1)   l   بالتعويض ... ويجب ان نتوخى الحذر
هنا ان النهاية ستحول الى دالة فى المتغير y بدلاً من x واننا برهنا على ان
اذا كانت x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول حتماً الى الواحد .

L =  lim(x→∞) xln[x/(x-1)]    l   بالتعويض ...

L =  lim(y→1) y/(y-1) * lny    l  

L =lim(y→1)  lny/(y-1)  *  lim(y→1)  y

النهاية الثانية بكل تأكيد ستكون 1 (والواحد لا يؤثر فى الضرب)

L =lim(y→1)  lny/(y-1)     l

عند التعويض بـ y = 1  تعطى كمية غير معينة 0/0

الذى اعرفه اننا يمكننا نشر lny بمنشور تايلور ومن ثم القسمة على y-1
فتعطى مباشرة ً 1 (وهذا ما سأبينه)

الطريقة الثانية : عن طريق قاعدة لوبيتال بإشتقاق البسط مرة والمقام مرة
كلاً منهم على حدى .

مشتقة البسط  هى مشتقة lny  وتساوى  l               1/y
مشتقة المقام هى مشتقة y-1  وتساوى    1

وبناء عليه تتحول النهاية الى :  L = lim(y→1) 1/y = 1

الطريقة الثانية عن طريق متسلسلات النشر .

lny = (y-1) - (y-1)²/2! + (y-1)³/3! -  ...     l

بقسمة الطرفين على y - 1

lny/(y-1) = 1 - (y-1)/2! + (y-1)²/3! - ... l

عندما y تؤول الى 1 فإن y - 1  تؤول للصفر حتماً
وبالتالى نجد ان جميع هذه الحدود صفراً فيما عدا طبعا ً الحد المطلق 1

اذاً :   L = 1‏

مشتقة المقام هى مشتقة y وتساوى 1

نفرض أن البسط f(y) = ln(1-y)   l

اذاً : f'(x) = -1/(1-y)  ll  بالتعويض فى النهاية ..

L = lim(y→0) - [-1]/(1-y)   l  وبالتعويض المباشر عن y = 0

نصل الى ان :          L = 1‏

تابع القراءة

0 سؤال فى متسلسلة تايلور

اوجد متسلسلة ماكلورين

1-

y= ln(3+x) ll
put : 2+x = u
ln(3+x) = ln(1+u)ll

u-u^2/2!-u^3/3+....... ll
u is bigger than -1
u is smaler than1

x+2  -( x+2)^2 / 2! + (x+2)^3/3!+.....ll

x is bigger than -1
x is smaler than1


هل هذا الحل صحيح ؟؟ لكن ان كان صحيح الحل الموجود امامى هو

ln(3+x)= ln3  + ln(1+(x/3)) ll
=
ln3 + (x/3)- (x/3)^2/2!+....ll

x is bigger than -3
xis smaler than 3


!!! فكيف الحلان صحيحان ؟؟؟ على الاقل فى المجال الذي يمكن تعويض x فية ؟؟

لاحظ ان
ln(1+x)=x-x^2/2!+x^3/3-......

حل واحد صحيح، وحل 2 قد يكون ايضاً صحيح (لكنى لم اراجعه) فليس من
الضرورى ان يكون نفس الشكل للمتسلسلة ..

حل 1 متأكد منه لكنك لا تكتب رمز المضروب فقط

لاحظ :  ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

هنا يمكنك تبديل x بـ x+2 للطرفين ..

ln(x+3) = (x+2) - (x+2)²/2 + (x+2)³/3 -  ..... ll

ما الذى صنعه ؟ كل الذى صنعه هو انه وضع x+2 = u

ln(u+1) = u - u²/2 + u³/3 - u^4/4 + ... ll

نعود الى المجال المعرف للمتسلة الأولى :

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

مجال التعريف [1 , -1[

لكى تتعرف لماذا قم بنشر دالة اللوغاريتم الطبيعى ..

بحيث أن x اكبر من الصفر (وهذا شىء معروف فى اللوغاريتمات)

f(x) = lnx  ,  f'(x) = 1/x  , f"(x) = -1/x²  , f"'(x) = 2/x³

يبتين لنا من خلال ذلك انه لا يمكن انن نشر هذه الدالة عند الصفر ولكن
يمكن نشر الدالة حول x = 1   ولاحظ ..

f(1) = 0   ,  f'(1) = 1  , f"(1) = -1  , f"'(1) = 2

بصفة عامة المشتقة التى رتبتها عدد زوجى سالبة والتى رتبتها عدد فردى موجبة .

مثلاً المشتقة الرابعة هى -3  والمشتقة الخامسة هى 4 ....وهكذا

بإستعمال متسلسلة تايلور :

f(x) = f(1) + f'(1) (x - 1) + f"(1)/2! (x-1)² + f"'(1)/3! (x - 1)³ +  ...  ll

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - ....ll

نبدل x بـ x+1  للطرفين ...

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

الآن لا يمكن ان تكون x=-1 لأنها تجعل x+1=0 وهذا مرفوض

اذاً : المتسلسلة صحيحة من أجل x اكبر من -1

ولكن تم اثبات ان حدود المتسلسلة السابقة متقاربة من أجل x تنتمى للفترة  [1 , -1[

اما المنشور الثانى : فهو اعتقد ابتدائاً ان الدالة هى : f(x) = ln(x+3)  ll

f'(x) = 1/(x+3)   ,  f"(x) = -1/(x+3)²   , f"'(x) = 2/(x+3)³

وهكذا .. الآن قم بنشر الدالة حول x=0

f(0) = ln3  ,  f'(0) = 1/3  ,  f"(0) = -1/9  , f"'(0) = 2/27


ln(x+3) = ln3  + (x/3) - (x²/2*9) + (x³/3*27) - ....   ll

لاحظ يجب ان يكون x + 3  اكبر من الصفر  ومنها x اكبر من -3

ولكن تم اثبات ان حدود المتسلسلة تكون متباعدة عندما x اكبر من 3

ويمكن اثبات التقارب والتباعد بالطريقة الآتية :

                                    س²       س³       س^4
لط(س+1) = د(س) = س - ــــــــــ + ـــــــــــ - ــــــــــــ  + ...
                                     2           3           4


                             س^ن
فنجد أن الحد العام هو : ـــــــــــ  وبوضع س = أ  حيث أ فى الفترة [1 ، -1[
                                ن

             أ^ن
نهــــــــا ـــــــــــــ = 0
ن←∞      ن

عدا ذلك فإن النهاية السابقة = ∞

مثال (للتوضيح فقط) لك ان تتخيل اذا كانت س = 2

                           2^5
ولتكن ن = 5  فإن : ــــــــــــــــ = 6.4
                             5

وهكذا ترى ان تقدم البسط (فى هذه الحالة) نحو اللانهاية اسرع بكثير من المقام
ولذا فإن النهاية السابقة = ∞  من أجل س أكبر من الواحد . 

تابع القراءة

0 اوجد مشتقة جا^-1(س) بإستخدام التعريف سَ = (صَ)^-1

ابدأ معك من اى دالة بصفة عامة (لأنى الاحظ ان هذا ما تقصده)

نفرض د : دالة د(س) لها دالة عكسية وهى د^-1(س) اذاً هذا شرط
اساسى ان تكون للدالة نظير الدالة (او الدالة العكسية)

مثال سريع ...

ص = هـ^س   ومنها صَ = هـ^س

س = لوص      ومنها  سَ = 1/ص

ويمكن ايجاد س َ بطريقة أخرى ..... وهذا ما اوردته ..

                           1              1
سَ =  (صَ)^-1 = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــ
                       هـ^س          ص

بتطبيق هذه الخطوة على الدوال المثلثية والزائدية بحكم انها قابلة
لأن تكون لها دالة عكسية ..

مثال : د(س) = جاس     او  :  ص = جاس   كتابة أخرى

اذاً  صَ = جتاس  ، والآن ايجاد مشتقة الدالة العكسية يعنى بالأمر

اننا نريد سَ  .

             1                    1
سَ = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
           (صَ)            (جتاس)

وهنا لابد من تحويل جتاس الى جاس لأن الدالة الأساسية هى جاس .

 
             1                          1
= ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ
    جذر(1 - جا²س)         جذر( 1 - ص²)

وطبعاً س ، او ص او ع .. كلها رموز اعتباطية .. يعنى بصفة عامة

اذا كانت الدالة هى : د(س) = جا^-1(س)  فإن

                       1
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
             جذر( 1 - س²)

وهذه وجهة نظرى فى اثبات الطريقة، بدأت معك بإشتقاق دالة الأس
الطبيعى، لأن اى دالة تستطيع وضعها فى صورة دالة الأس الطبيعى .

مثال : د(س) = 2^س  هى نفسها د(س) = هـ^لط(2^س)

بإختصار كل دالة   ص = هـ^لط(د(س))

الآن نشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × هـ^(لط(د(س)) × سَ
     د(س)

ولكن د(س) = هـ^(لط(د(س)) = ص  بالتعويض ...

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × ص × سَ
       ص
                                                  1
اذاً : دَ(س) × سَ = 1   ومنها  سَ =  ـــــــــــ
                                              دَ(س)

او بإختصار نقول : سَ = (صَ)^-1

.....................................................................................................
مثال على مشتقة  ص = جازس  (اى الجيب الزائدى)

ويمكن كتابتها بالطريقة : ص = هـ^لط(جازس)

الآن اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص .

         (جازس) َ
1 = ـــــــــــــــــــــ × هـ^لط(جازس) × سَ
         جازس

ولكن جازس =  هـ^لط(جازس) = ص  

                                                     1
اذاً : 1 = (جازس) َ × سَ  ومنها سَ = ــــــــــــــــــ
                                                (جازس)َ

              1                  
سَ = ـــــــــــــــــ   ولكن جتاز²س - جاز²س = 1
         جتازس

ومنها  جتازس = جذر(1 + جاز²س)

                         1                          1
اذاً : سَ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ
              جذر(1 + جاز²س)         جذر(1 + ص²)


والتى كان يمكن حلها مباشرة ً من عند الخطوة سَ = (صَ)^-1

             1                 1                         1
سَ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
         جتازس     جذر(1 + جاز²س)      جذر(1 + ص²)

..................................................................................

مثال 3) على دالة ليس لها معكوس .

ص = س²

ويمكنك معرفة ذلك هندسياً وجبرياً .. اما هندسياً فأسهل شىء
هو الإختبار الخط الأفقى (كما هو موضح بالرسم) فتجده تقطع
الدالة فى نقتطين، اذاً الدالة العكسية غير موجودة .

او جبرياً مباشرة ً س = جذر(ص)  او س = - جذر(ص)

نقول : ص =  هـ^لط(س²)  اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

        2س
1 = ــــــــــــــ ×  هـ^لط(س²) × سَ
        س²

                                    1                                
1 = 2س سَ  ومنها سَ = ـــــــــــــ
                                 2س

ولكن س = جذر(ص) او س = - جذر(ص)

وهذا يعنى ان الدالة العكسية غير موجودة . 

تابع القراءة

0 كيف نثبت أن π=4(1-1/3+1/5-1/7+...) ؟

يمكنك اثبات أن القيمة التقريبية "باى" تساوى 4 * مقاليب مجموع الأعداد الفردية
بإشارات مخالفة بالطريقة السهلة الآتية :

ليكن لدينا الدالة : f(x) = tan^-1(x)  ll

((اى الدالة العكسية لـ tan))  اشتق الطرفين بالنسبة لـ x

f'(x) = 1/(1+x²)   ll     اذا اردت اثبات هذه الخطوة فلا مانع

الآن نقول : f'(x) = 1/[1 - (-x²)]         ll

لماذا ؟  لأن هذا الشكل يذكرك بـ مجموع متتابعة هندسية متقاربة لا نهائية
بشرط أن x فى الفترة ]-1 ، 1[  اذاً يمكنك كتابة f'(x)  فى صورة متسلسلة
هندسية بهذه الطريقة ...

f'(x) = 1+(-x²)+(-x²)²+(-x²)³ + ......   ll

بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ x ينتج لك الدالة الأصلية ..

tan^-1(x) = x - x³/3 + x^5/5 - x^7/7 + .....   ll

طبعاً كما قولنا من أجل x فى الفترة ]-1 ، 1[

بوضع x = 1   للطرفين


tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

ولكن الظل العكسى لواحد هو pi/4  اذاً

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

بضرب الطرفين فى 4   اذاً

pi  = 4[1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ......]   ll

اتمنى ان يكون الشرح واضح بالنسبة لك ...

تابع القراءة

0 كيفية حساب المساحة السطحية للكرة ؟

تستطيع ان توجد مساحة الكرة من خلال مساحة الجسم الناتج عن دوران نصف
دائرة (تمر بنقطة الأصل) نصف قطرها نق عن طريقة التكامل المحدود ..

نفرض أن الدائرة هى : س²+ص² = نق²

ومنها : ص = جذر(نق² - س²)   اخذنا الحل الموجب فقط ...

                                                     أ
قانون حساب مساحة الجسم الدورانى : 2ط ∫د(س) دم
                                                     ب
حيث : دم = جذر[1+دَ(س)²] دس

لذللك نوجد أولاً مشتقة الدالة ...

                  - س
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ   نقوم بالتربيع واضافة 1
           جذر(نق² - س²)


     س²                       نق²
ـــــــــــــــــــــ + 1 = ــــــــــــــــــــــ
نق² - س²                نق² - س²

                     نق
اذاً : دم = ــــــــــــــــــــــــــــ دس
              جذر(نق² - س²)


التكامل لحساب  مساحة الكرة هو (تكامل محدود من -نق الى نق)

     نق                                 نق
= 2ط∫ جذر(نق² - س²) × ــــــــــــــــــــــــــ دس
     -نق                         جذر(نق² - س²)

      نق                           نق
= 2ط ∫ نق دس = 2ط [نق س]  = 2ط نق [نق - (-نق)]
       -نق                        -نق

= 2ط نق × 2نق = 4 ط نق²

تابع القراءة

0 اثبت ان مشتقة جتاس هى - جاس ؟

هناك عدة طرق للإثبات منها اعادة تعريف كلاً من دالتى الـ جا و الـ جتا ولكن
الطريقة  تلزمك على معرفة طريقة اشتقاق دالة الأس الطبيعى e^f(x)  ll وايضاً تحتاج
لأن تثبت الصيغة من الأساس (اى تحتاج ان تثبت أن : cosx = (e^ix+e^-ix)/2
و sinx = (e^ix - e^-ix)/2i ، لذا فمن الأفضل هنا أن نلجأ الى التعريف العام للمشتقة .

د(س) = جتاس

                      د(س+هـ) - د(س)                جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0           هـ                  هـ←0             هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

              جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

             جتاس جتاهـ - جتاس                جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                  هـ←0          هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

                       جتاهـ - 1                       جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ  - جاس نهـــــــا ــــــــــ
            هـ←0       هـ                  هـ←0    هـ

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ تؤول للصفر - اضغط هنا ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

          جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ  = 0    مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .        
هـ←0      هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

            جتاهـ - 1       جتاهـ + 1                   جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0         هـ                هـ            هـ←0  هـ (جتاهـ+1)

                 1 - جتا²هـ
=  - نهــــــــا ـــــــــــــــــــ   (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
     هـ←0  هـ(1+جتاهـ)
     
                   جا²هـ                          جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0   هـ (1+جتاهـ)        هـ←0   هـ (1+جتاهـ)

                 جاهـ                     جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
     هـ←0     هـ          هـ←0     1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

= جتاس × 0   - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى - جاس

تابع القراءة

1 ما هى طريقة حل المعادلات التفاضلية عدديا ً ؟

عندك عدة طرق منها طريقة أويلر ،وهى طرق تشبه التكامل العددى الى حد ما
وتتطلب ايضاً شروط بدئية .

مثال : المعادلة التفاضلية y' = 1+y

عين قيمة تقريبية لـ  y(1) ..l  اذا علمت ان y(0) = 0

ضع n=4  يعنى قسم الفترة الى 4 فترات .

...................................................
الحل : h = 1/4 = 0.25

حيث يمكن تقسيم الواحد الى فترات جزئية

t0 = 0
t1 = 0.25
t2 = 0.5
t3 = 0.75
t4 = 1

y1 = y0 + hf(t0 , y0)     ..l

y1 = 0 + 0.25 = 0.25

y2 = 0.25 + 0.25(1.25) = 9/16

y3 = 9/16 + 0.25(1.5625) = 61/64

y4 = 61/64 + 0.25(1+61/64) = 1.441

طبعاً بعد التقريب .

اذاً : y(1) ≈ 1.44‏

..............................................................................
جاء هذا التعريف نتيجة التعريف العام لمشتقة الدالة ...

f'(x) = [f(x+h) - f(x)]/h  عندما h تؤول للصفر .

اذاً : f(x+h) - f(x) = hf'(x)   ll

ومنها .. f(x+h) = f(x) + h'f(x)  ll

ولكن ماذا لو كانت h تقترب من الصفر وفقط اى يمكن ان تكون ربع
او ثمن او اى عدد مثلاً بين الصفر والواحد فهنا استعملنا التقريب فنقول

f(x+h) ≈ f(x) + hf'(x)    ll

ومن خلال هذا التعريف يمنكك ايجاد المشتقة الثانية والثالثة
والرابعة، وبصفة عامة المشتقات من الرتب العليا ... ففى
المثال السابق اعطاك معادلة تفاضلية f'(x) = f(x)+1 وطلب منك
f(1) علماً بأن (هذا شرط بدئى) f(0) = 0  هو اعطاك دالة
الصفر وطلب منك دالة الواحد .. ما هى المسافة بين الـ 0
والواحد ؟ هى بالتأكيد 1 فقط ولكن اذا وضعنا h=1 فإنها ستعطى
نتائج غير دقيقة (او لم تقترب من النتيجة المطلوبة بالقدر الكافى)
لذلك اذا اردنا المزيد من الدقة نقسم 1 على 4 (كمثال فقط)
فتكون h = 1/4  ثم نبدأ من 0 ثم 1\4 ثم 1\2  .. وهكذا الى
ان نصل الى دالة الواحد .. ولاحظ كل مرة نضيف 1\4 فقط
والتى هى قيمة h .

طول الفترة 1 قسمنها الى فترات جزئية ..

f(0.25) = f(0) + 0.25f'(0) = 0.25

ما الذى حدث فى هذه الخطوة ؟

ما حدث هو اردنا ايجاد صورة 0.25 التى تلى صورة 0 حسب القاعدة
وهو ذكر فى السؤال ان f(0) = 0  ولكن كيف اوجدنا f'(0)  ?l
بكل بساطة عوضنا فى f'(x) = f(x)+1  نضع x=0
f'(0) = f(0)+1   = 0+1 = 1  والآن ننتقل الى الخطوة التى تليها ..

f(0.5) = 0.25 + 0.25f'(0.25) = 9/16

سأذكر ايضاً سريعاً ما حدث فى هذه الخطوة بحيث لا أكرر ما قلته مرة أخرى ..
فأعتقد ان كل شىء واضح فيما عدا قيمة f'(0.25) قد تكون غامضة بعض الشىء ..
ايضاً بكل بساطة عوض فى f'(x) = f(x)+1  نضع x=0.25
أى ان : f'(0.25) = f(0.25)+1  ولكن f(0.25) l هذه قط حصلنا عليها من
الخطوة الأولى f(0.25) = 0.25   بالتعويض اذاً : f'(0.25) = f(0.25)+1 = 1.25

نظل هكذا نكرر الخوارزمية الى أن نصل الى قيمة f(1) التى طلبها منك فى السؤال ...

f(1) ≈ 1.44

وتجدر الإشارة هنا الى ان المثال الضى وضعته مجرد لتوضيح الفكرة لا أكثر
ولا اقل والا فإنه يمكنك ايجاد f(1)  ll  بدون استخدام هذه الطريقة، عن طريق
حل المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى بهذه الطريقة ..

y' = y+1  -----> dy/dx = y+1

ولكن من خواص النسبة والتناسب انك اذا بدلت وضع الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيحاً ايضاً، وهذا يعطينا : dy/(y+1) = dx وبمكاملة
الطرفين نحصل على : ln(y+1) = x+c  والتى يمكنك وضعها فى الصورة

ln(y+1) = x+lnc  ومنها  ln(y+1) - lnx = x  ومن خواص اللوغاريمات نستنتج أن :

ln[(y+1)/c] = x   بأخذ e للطرفين ..  e^ln[(y+1)/c] = e^x

اى ان :  ll             (y+1)/c = e^x  وبعد التبسيط ينتج لنا المعادلة الأصلية
على هذا الشكل : y = ce^x - 1  حيث c ثابت التكامل .. والذى نوجده من
خلال الشرط البدئى الذى وضعه لنا f(0) = 0   بالتعويض ...

ce^0 - 1 = 0   اى ان :  c - 1 = 0   ومنها  c=1  لتكون المعادلة هى :

f(x) = e^x - 1   ومنها  f(1) = e - 1  ≈ 1.71828

وطبعاً هى تقترب (الى حد ما) من 1.44 ولكن ليست بالقدر الكافى
وهذا لأننا أخذنا h = 1/4 ولو انك قسمت طول الفترة التى تساوى 1
الى 8 فترات جزئية لحصلت على نتيجة افضل .. وهكذا .

تابع القراءة