إظهار الرسائل ذات التسميات المنطق الرياضى. إظهار كافة الرسائل
إظهار الرسائل ذات التسميات المنطق الرياضى. إظهار كافة الرسائل
7 كيف يبدأ الشخص بالتفكير فى ايجاد حل لمساله رياضياتية ؟
الاثنين، 4 فبراير 2013
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
سأتناول بعض الخطوات بشكل سريع ولك أيضاً أن تضيف أو تعدل عليها وقتما شئت .
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
0 ما هى الشروط الواجب توافرها فى البرهان لكي يكون صحيح ؟
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
هذه بعض إقتراحتى ولك ان تعدل عليها إن شئت، أو أن تضيف اليها .
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
| [1] |
مسلمة التوازي(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [2] |
هندسة زائدية(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [3] |
برهان رياضياتى(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [4] |
مبرهنات عدم الاكتمال لغودل(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [5] |
en.wikipedia.org
|
0 هل هذا الإستنتاج المنطقى صحيح ؟
السبت، 22 سبتمبر 2012
التسميات:
المنطق الرياضى
أ , ب , جـ , د ..... أربع جمل تحتمل الصواب و الخطأ .
جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً .
أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ ≡ (أvب)vدvدvدvدvدvد
جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً .
أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ ≡ (أvب)vدvدvدvدvدvد
امامك 2^4 = 16 إحتمال، وسنعبر عن 1 = صدق
0 = كذب، ومن المؤكد اننا سنثتثنى منها أشياء
كما وضحت أنت جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً ، وهذا يعنى اننا نريد تكون تبديلات
مع التكرار من المجموعة التالية {أ ، ب ، 1 ، 0}
مع تثبيت 1 ، 0 وكأن التبديل على أ ، ب فقط .
أ ب جـ د (أ^ب) (أ^ب)^جـ (أ^ب)vد
1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
لاحظ نفس الثلاث أعمدة الأخير لهم نفس القيم .
نذهب الى الجدول البسيط الثانى ولاحظ أن :
جـ^جـ^جـ^جـ ......... = 1 لأنهما يصدقان معاً .
كذا ايضاً 0 = دvدvدvدv ..... لأنهما يكذبان معاً .
(أvب) (أvب)^جـ .. (أvب)vد ...
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
وهذا يؤكد لنا صدق ما ذكرته :
أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ ... ≡ (أvب)vد ...
اذاً وفقط اذا جـ = 1 ، د = 0
0 = كذب، ومن المؤكد اننا سنثتثنى منها أشياء
كما وضحت أنت جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً ، وهذا يعنى اننا نريد تكون تبديلات
مع التكرار من المجموعة التالية {أ ، ب ، 1 ، 0}
مع تثبيت 1 ، 0 وكأن التبديل على أ ، ب فقط .
أ ب جـ د (أ^ب) (أ^ب)^جـ (أ^ب)vد
1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
لاحظ نفس الثلاث أعمدة الأخير لهم نفس القيم .
نذهب الى الجدول البسيط الثانى ولاحظ أن :
جـ^جـ^جـ^جـ ......... = 1 لأنهما يصدقان معاً .
كذا ايضاً 0 = دvدvدvدv ..... لأنهما يكذبان معاً .
(أvب) (أvب)^جـ .. (أvب)vد ...
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
وهذا يؤكد لنا صدق ما ذكرته :
أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ ... ≡ (أvب)vد ...
اذاً وفقط اذا جـ = 1 ، د = 0
------------------ طريقة أخرى للحل ----------------
بالإعتماد على مسلمات الجبر البولينى (اضغط هنا)
بالإعتماد على مسلمات الجبر البولينى (اضغط هنا)
المطلوب الأول :
أ ب = أ ب × 1 = أ ب = أب + 0
المطلوب الثانى :
أ+ب = (أ+ب)×1×1×1× ..... = (أ+ب)+0+0+0+ .....
ملحوظة الضرب يدل على ^ والجمع يدل على v .
0 اوجد أكبر عدد من البالونات يمكن وضعها فى المجموعة الواحدة، بحيث انه يوجد لدينا...
السبت، 18 فبراير 2012
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
دينا 32 بالونة زرقاء و 28 بالونة حمراء وأردنا تزيين البيت بمجموعة من اللونين
من البالونات بحيث تكون في كل مجموعة نفس عدد البالونات من كل لون،
1- ما هو أكبر عدد من البالونات يمكن وضعها في المجموعة الواحدة؟
2- كم عدد مجموعة البالونات؟
1- ما هو أكبر عدد من البالونات يمكن وضعها في المجموعة الواحدة؟
2- كم عدد مجموعة البالونات؟
►الحل◄
ق(32) = {1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32}
ق(28) = {1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 14 ، 28}
ق(60) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 ، 60}
32 28
ـــــــــــ = ـــــــــــ لكل س∈ق(32) ، ص∈ق(28)
س ص ، س > ص ، 60|(س+ص)
(8 ، 7) اول زوج مرتب (س،ص) يحقق الشروط المطلوبة .
لكنه ليس وحيد ، لأن (16 ، 14) اكبر منه ويحقق الشروط .
◄ نستطيع تكوين مجموعة واحدة (32 ، 28)
حيث ان 60/(32+28) = 1 .. نستطيع ان نسميه
بالحل التافه .. اذاً الحل المقبول هو الزوج المرتب (16 ، 14)
اذاً : اكبر عدد يمكن وضعه فى المجموعة الواحد هو 30 .
16 من المجموعة الأولى ، 14 من المجموعة الثانية .
عدد المجموعات = 60÷(16+14) = 2 مجموعة .
ق(28) = {1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 14 ، 28}
ق(60) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 ، 60}
32 28
ـــــــــــ = ـــــــــــ لكل س∈ق(32) ، ص∈ق(28)
س ص ، س > ص ، 60|(س+ص)
(8 ، 7) اول زوج مرتب (س،ص) يحقق الشروط المطلوبة .
لكنه ليس وحيد ، لأن (16 ، 14) اكبر منه ويحقق الشروط .
◄ نستطيع تكوين مجموعة واحدة (32 ، 28)
حيث ان 60/(32+28) = 1 .. نستطيع ان نسميه
بالحل التافه .. اذاً الحل المقبول هو الزوج المرتب (16 ، 14)
اذاً : اكبر عدد يمكن وضعه فى المجموعة الواحد هو 30 .
16 من المجموعة الأولى ، 14 من المجموعة الثانية .
عدد المجموعات = 60÷(16+14) = 2 مجموعة .
1 معلومات بسيطة عن الدوال الشاملة، والمحدودة،والدورية .
الخميس، 16 فبراير 2012
التسميات:
الجبر,
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
الدالة الشاملة هى التى كل عنصر من عناصر
س فيها يقابل عنصر على الأقل من المجال المقابل ص ..
مثال على ذلك كثيرات الحدود فى ح ..
د(س) = س تعتبر دالة شاملة لأنها معرفة على جميع
الأعداد الحقيقة، ومداها = ح
الدالة محدود فى فترة، او محدودة على مجالها
مثال على دالة محدود فى فترة ..
د(س) = 2س - 1 فى الفترة [2 ، 6]
اوجد اكبر ، واقل قيمة يمكن تصل اليها
الدالة فى تلك الفترة .. الحل نضعها
فى صورة متباينة وبالتدرج .. بما ان
الدالة محددة فى الفترة [2 ، 6]
فهذا يدل على ان : -
6 ≥ س ≥ 2 بضرب الطرفين فى 2
12 ≥ 2س ≥ 4 وبطرح -1 من الطرفين
11 ≥ 2س - 1 ≥ 3
اقل قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى الفترة [2 ، 6] هى 3
اكبر قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى نفس الفترة هى 11
نحتاج ايضاً تعريف الدالة : د(س) = جاس
فهى دالة محدد على جميع فترات مجالها
، تأخذ قيمة دنيا -1 ، وقيمة عليا 1
وهى ايضاً مثال على الدالة الدورية
الدوال الدورية هى التى تكرر قيمتها
بعد فترة زمنية محددة، واقرب مثال على
ذلك الدوال المثلثية ..
مثال آخر على الدوال المحدودة ..
اثبت ان هذه الدالة محدودة على مجالها .
س²
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
(س² + 5)
بما ان البسط اقل من المقام، لكنه
من المحتمل ان يساوى الصفر ..
0 ≤ س² ≤ (س² + 5)
بقسمة الطرفين على (س² + 5)
س²
0 ≤ ـــــــــــــــــــــــــ ≤ 1
(س² + 5)
اذاً الدالة تتخذ اقل قيمة ممكنة لها = 0
واكبر قيمة ممكن للدالة = 1
س فيها يقابل عنصر على الأقل من المجال المقابل ص ..
مثال على ذلك كثيرات الحدود فى ح ..
د(س) = س تعتبر دالة شاملة لأنها معرفة على جميع
الأعداد الحقيقة، ومداها = ح
الدالة محدود فى فترة، او محدودة على مجالها
مثال على دالة محدود فى فترة ..
د(س) = 2س - 1 فى الفترة [2 ، 6]
اوجد اكبر ، واقل قيمة يمكن تصل اليها
الدالة فى تلك الفترة .. الحل نضعها
فى صورة متباينة وبالتدرج .. بما ان
الدالة محددة فى الفترة [2 ، 6]
فهذا يدل على ان : -
6 ≥ س ≥ 2 بضرب الطرفين فى 2
12 ≥ 2س ≥ 4 وبطرح -1 من الطرفين
11 ≥ 2س - 1 ≥ 3
اقل قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى الفترة [2 ، 6] هى 3
اكبر قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى نفس الفترة هى 11
نحتاج ايضاً تعريف الدالة : د(س) = جاس
فهى دالة محدد على جميع فترات مجالها
، تأخذ قيمة دنيا -1 ، وقيمة عليا 1
وهى ايضاً مثال على الدالة الدورية
الدوال الدورية هى التى تكرر قيمتها
بعد فترة زمنية محددة، واقرب مثال على
ذلك الدوال المثلثية ..
مثال آخر على الدوال المحدودة ..
اثبت ان هذه الدالة محدودة على مجالها .
س²
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
(س² + 5)
بما ان البسط اقل من المقام، لكنه
من المحتمل ان يساوى الصفر ..
0 ≤ س² ≤ (س² + 5)
بقسمة الطرفين على (س² + 5)
س²
0 ≤ ـــــــــــــــــــــــــ ≤ 1
(س² + 5)
اذاً الدالة تتخذ اقل قيمة ممكنة لها = 0
واكبر قيمة ممكن للدالة = 1
0 ما هي أهمية الأعداد العقدية ؟
السبت، 11 فبراير 2012
التسميات:
الجبر,
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
لا ادرى من اين ابدأ، ولا تعجب اذا قلت لك لولا الأعداد
العقدية لما شاهدت هذا التطهور الهائل فى الرياضيات
الحديثة .. لآخذك الآن الى منحى بعيداً لكننا اذا تأملنا
فيه جيداً تجده قريب كل القرب .. السؤال هو :
هل يقود الخيال احياناً الى الى تصور الحقيقة ؟
هذا سؤال ليس مجرد سؤال تافه فحسب لكنه
يستلزم قضية هامة جدا ً فى الرياضيات وهى
الإنتقال من الخيال العلمى الى الحقيقة العلمية .
فإذا تطرقنا الى الخيال العلمى بإعتباره همزة الوصل
بين اللاحقيقى والحقيقى، فإننا بلا شك ندرك انه
بدون الخيال العلمى لما توصلنا الى هذه الحقيقة !
الآن اذا طلبت منك حل المعادلة : س² + 1 = 0
ستقولى ان س² + 1 = 0 تقتضى ان :س² = -1
تقتضى ان س =±جذر(-1)
الآن : لا يوجد عدد حقيقى اذا ربعته تكون النتيجة
سالبة .. نستنتج ومباشرةً ان جذر(-1) لا تنتمى
الى مجموعة الأعداد الحقيقية .. انت امام امر
من امرين اما تقول ان النتيجة فاى .. او ان توسع
من مجموعة الأعداد لتكون المجموعة الحقيقية
مجموعة جزئية فى تلك المجموعة ، وتسمى
مجموعة الأعداد العقدية، وهى تتألف من جزئين
جزء حقيقى، وجزء تخيلى :: مثل 1 + 2ت
هنا الجزء الحقيقى 1 ، والجزء التخيلى 2
حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)
هذا العدد يتميز بأن مربعه عدد سالب .
ت = جذر(-1) ، ت² = -1 ، ت³ = -ت ، ت^4 = 1
الآن : س² + 1 = 0 فإن : س² = -1 ، ومنها
س = ±جذر(-1) = ±ت بالتعويض..
(±ت)² + 1 = -1 + 1 = 0
ومن الجدير بالذكر أن ريتشارد فاينمان قد نعت
صيغة أويلر قائلاً عنها: "جوهرتنا" و "واحدة من
أبرز الصيغ وأكثرها إدهاشًا في كل الرياضيات"
هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس
حيث ان : هـ = العدد النيبيرى ≈ 2.71
والجزء التخيلى منها هو جاس .
بحيث ان الصورة المثلثية للعدد العقدى تكون
على الصورة :
هـ^(ت س) = ل(جتاس + ت جاس)
حيث ل = سعة العدد المركب .
مثال : 3 + 2ت
ل = جذر[(3)² + (2)²] = جذر(13)
◄ ادت الحاجة لظهور الأعداد العقدية الى عجز
مجموعة الأعداد الحقيقية ان تحل مثل هذه
المسائل : س² + 1 = 0 فما المانع ان نقول
ان لها حل .. لكنه تخيلى ..!
◄ وهناك سؤال يشكل غاية فى الخطورة، هل تستطيع
ان تتخيل كتابة هذا العدد جذر(2) ؟؟
كل ما هنالك تقول جذر(2) هو عدد ما بين 1.41 ، 1.42
لكنك لا تستطيع ( الا ما لانهاية ) ان تحدد بالظبط ما هو .
ومع ذلك فإستعمال الأعداد النسبة تستعمل وبكثرة
فى الرياضيات .
والآن ما رأيك : هـ^(ت ط) + 1 = 0 ؟
حيث : هـ ≈ 2.71 ، ط ≈ 3.14
آمل ان اكون قد وفقت بعض الشىء فى الإجابة على
سؤالك ( لأن اجابة السؤال اطول من ان نذكرها هنا
وتضم من الأفكار ، والعبارات الكثير .. والكثير )
0 ما الفرق بين المتطابقة - المعادلة - القانون ؟
الاثنين، 31 أكتوبر 2011
التسميات:
المنطق الرياضى,
حساب مثلثات,
مواضيع متنوعة
المعادلة هى تساوى طرفين او اكثر،
(( فى مجموعة صغيرة من الأعداد ))
المتطابقة هى ايضاً تساوى طرفين او اكثر،
لكن فى مجموعة كبيرة من الأعداد تصل
فى اغلب الأحيان الى مجموعة الأعداد الحقيقية
والمركبة معاً ..!
القانون (( هو المفهوم للمتطابقة، وسؤالك رائع فى هذه النقطة ))
وحتى لا يكون مجرد كلام يكتب بدون تطبيق، فنقوم بتطبيق الآتى ..
س+ص = 1 هذه معادلة وليست متطابقة لماذا ؟؟ هل هى قانون ؟؟
لا يوجد اطلاقاً قانون مثل هذا ، انما هى معادلة او مجر ( فرضية )
ان هناك عددان س،ص ناتج جمعهما = 1 فتعطى عدد لا نهائى من الأعداد
((لكن هذه الأعداد ليست من اختيارنا )) بمعنى .. لا يجوز ان اقول وبوضع س = 3
، ص = 2 مثلاً ؟؟ لأنها لا تحقق شرط المعادلة ..
مثال2) س² = -2س - 1 لا يجوز ان اقول وبوضع س = 5 مثلاً للطرفين
س² +2س + 1 = 0 ومنها (س+1)² = 0 ومنها س = -1
اذاً 5 لا تحقق المعادلة ..
مثال3) جتا²س +جا²س = 1 (( هذا قانون او متطابقة ))
وبوضع س = ص² + 2ص + 1 للطرفين
(( طبعاً لاحظ ان الطرف الايسر لا يحتوى على س ))
جتا²(ص²+2ص+1) + جا²(ص²+2ص+1) = 1
وفى هذا المثال نستطيع ان نضع س تنتمى لأى مجموعة تختارها من الأعداد
حقيقية ، مركبة .. فعندما نكتب : جتا²س + جا²س = 0
فضع س كما تشار ، ولكن لاحظ ان هذا الكلام لا ينطبق على المعادلة
حيث ان المعادلة التى بها مجهول واحد اما ان يكون لها حل واحد، واما
ان تكون مستحيلة الحل ..
مثال4) جتاس - جتاص = -2جا½(س+ص) جا½(س-ص)
متطابقة مثلثية تحتوى على مجهولين س،ص
وبوضع س = ص تحصل على المطلوب 0 = 0
وبوضع س بـ س²+2س+1 ، ص بـ س²-2س + 1
جتا(س²+2س+1 ) - جتا(س²-2س + 1)
= -2جا½(س²+2س+1 + س²-2س + 1) جا½((س²+2س+1 ) - (س²-2س + 1) )
= -2جا½(2س² + 2 ) جا½ (4س)
= -2جا(س²+1) جا(2س)
0 ما هى مبرهنة جودل
الأربعاء، 12 أكتوبر 2011
التسميات:
المنطق الرياضى
طارح السؤال هو العضو : mmmanani 
إجابتك على السؤال أخي ابراهيم عنب: ما هي مبرهنة جودل صحيحة تماما، وتستحق التثبيت كأفضل إجابة، وإني لفاعل إن شاء الله.
ولكن الشق الثاني من الإجابة-الحوار، غامض نسبيا في مقصده، وكأنه طعن في استخدام روح المبرهنة في نسف قاعدة الإلحاد المبنية على الماديات البحثة.
على كل، هذا موضوع شيق آخر، لا مجال مناقشته بالتفصيل هنا للأسف.
ولكن الشق الثاني من الإجابة-الحوار، غامض نسبيا في مقصده، وكأنه طعن في استخدام روح المبرهنة في نسف قاعدة الإلحاد المبنية على الماديات البحثة.
على كل، هذا موضوع شيق آخر، لا مجال مناقشته بالتفصيل هنا للأسف.
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
مبرهنة جودل
تنص مبرهنة جودل أنه ما من نظام رياضي متناسق إلا ويحوى عبارة رياضية واحدة على الأقل صحيحة ولكن لا يمكن برهنة صحتها بدأً من مسلمات النظام الرياضي.
وعلى هذا, حسب مبرهنة جودل, لا يوجد نظام رياضي كامل إذا كان متناسقاً .
طبعاً هذا يفتح باب الشك واسعا ً فى الرياضيات، لكن يجب عندما تشك
فى نظرية رياضية (او فى نظام رياضى معين ) ان تأتى بأصل البرهان الذى يبطل
النظرية او الذى يشكك فيها على الأقل , فالشك فىنظرية فيثاغورث يجب ان تظر
اليها من ناحية متعمقة كأن تتخيل المثلث مرسوم على كرة
اى انه مثلث كروى .. فهل يجوز تطبيق نظرية فيثاغورث عليه ؟؟ ... وهكذا
لكن الشك فيها صعب نوعا ً ما لأنه كلما كثرت البراهين على نظرية واحدة
يقل الشك فيها وتزيد درجة صحتها علمياً وعمليا ً .
تنص مبرهنة جودل أنه ما من نظام رياضي متناسق إلا ويحوى عبارة رياضية واحدة على الأقل صحيحة ولكن لا يمكن برهنة صحتها بدأً من مسلمات النظام الرياضي.
وعلى هذا, حسب مبرهنة جودل, لا يوجد نظام رياضي كامل إذا كان متناسقاً .
طبعاً هذا يفتح باب الشك واسعا ً فى الرياضيات، لكن يجب عندما تشك
فى نظرية رياضية (او فى نظام رياضى معين ) ان تأتى بأصل البرهان الذى يبطل
النظرية او الذى يشكك فيها على الأقل , فالشك فى
اليها من ناحية متعمقة كأن تتخيل المثلث مرسوم على كرة
اى انه مثلث كروى .. فهل يجوز تطبيق نظرية فيثاغورث عليه ؟؟ ... وهكذا
لكن الشك فيها صعب نوعا ً ما لأنه كلما كثرت البراهين على نظرية واحدة
يقل الشك فيها وتزيد درجة صحتها علمياً وعمليا ً .
5 مبادىء المنطق فى الرياضيات
الثلاثاء، 11 أكتوبر 2011
التسميات:
المنطق الرياضى
القضايا المنطقية هى جمل خبرية تحتمل الصدق او الكذب..
امثلة على ذلك :-
1) الشمس تشرق من المشرق . صادقة
2) الذرة متعادلة كهربائياً . صادقة
هناك قضايا لا نجزم ان كانت صادقة ام كاذبة .. امثلة :-
3) احمد لا يستطيع ان يستيقظ مبكراً .. ؟؟ لا نعلم لعدم وجود معلومات متوفرة لدينا تؤكد ذلك
4) لا تكذب ليست قضية اصلاً لأنها امر وليست جملة خبرية .
5) ماذا تقول ؟؟ جملة استفهامية لا تشكل قضية منطقية .
▓ قضية (1) ، وقضية (2) تعتبر قضايا بسيطة فإذا استخدمنا علاقات
تربط بينهما تصبح قضايا مركبة ..
الشمس تشرق من المشرق ⋀ الذرة متعادلة كهربائياً
علاقة الربط هنا العطف (و) رمزنا له بالرمز (⋀ )
الشمس تشرق من المشرق ⋁الذرة متعادلة كهربائياً
علاقة الربط هى ( او ) ونرمز لها بالرمز (⋁) اى ان احداهما تحتمل الصدق والأخر
تحتمل الكذب .
الشمس تشرق من المشرق ∼
وهذا معناه نفى القضية اى ان الشمس لا تشرق من المشرق ( قضية كاذبة )
نستطيع ان نسمى القضية الأولى P , الثانية Q
اداة العطف (و) P ⋀ Q
اداة العطف (او) P ⋁ Q
P ∼ آداة النفى
نلاحظ ان نفى نفى اثبات، وهذا معناه ان : ∼ ∼ = اثبات
مثال على ذلك العبارة P ∼ عند نفيها مرة أخرى .. P = P ∼ ∼
أمثلة أخرى :
اذا كانت القضية P تعبر عن 1+1 = 2
وكانت القضية Q تعبر عن العدد 5 عدد اولى
فإن : P ⋀ Q تعنى ان 1+1=2 ، 5 عدد اولى
: P ⋁ Q تعنى ان اما 1+1=2 او 5 عدد اولى
: Q ∼ تعنى ان العدد 5 ليس عدد اولى .
امثلة على ذلك :-
1) الشمس تشرق من المشرق . صادقة
2) الذرة متعادلة كهربائياً . صادقة
هناك قضايا لا نجزم ان كانت صادقة ام كاذبة .. امثلة :-
3) احمد لا يستطيع ان يستيقظ مبكراً .. ؟؟ لا نعلم لعدم وجود معلومات متوفرة لدينا تؤكد ذلك
4) لا تكذب ليست قضية اصلاً لأنها امر وليست جملة خبرية .
5) ماذا تقول ؟؟ جملة استفهامية لا تشكل قضية منطقية .
▓ قضية (1) ، وقضية (2) تعتبر قضايا بسيطة فإذا استخدمنا علاقات
تربط بينهما تصبح قضايا مركبة ..
الشمس تشرق من المشرق ⋀ الذرة متعادلة كهربائياً
علاقة الربط هنا العطف (و) رمزنا له بالرمز (⋀ )
الشمس تشرق من المشرق ⋁الذرة متعادلة كهربائياً
علاقة الربط هى ( او ) ونرمز لها بالرمز (⋁) اى ان احداهما تحتمل الصدق والأخر
تحتمل الكذب .
الشمس تشرق من المشرق ∼
وهذا معناه نفى القضية اى ان الشمس لا تشرق من المشرق ( قضية كاذبة )
نستطيع ان نسمى القضية الأولى P , الثانية Q
اداة العطف (و) P ⋀ Q
اداة العطف (او) P ⋁ Q
P ∼ آداة النفى
نلاحظ ان نفى نفى اثبات، وهذا معناه ان : ∼ ∼ = اثبات
مثال على ذلك العبارة P ∼ عند نفيها مرة أخرى .. P = P ∼ ∼
أمثلة أخرى :
اذا كانت القضية P تعبر عن 1+1 = 2
وكانت القضية Q تعبر عن العدد 5 عدد اولى
فإن : P ⋀ Q تعنى ان 1+1=2 ، 5 عدد اولى
: P ⋁ Q تعنى ان اما 1+1=2 او 5 عدد اولى
: Q ∼ تعنى ان العدد 5 ليس عدد اولى .
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
سأكمل معك الموضوع، وهى القضايا المتكافئة .. لكن قبل ان ابدأ معك
فى القضايا المتكافئة، ندرس اولاً وضع القضايا البسيطة والمركبة، فى
جداول حتى يسهل التعامل معهما، لتكن Q و P قضيتين فإن احتمالات
صدق وكذب كل منهما 4 احتمالات .. لماذا ؟؟
الإحتمالات هى :
1) اما ان يكونان صادقتين معاً
2) اما ان تكون P صادقة ، Q كاذبة
3) اما ان تكون Q كابة، P صادقة
4) اما ان يكونان صادقتين معاً .
ولكن اختصاراً لهذا الكلام ماذا نكتب ؟؟
لو هتكتب بالعربى ممكن نرمز لرمز الصدق (ص)
ورمز الكذب ( ك ) .. لو هتكتب بالإنجليزى يبقى
رمز الصدق (t) ورمز الكذب (f)
حيث ان t اختصاراً لكلمة true ومعناها صداقة ( او موثوق منها )
، رمز f اختصاراً لكلمة false اى مزيف او ( كاذب )
القضايا المنطقية لا تخرج عن هذين المعنيين t او f
, وفى بعض المناهج تكتب رمز الصدق تعبر عنه بالرقم (1)
ورمز الكذب تعبر عنه بالرقم (0) .. على اى حال اختر ما يحلو لك .
ملاحظات : 1) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من قضيتين بسيطتين = 4
2) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة = 8 ( جربها بنفسك تصل )
3) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من اربع قضايا بسيطة = 16
بإختصار : عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من عدد (n) من القضايا = 2ⁿ
مثال1) كون جدول الصواب والخطأ للقضية P⋀Q
لاحظ معى الآتى :-
هذه قضية مركبة تتكون من قضيتين اذاً عدد احتمالاتها = 2^2 = 4
الإحتمالات هى : (( سأضع مكان t = 1 ، f = 0 نظراً لتداخل الرموز هنا فى محرر الموقع ))
الإحتمالات هى : {(1 ، 1 ) ، (1 ، 0 ) ( 0 ، 1 ) ، (0 ، 0 )} نقوم بترتيبهم فى جدول :-
P Q P⋀Q
1 1
0 0
0
طبعاً مش هكمل المثال لكى اوضح لك ان الرموز الاتينية مع الرموز العربية
تحدث مشاكل هنا فى الموقع ..
كما طلبت الشرح بالرموز الاتينية .. لكن انصحك اهم حاجة الفهم .. ولا يهم الرموز ... الرموز الرياضية رموز اعتباطية ليس لها معنى من الأساس سوى انها تعبر عن قضية معينة .. مثال : اكتب x ولا اكتب س ؟؟ اكتب اى حاجة لأن ليس لها معنى الاساس ... غير انها تعبر عن قضية معينة ... ارجو ان يكون كلامى واضح بالنسبة لك .. الآن نعتبر الآتى : -
وتابع معى الشرح فى الملحق القادم ..
فى القضايا المتكافئة، ندرس اولاً وضع القضايا البسيطة والمركبة، فى
جداول حتى يسهل التعامل معهما، لتكن Q و P قضيتين فإن احتمالات
صدق وكذب كل منهما 4 احتمالات .. لماذا ؟؟
الإحتمالات هى :
1) اما ان يكونان صادقتين معاً
2) اما ان تكون P صادقة ، Q كاذبة
3) اما ان تكون Q كابة، P صادقة
4) اما ان يكونان صادقتين معاً .
ولكن اختصاراً لهذا الكلام ماذا نكتب ؟؟
لو هتكتب بالعربى ممكن نرمز لرمز الصدق (ص)
ورمز الكذب ( ك ) .. لو هتكتب بالإنجليزى يبقى
رمز الصدق (t) ورمز الكذب (f)
حيث ان t اختصاراً لكلمة true ومعناها صداقة ( او موثوق منها )
، رمز f اختصاراً لكلمة false اى مزيف او ( كاذب )
القضايا المنطقية لا تخرج عن هذين المعنيين t او f
, وفى بعض المناهج تكتب رمز الصدق تعبر عنه بالرقم (1)
ورمز الكذب تعبر عنه بالرقم (0) .. على اى حال اختر ما يحلو لك .
ملاحظات : 1) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من قضيتين بسيطتين = 4
2) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة = 8 ( جربها بنفسك تصل )
3) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من اربع قضايا بسيطة = 16
بإختصار : عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من عدد (n) من القضايا = 2ⁿ
مثال1) كون جدول الصواب والخطأ للقضية P⋀Q
لاحظ معى الآتى :-
هذه قضية مركبة تتكون من قضيتين اذاً عدد احتمالاتها = 2^2 = 4
الإحتمالات هى : (( سأضع مكان t = 1 ، f = 0 نظراً لتداخل الرموز هنا فى محرر الموقع ))
الإحتمالات هى : {(1 ، 1 ) ، (1 ، 0 ) ( 0 ، 1 ) ، (0 ، 0 )} نقوم بترتيبهم فى جدول :-
P Q P⋀Q
1 1
0 0
0
طبعاً مش هكمل المثال لكى اوضح لك ان الرموز الاتينية مع الرموز العربية
تحدث مشاكل هنا فى الموقع ..
كما طلبت الشرح بالرموز الاتينية .. لكن انصحك اهم حاجة الفهم .. ولا يهم الرموز ... الرموز الرياضية رموز اعتباطية ليس لها معنى من الأساس سوى انها تعبر عن قضية معينة .. مثال : اكتب x ولا اكتب س ؟؟ اكتب اى حاجة لأن ليس لها معنى الاساس ... غير انها تعبر عن قضية معينة ... ارجو ان يكون كلامى واضح بالنسبة لك .. الآن نعتبر الآتى : -
وتابع معى الشرح فى الملحق القادم ..
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
تابعت معى المثال الآخير (سأضعه بالرموز العربية)
المثال : كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋀ص
س | ص | س⋀ص
1 1 1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
معنى الجدول : فى الأول وضعنا س = 1 ، ص = 1
معناها احتمال القضيتين صادقتين .. وهكذا ..
عندما جمعنا القضيتين معاً بالرمز ⋀ معناه (و)
متى تكون القضية المركبة بالرمز (⋀) صادقة ؟؟
فى حالة واحدة فقط وهى ان يكونوا صادقتين معاً
1 1 تعطى 1
غير ذلك فهى 0 .. والمعنى من هذا يوضح ان
اما تكون القضية ( المركبة ) كلها صادقة، غير ذلك
فهى لا تحتمل معنى الصدق، حتى ولو كانت احداهما
خطأ والأخرى صواب .. نكمل
مثال2) كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋁ص
س | ص | س⋁ص
1 1 1
1 0 1
1 1 0
0 0 0
وهكذا يتضح لدينا ان كلمة ( او ) صحيحة
فى جميع الحالات فيما عدا الحالة الأخيرة
بمعنى احتمال ان تكون القضية س صادقة او القضية ص صادقة ( صح )
احتمال تكون القضية س صادقة او ص كاذبة ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص صادقة ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص كاذبة ( خطأ )
هل تريد ان تعرف بمثال بسيط لماذا الأخيرة ( خاطئة ) ؟؟
مثال بسيط : اما العدد 5 ليس عدد اولى (او) العدد 2 ليس عدد زوجى
ما رأيك ؟؟ هل هذه القضية صحيحة ؟؟ طبعاً خطأ 100% .. تابع معى
مثال3) كون جدول الصواب والخطأ للقضية (س⋀ص) ⋁ ∽س
س | ص | (س⋀ص) | ∽س | (س⋀ص) ⋁ ∽س
1 1 1 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 1 1
0 0 0 1 1
عندما تجرب بنفسك عدة امثلة ربما تلاحظ التالى :
1) يجب مراعاة الدقة فى ترتيب القضايا المنطقية الجزئية
فى كل قضية مركبة ( هام جداً ) ، فمثلاً :
(س⋀ص) ⋁ ∽س ≠ س⋀ (ص ⋁ ∽س )
2) لذلك يجب مراعاة ترتيب الاقواس جيداً..
ماذا لو كانت القضية المركبة لا تحتوى على اقواس ؟؟
** 1- رابط النفي يتبع أول قضية بسيطة تتبعه
2- إن وجد رابطي الاتحاد و التقاطع في قضية ما فإننا نجري عملية التقاطع أولا ثم الاتحاد
3- إن استخدمت نفس أداة الربط في القضية أكثر من مرة فإننا نبدأ بتطبيق تلك الأدوات من اليسار إلى اليمين .
امثلة :
∼س⋀ص = (∼س)⋀ص
س⋁ص⋀ع = س⋁(ص⋀ع) لاحظ انها قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة .
∼س ⋁ ∼ص = (∼س)⋁(∼ص)
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
مثال4) كون جدول الصواب : س⋀ص ⋁ ∼ع
طبعاً هنا يجب مراعاة الدقة فى الترتيب، وكما اتفقنا نضع اقواس على
القضية المركبة التى تحتوى على رمز ⋀ اولاً : فيصبح الآتى : -
س⋀ص ⋁ ∼ع = (س⋀ص) ⋁ ∼ع
ثم لاحظ انها قضية مركبة تحتوى على ثلاث قضايا بسيطة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ الممكنة = (2)³ = 8
س | ص | ع | س⋀ص | ∼ع | (س⋀ص) ⋁ ∼ع
1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
::: تنبيه هام جداً : استعمل متصفح غير Internet explorer لأن بعض الرموز
الرياضية لا تظهر فيه بشكل جيد، واحياناً تظهر على شكل مربع ::: .. تابع
المثال : كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋀ص
س | ص | س⋀ص
1 1 1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
معنى الجدول : فى الأول وضعنا س = 1 ، ص = 1
معناها احتمال القضيتين صادقتين .. وهكذا ..
عندما جمعنا القضيتين معاً بالرمز ⋀ معناه (و)
متى تكون القضية المركبة بالرمز (⋀) صادقة ؟؟
فى حالة واحدة فقط وهى ان يكونوا صادقتين معاً
1 1 تعطى 1
غير ذلك فهى 0 .. والمعنى من هذا يوضح ان
اما تكون القضية ( المركبة ) كلها صادقة، غير ذلك
فهى لا تحتمل معنى الصدق، حتى ولو كانت احداهما
خطأ والأخرى صواب .. نكمل
مثال2) كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋁ص
س | ص | س⋁ص
1 1 1
1 0 1
1 1 0
0 0 0
وهكذا يتضح لدينا ان كلمة ( او ) صحيحة
فى جميع الحالات فيما عدا الحالة الأخيرة
بمعنى احتمال ان تكون القضية س صادقة او القضية ص صادقة ( صح )
احتمال تكون القضية س صادقة او ص كاذبة ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص صادقة ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص كاذبة ( خطأ )
هل تريد ان تعرف بمثال بسيط لماذا الأخيرة ( خاطئة ) ؟؟
مثال بسيط : اما العدد 5 ليس عدد اولى (او) العدد 2 ليس عدد زوجى
ما رأيك ؟؟ هل هذه القضية صحيحة ؟؟ طبعاً خطأ 100% .. تابع معى
مثال3) كون جدول الصواب والخطأ للقضية (س⋀ص) ⋁ ∽س
س | ص | (س⋀ص) | ∽س | (س⋀ص) ⋁ ∽س
1 1 1 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 1 1
0 0 0 1 1
عندما تجرب بنفسك عدة امثلة ربما تلاحظ التالى :
1) يجب مراعاة الدقة فى ترتيب القضايا المنطقية الجزئية
فى كل قضية مركبة ( هام جداً ) ، فمثلاً :
(س⋀ص) ⋁ ∽س ≠ س⋀ (ص ⋁ ∽س )
2) لذلك يجب مراعاة ترتيب الاقواس جيداً..
ماذا لو كانت القضية المركبة لا تحتوى على اقواس ؟؟
** 1- رابط النفي يتبع أول قضية بسيطة تتبعه
2- إن وجد رابطي الاتحاد و التقاطع في قضية ما فإننا نجري عملية التقاطع أولا ثم الاتحاد
3- إن استخدمت نفس أداة الربط في القضية أكثر من مرة فإننا نبدأ بتطبيق تلك الأدوات من اليسار إلى اليمين .
امثلة :
∼س⋀ص = (∼س)⋀ص
س⋁ص⋀ع = س⋁(ص⋀ع) لاحظ انها قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة .
∼س ⋁ ∼ص = (∼س)⋁(∼ص)
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
مثال4) كون جدول الصواب : س⋀ص ⋁ ∼ع
طبعاً هنا يجب مراعاة الدقة فى الترتيب، وكما اتفقنا نضع اقواس على
القضية المركبة التى تحتوى على رمز ⋀ اولاً : فيصبح الآتى : -
س⋀ص ⋁ ∼ع = (س⋀ص) ⋁ ∼ع
ثم لاحظ انها قضية مركبة تحتوى على ثلاث قضايا بسيطة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ الممكنة = (2)³ = 8
س | ص | ع | س⋀ص | ∼ع | (س⋀ص) ⋁ ∼ع
1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
::: تنبيه هام جداً : استعمل متصفح غير Internet explorer لأن بعض الرموز
الرياضية لا تظهر فيه بشكل جيد، واحياناً تظهر على شكل مربع ::: .. تابع
▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
ننتقل الى الصيغ المتكافئة :-
يقال لكل قضيتين مختلفتين فى الشكل ان صيغتهما متكافئتان اذاً كانت قيم
الصواب والخطأ فى كل جدول منهم متماثلتان تماماً .
مثال1) ∼(∼س) = س لماذا ؟؟ ( طبعاً هنا وضح جداً ان نفى النفى اثبات )
ولتوضيح ذلك نصنع الجدول الآتى : لاحظ ايضاً انها قضية واحدة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ = 2^1 = 2 فقط
س | ∼س | ∼(∼س)
1 0 1
0 1 0
لاحظ اول عامود ، وآخر عامود .. اذاً نقول ان صيغة القضية ∼(∼س) تكافىء الصيغة س
مثال2) اثبت ان صيغتى القضيتين س ، (س⋀ص)⋁س متكافئتان .
الحـل
بما ان القضية ( المركبة ) تحتوى على س،ص فقط ( قضيتين يعنى ) اذاً
عدد احتمالات الصواب والخطأ فيهما = 2^2 = 4
س | ص | (س⋀ص) | (س⋀ص)⋁س
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0
هل لاحظت ان اول عامود مماثل تماماً لآخر عامود ؟؟
الإستنتاج : صيغة القضية س تكافىء صيغة القضية (س⋀ص)⋁س
ملاحظة : لا ندرس علاقات التكافؤ للقضايا نفسها لأنه معروف ان كل
قضية تكافىء تعبر عن نفسها فقط، لذلك ندرس التكافؤ للقضايا المختلفة .
ص07:42 - 11/10/11
يقال لكل قضيتين مختلفتين فى الشكل ان صيغتهما متكافئتان اذاً كانت قيم
الصواب والخطأ فى كل جدول منهم متماثلتان تماماً .
مثال1) ∼(∼س) = س لماذا ؟؟ ( طبعاً هنا وضح جداً ان نفى النفى اثبات )
ولتوضيح ذلك نصنع الجدول الآتى : لاحظ ايضاً انها قضية واحدة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ = 2^1 = 2 فقط
س | ∼س | ∼(∼س)
1 0 1
0 1 0
لاحظ اول عامود ، وآخر عامود .. اذاً نقول ان صيغة القضية ∼(∼س) تكافىء الصيغة س
مثال2) اثبت ان صيغتى القضيتين س ، (س⋀ص)⋁س متكافئتان .
الحـل
بما ان القضية ( المركبة ) تحتوى على س،ص فقط ( قضيتين يعنى ) اذاً
عدد احتمالات الصواب والخطأ فيهما = 2^2 = 4
س | ص | (س⋀ص) | (س⋀ص)⋁س
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0
هل لاحظت ان اول عامود مماثل تماماً لآخر عامود ؟؟
الإستنتاج : صيغة القضية س تكافىء صيغة القضية (س⋀ص)⋁س
ملاحظة : لا ندرس علاقات التكافؤ للقضايا نفسها لأنه معروف ان كل
قضية تكافىء تعبر عن نفسها فقط، لذلك ندرس التكافؤ للقضايا المختلفة .
ص07:42 - 11/10/11
