إظهار الرسائل ذات التسميات مواضيع متنوعة. إظهار كافة الرسائل
إظهار الرسائل ذات التسميات مواضيع متنوعة. إظهار كافة الرسائل
14 كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟
الأربعاء، 30 أكتوبر 2013
التسميات:
مواضيع متنوعة
سأقترح عليك عدة نقاط إذا وجدت نفسك قادراً عل فهمها أو
تجاوزها فستكون مؤهل لأن تكون الرياضيات تخصصك ومادة محببة لك ، وهنا أعني
أن توفر من وقتك ومجهودك لتعلم المزيد والمزيد في الرياضيات ولا تمل أبداً،
بل تجد متعة كبيرة في تعلمك إياها. وإن لم تجد ذلك فأعتقد أنه سيكون لديك
مواهب في مجالات أخرى وستكون مبدع فيها أكثر من الرياضيات .. فأنا ركزت
على الرياضيات أكثر لأنها تتفق مع طريقة تفكيري وهي إلى حد ما تناسبني،
ولذلك فقد لا تناسبك بما فيه الكفاية.. ربما أنت مبدع في مجال آخر .. على
كل الحال النقاط الرئيسية هي :
===========================
• فكر بطريقة غير إعتيادية.
▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب :) هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !
▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .
▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.
▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.
▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.
▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.
▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.
▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.
▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!
▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.
▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!
▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.
▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.
أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.
===========================
• فكر بطريقة غير إعتيادية.
▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب :) هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !
▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .
▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.
▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.
▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.
▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.
▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.
▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.
▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!
▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.
▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!
▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.
▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.
أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.
5 ما هو إثبات صيغة كاردان، وكيفية وضع الصيغة في صورة مبسطة ؟
السبت، 20 أبريل 2013
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
يمكن ذكر الخطوات سريعاً، مع العلم أنه يفضل أن تكون ملم بقوانين الأعداد المركبة الأساسية،
مثل الجذور التكعيبية للواحد الصحيح وهي 1 ، أوميجا ، أوميجا² وإذا لم تكن تعرفها يمكنك
البحث عنها في الإنترنت، لأن هذا يساعدنا في حل مسائل من هذا النوع z³ = a .
مثل الجذور التكعيبية للواحد الصحيح وهي 1 ، أوميجا ، أوميجا² وإذا لم تكن تعرفها يمكنك
البحث عنها في الإنترنت، لأن هذا يساعدنا في حل مسائل من هذا النوع z³ = a .
الصيغة العامة للمعادلة التكعيبية هي : $ax^3+bx^2+cx+d=0$
وبفرض x = y + t .
هكذا : $a(y+t)^3+b(y+t)^2+c(y+t)+d=0$
ولكن حتى أختصر عليك الأمور .. وُجد أنه (بعد التعويض) أن القيمة المناسبة
لـ t هي : $\frac{-b}{3a}$ والتي تجعل معامل y² صفراً ..
أي نضع : $x = y - \frac{b}{3a}$
وبعد التعويض وتنظيم الحدود وتنسيقها ينشأ لدينا المعادلة الآتية في y .
$$y^3+ky+m=0$$
حيث : $k = \frac{-b}{3} + \frac{c}{a}$ و $m = \frac{2b^3}{27a} - \frac{bc}{3} + \frac{d}{a}$
وفي حقيقة الأمر إذا أردت أن تحصل على صيغة كاردان في صورة مبسطة، فلا
يهمنا قيمة كلاً من k , m بدلالة معاملات المعادلة التكعيبية حيث أننا علمنا هكذا
أن k هي معامل y وأن m هي الحد المطلق، وهذا - طبعاً - بعد التعويض عن x = y - b/3a .
والآن نكرر الخطوة سابقة الذكر مرة ثانية ...
بوضع y = f + g
$$(f + g)^3 + k(f + g) + m = 0$$
وبعد فكك إياه (وتجميع الحدود المشابهة نحصل على الآتي)
$$f^3 + g^3 + (3fg + k)(f + g) + m = 0$$
ثم نضع شرطاً للتبسيط وهو أن نضع : $(3fg + k) = 0$
فكأننا نريد أن نقول y = f + g والتي تجعل : $(3fg + k) = 0$
ومنها نحصل على : $fg = \frac{-k}{3}$ بتكعيب الطرفين : $f^3g^3 = \frac{-k^3}{27}$
وقد قمنا بتكعيب الطرفين حتى يسهل حلها مع المعادلة الثانية التي
نتجت بعد وضعنا $(3fg + k) = 0$ وهي$f^3 + g^3 = -m $
وبعدها يتكون لدينا هذا النظام في f³ , g³ .
$$f^3 + g^3 = -m \qquad \Longrightarrow (1)$$
$$f^3g^3 = \frac{-k^3}{27} \qquad \Longrightarrow (2) $$
يمكنك حلها بطريقة التعويض، أو بأن تفرض متغيراً z
(ونكون المعادلة التربيعية بمعلومية مجموع الجذرين وحاصل ضربهما)
$$z^2 + mz - \frac{k^3}{27} = 0$$
الحل يكون بالقانون العام للمعادلة التربيعية ... نوجد المميز أولاً لأنه يعتبر
مرحلة هامة في خطوات الحل، والتي سنحدد منها ما هو عدد الحلول الحقيقية
والمركبة في حالة كان المميز أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر أو يساوي
صفراً .. نعطى رمزاً للمميز . وليكن $\Delta$ .
$$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$
وللتذكرة مرة أخرى m هي الحد المطلق ، k هي معامل y .
ومن هنا فإن : $g^3 = \frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2}$ and $f^3 = \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2}$
ومنها : $g = \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$ and $f = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$
ولكن هذا مجرد حل أول فقط، فكما تعلم أن معادلة من هذا النوع z³ = a
لها ثلاث حلول وهي (حسب ما ذكرنها) : $\sqrt[3]{a}$ و $\omega \sqrt[3]{a}$ و $\omega^2 \sqrt[3]{a}$ . حيث :
$$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i}$$
$$\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{-2\pi}{3}i}$$
من هنا فإن :
حلول f هي : $\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $
حلول g هي : $\frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $
ولكن هذه الحلول تنتج لنا 9 حلول (مع إهمال الترتيب كزوج مرتب) ممكنة
، ولكن إكتشفنا بعد ذلك أن هناك ثلاثة منهم فقط يحقق المعادلة (1) ، (2) معاً .
وكانت هذه الحلول هي كالتالي :
$$f \qquad \qquad , \qquad \qquad g$$
$$\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega^2\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
ولكن y = f + g و x = y - b/3a ومن هنا نجد أن حلول x هي :
$$x_1 = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_2 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_3 = \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
والذي جعلني أفكر في التبسيط بهذه طريقة المنظر الذي هالني من كبر
القانون (على ويكيبيديا) بشكل مفرط فيه جداً (انظر هنا - دالة تكعيبية) .
ولهذا ادعو كل من يهمه الأمر أن يجرب هذه الصيغة مرات متعددة في
حل معادلات تكعيبية متنوعة كي يتثبت بنفسه من صحته .
{عدد و طبيعة الحلول تبعاً لقيمة المميز}
بعد تحويل المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الصورة : $y^3 + ky + m = 0$
حيث المميز : $$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$
{في حالة كان المميز > 0}
• حل حقيقي، وهو $x_1$ + حلان مركبان .
{في حالة كان المميز < 0}
• جميع الحلول حقيقية (بدون تكرار) .
{في حالة كان المميز = 0}
• جميع الحلول حقيقية (مع تكرار 2 منهم على الأقل، إن لم يكن جميعهم) .
نحصل على حلين مكررين فقط عندما :$m^2 = \frac{-k^3}{27}$ حيث : $x_2 = x_3 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m} + \omega^2 \sqrt[3]{-m}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$
نحصل على الثلاثة حلول مكررة عندما : $m = k = 0$ حيث : $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{-b}{3a}$
والصيغة لديك ويمكنك التأكد من ذلك بنفسك ...
وفي الحقيقة إذا تأكد لنا في معادلة تكعيبية أن : $m = k = 0$
فهذا يعني أننا نتعامل مع منشور ذات الحدين ذي الأس 3 ، ولذا
يمكن تحويل المنشور إلى الصيغة : $(x + \frac{b}{3a})^3 = 0$
{قوانين مساعدة}
• $Z = a + ib = |z| [\cos(t)+i\sin(t)] = |z| e^{it}$
• $[e^{it}]^r + [e^{-it}]^r \,\, \in \,\, \mathbb{R}$
• de Moivre's formula
0 ما هي الطريقة العامة لمقارنة دالتين على فترات جزئية محددة ؟
الثلاثاء، 16 أبريل 2013
التسميات:
التفاضل والتكامل,
مواضيع متنوعة
مثلاً :f(x)=x-x^0.5 معرفة على من الصفر إلى المالانهاية
الدالة g(x)=(x^0.5)-1 معرفة من الصفر إلى المالانهاية
وf أكبر او تساوي g أياً كانت x من المجال السابق
الدالة g(x)=(x^0.5)-1 معرفة من الصفر إلى المالانهاية
وf أكبر او تساوي g أياً كانت x من المجال السابق
نتبع الخطوات الآتية (في عجالة بدون تفاصيل) .
1- نوجد المجال المشترك بين الدلتين .
2- نوجد نقاط تقاطع الدالتين .
3- نأتي على أقصى يسار المجال المشترك، ونقسمه إلى فترات جزئية حسب نقاط التقاطع .. ثم نختبر كل فترة من هذه الفترات، بأن نعوض بقيمة تنتمى اليها (شريطة ألا تكون هذه القيمة عبارة عن نقطة تقاطع الدالتين)، فإذا كانت القيمة الأكبر من نصيب أحدى الدالتين، فإن الدالة ذات النصيب الأكبر تكون أكبر من الدالة الأخرى في هذه الفترة، وحالة المساوة تتحق إذا كانت إحدى طرفي الفترة نقطة تعبر عن تقاطع الدالتين .. ونفس الشيء إذا حدث العكس .
{نأخذ المثال الذي طرحته أنت}
سأكتبه بالعربي ...
د(س) = س - جذر(س) ، ق(س) = جذر(س) - 1
كلاً من مجال الدالة الأولى والثانية معرفة على الفترة ]∞ , 0] , ولذلك يكون هو نفسه المجال المشترك بين الدالتين .
ثانياً : نوجد نقاط التقاطع للدالتين بأن نضع د(س) = ق(س) ، فنجد أنها تكون عندما س = 1 .
وبناء على هذا يتم تقسيم المجال المشترك إلى الفترات الجزئية الآتية :
الفترة الأولى : [1 , 0]
الفترة الثانية : [∞ , 1]
الخطوة والأخيرة : (وهي التعويض في كل فترة في كلتا الدالتين من أجل المقارنة ..) .
في الفترة الأولى نأخذ 0.5 (على سبيل المثال فقط حيث أنه عدد مناسب وفي الوقت ينتمي للفترة) .. ونعوض به في كلتا الدالتين .. فنجد أن الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر ، ومن هنا فإن د > ق في الفترة [1 , 0] .. ونفس الشيء نصنعه مع الفترتين المتبقيتين، فنجد أنه دائماً الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر (فيما عدا القيمة 1 طبعاً ، فهما متساويان عندها) .
النتيجة هي : د(س) ≥ ق(س)
1- نوجد المجال المشترك بين الدلتين .
2- نوجد نقاط تقاطع الدالتين .
3- نأتي على أقصى يسار المجال المشترك، ونقسمه إلى فترات جزئية حسب نقاط التقاطع .. ثم نختبر كل فترة من هذه الفترات، بأن نعوض بقيمة تنتمى اليها (شريطة ألا تكون هذه القيمة عبارة عن نقطة تقاطع الدالتين)، فإذا كانت القيمة الأكبر من نصيب أحدى الدالتين، فإن الدالة ذات النصيب الأكبر تكون أكبر من الدالة الأخرى في هذه الفترة، وحالة المساوة تتحق إذا كانت إحدى طرفي الفترة نقطة تعبر عن تقاطع الدالتين .. ونفس الشيء إذا حدث العكس .
{نأخذ المثال الذي طرحته أنت}
سأكتبه بالعربي ...
د(س) = س - جذر(س) ، ق(س) = جذر(س) - 1
كلاً من مجال الدالة الأولى والثانية معرفة على الفترة ]∞ , 0] , ولذلك يكون هو نفسه المجال المشترك بين الدالتين .
ثانياً : نوجد نقاط التقاطع للدالتين بأن نضع د(س) = ق(س) ، فنجد أنها تكون عندما س = 1 .
وبناء على هذا يتم تقسيم المجال المشترك إلى الفترات الجزئية الآتية :
الفترة الأولى : [1 , 0]
الفترة الثانية : [∞ , 1]
الخطوة والأخيرة : (وهي التعويض في كل فترة في كلتا الدالتين من أجل المقارنة ..) .
في الفترة الأولى نأخذ 0.5 (على سبيل المثال فقط حيث أنه عدد مناسب وفي الوقت ينتمي للفترة) .. ونعوض به في كلتا الدالتين .. فنجد أن الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر ، ومن هنا فإن د > ق في الفترة [1 , 0] .. ونفس الشيء نصنعه مع الفترتين المتبقيتين، فنجد أنه دائماً الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر (فيما عدا القيمة 1 طبعاً ، فهما متساويان عندها) .
النتيجة هي : د(س) ≥ ق(س)
==========================================================
مثال آخر (لتأكيد المعلومة فقط)
ليكن لدينا : f(x) = e^x , g(x) = x
المجال المشترك بينهما هو IR (جميع الأعداد الحقيقة) .. ولا توجد نقاط تقاطع ، وبناء على هذا ينشأ لدينا فترة وحيدة وهي [∞ , -∞] أو الفترة IR .. إختر أى عدد (حقيقي) وليكن الصفر .
f(0) = 1 , g(0) = 0
النتيجة : f(x) > g(x) or e^x > x
لجميع قيم x الحقيقية .
ليكن لدينا : f(x) = e^x , g(x) = x
المجال المشترك بينهما هو IR (جميع الأعداد الحقيقة) .. ولا توجد نقاط تقاطع ، وبناء على هذا ينشأ لدينا فترة وحيدة وهي [∞ , -∞] أو الفترة IR .. إختر أى عدد (حقيقي) وليكن الصفر .
f(0) = 1 , g(0) = 0
النتيجة : f(x) > g(x) or e^x > x
لجميع قيم x الحقيقية .
7 كيف يبدأ الشخص بالتفكير فى ايجاد حل لمساله رياضياتية ؟
الاثنين، 4 فبراير 2013
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
سأتناول بعض الخطوات بشكل سريع ولك أيضاً أن تضيف أو تعدل عليها وقتما شئت .
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
1) أن تكون مؤهل نفسياً لذلك :)
قد تكون من بارع جداً فى الرياضيات ولكن نفسيتك
او حالتك المزاجية غير قابلة لمشاهدة أى مسألة رياضياتية الآن فكيف بقرآة كتاب مثلاً ؟ اظن الأمر
سيكون صعب وشاق، ولذلك اذا لم يسمح مزاجك
بمناقشة مواضيع او حل مشكلات الرياضيات فيفضل تأجيل ذلك الى حينه عندما يكون الذهن صافى خالى من الشوائب والكروستول ^^ .
مثال : كنت فى طريقى لإثبات طريقة عمل المحددات (طبيعتها) فوجدت أن الأمر متعلق بالجبر الخطى ودراسة المتجهات، وفضاء المتجهات وما الى ذلك من أمور (التأهيل الرياضياتى) ثم وجدت اننى وقتها كنت غير مؤهل نفسياً للبرهنة على ذلك، ثم وفى لحفظة ما عندما كنت فى عملى جائتنى فكرة بعيدة تماماً عن إستعمال المتجهات استطعت أن اتوصل الى آلية عمل المحددات من الدرجة الثانية والثالثة وكنت فى طريقى للرابعة ولكنى وجدت الأمر ممل لا سيما ويمكن إعتماد البرهان بالإستقراء الرياضياتى فى هذه الحالة ولكن أيضاً الأمر سيطول، وأخذت منى هذه الإجراءات حوالى أكثر من ساعة، ولكنى لم اندم مطلقاً على إضاعة هذا الوقت لأنى إستنتجت شىء مفيدة وطريقة ربما جديدة وبسيطة فى خطواتها لكن ربما تبدو من الوهلة الأولى شىء معقد، وقد توصلت الى ذلك من مجرد التحسن وإستعداد الحالة النفسية لذلك .
2) مؤهل رياضياتياً .
أى يتولد لديك حب المادة وان تحولها الى آداة تسلية
ولا تعقد على نفسك الأمور فالأمر كله عبارة عن نشاط ذهنى يحث على التفكر وإستعمال العقل والبعد قدر المستطاع عن الحفظ، ومحاولة إستعمال الحاسة النقدية والإبداعية أيضاً .
مؤهل رياضياتياً ان تكون ملم - على الأقل - بمبادىء الرياضيات البسيطة (أو الحساب) وهذا شىء لا يستهان به ودراسته لهذه المرحلة - الإبتدائية - جعلت منه شىء سهل - ظاهرياً - عند كثير من الناس، والأمر ليس كذلك، فيوجد من يعرف طريقة الضرب المطول لكنه لا يعرف كيف يستنتجها ولن اخفى عليك عندما خطر ذلك فى بالى من فترة ادركت اننى قبل ذلك لم اكن اعرف الضرب المطول على حقيقته ! كذلك الأمر بالنسبة للقسمة المطولة، فلماذا نعتمد على الحفظ دائماً فى مثل هذه المسائل الحساسة جداً فى الرياضيات والتى دعت الى ما يسمى الآن فى الرياضيات الحديثة بـ " بالبنى الجبرية " ؟
مثال آخر : نجد من يوقفه أثناء حله مسألة ما جدول الضرب فى حين انه طالب فى الثانوية بل ربما فى المرحلة الجامعية، وهذا شىء غير مستحسن فى الرياضيات بل مرفوض تماماً .. لا تتخذ خطوة الى الأمام فى الرياضيات وانت لم تحسن الأساسيات وربما حفظتها عن ظهر قلب ولم تفهم كيف جاءت وما الحاجة التى دعت اليها .
3) ضع أكبر قدر ممكن من الإحتمالات عند الحل لأنه يمكن أن يكون لكل مسألة أكثر من طريقة للحل، وربما تجد طريقة أبسط من الأخرى وهذا يدعونا لأن ندون ملاحظتنا سواء من المعطيات (المقدمات) أو حتى من خلال النسق الرياضياتى ككل .
ربما أيضاً تكتشف من الطرف المختلفة للحل أفكار أخرى جديدة قيمة تفيدك فى حل مشكلات رياضياتية أخرى وهذا كله يصب فى مصلحة الرياضيات، وبناء العقلية الرياضياتية .
مثال : فى مرة من المرات تعسرت عليّ حل مسألة (لا أتذكرها) ولكن كانت عبارة عن ايجاد قيمة صيعة معينة من خلال نظام مكون من معادلتين (او ثلاث لا أتذكر) به ثلاث مجاهيل، واخذت منى وقتاً طويلا وإرهاقاً ثم عدت لأكتشف بعد ذلك أن الحل كان أسهل مما يمكن نظراً لمجرد انى لم اضع إحتمالات أخرى للحل او غير التى كنت أعمل عليها هذا من جهة، من جهة أخرى أيضاً كانت بعض الأفكار غائبة عندى، وهنا أننتقل الى العنصر الرابع .
4) دون كل ما تلاحظه وتستفيده عند اتخاذ إجراء حل مسألة ما فهذا مفيد جداً اولاً حتى لا تنساه ، ثانياً حتى تستمله فى حل مشكلات أو مسائل أخرى ربما تحوى بعض أفكار المسألة التى كنت بصددها، فتجمع هذه الأفكار لديك يعطيك يجعلك أكثر تميزاً فى الحل، ويسهل عليك الخطوات، وأيضاً توفر لديك الوقت، وربما تستنتج أشياء أخرى كات غائبة عنك .
إليك بعض الأمثلة التى كنت أدونها فى كراساتى قبل مشاركتى هنا فى الموقع، او قبل نشاطى الزائد فى الإنترنت بصفة عامة، وأعتقد مازلت أفعل ذلك الآن لكن على لـ notepad :)
هذه بعضاً من الملاحظات انقلها لك وهى قديمة منها ما هو مكوب على الورق بشكل منظم ومنها ما هو مكتوب على هوامش الصفحات، وكل ما أكتبه تم إستنتجته بنفسى أولاً، والا فما كتبته
ولك أن تتخيل كانت بعضاً من هذه الأشياء البسيطة توقفنى عن حل بعض المسائل .
• متوسط المثلث يقسمه الى مثلثين مستاويين فى المساحة .
• الوتر هو الضلع الأكبر فى المثلث القائم .
• إن الذى يريد أن يهدم نظرية مؤسسة لعلم، فإنه يريد هدم هذا العلم قبل هدمه للنظرية .
ملحوظة : كتبت - هذه الأخيرة - نظراً لتأثرى بالبعض الذين كانوا يريدون هدم نظرية فيثاغورث، واعتقد قد تطلعت على هذا الأمر فى الإنترنت فكما تعلم نظرية فيثاغورث تعتبر حجر أساس فى حساب المثلث، وعلوم أخرى ..
• النظرية قاعدة مبهمة لن تفهمها الى اذا رجعت الى أصلها . وبعد فهمك أياها لن يبقى الا التطبيق (التيكتيك) الذى بدوره يوصلك الى الهدف المنشود
• مجموع المقدمات الى مجموع التوالى يساوى احدى النسب .
• العمل اذا كان لا يصب فى صالح المسألة فلا تفعله (وكنت اعنى هنا بالعمل الهندسى أكثر)
• إذا رأيت المسألة (اى الهندسية) فيها شىء من النقص فأعلم انها بحاجة الى همل (إضافى) .
• فى المثلث القائم الزاوية فيه حاصل ضرب ضلعى القائمة تساوى حاصل ضرب الضلع فى العمود الساقط عليه .
• اذا كان الإرتفاع نازل على ضلع حامل لزاوية منفرجة وأخرى حادة يكون هذا الإرتفاع خارج الشكل . (مثال ذلك إحدى ارتفاعات المثلث المفنرج الزاوية)
• تبديل الطرفين أو الوسطين يعطى نسبة جديدة صحيحة (مثال : اذا كان س/ص = أ/ب فإن ب/ص = أ/س)
• ملحوظة مهمة جداً : الإرتفاع يجب أن يكون قائماً (عمودياً) على القاعدة . !!
• ملاحظة : الضلع القطر الأصغر فى المعين يساوى طول ضلعه .
(وتبين لى بعدها بقليل أن هذا غير صحيح) ومجرد
كتابتى لها لأبين لك أنه ليس عيب أن تقع فى الخطأ ولكن العيب هو الا تبحث عن الحق، فربما من هذه الأخطاء نتعلم لأنها تحثنا على التفكر (وأتحدث هنا عن الأخطاء الإيجابية، وليست الأخطاء السلبية الحمقاء) بل هناك أخطاء أخرى كنت قد دونتها منها ما هو متعلق بالشبه منحرف، وأشياء أخرى لم ادونها حتى لا أطيل ...
• دونت أهم قوانين مساحة المثلث حى لا أنساها . (مع تحققى منها بالبطع قبل كتابتها)
• اذا كان لدينا شلكين متساويين فى المساحة ويشتركان فى مضلع ما .. اذا حذفنا هذا المضلع يعطينا شكلين متساويين فى المساحة . ( واعتقد ان هذه القاعدة تستعمل بكثرة فى الهندسة)
• لكل مضلع فيه حالتين .. الحالة الأولى عبارة عن ضلعين متساويين، وكذلك الحالة الثانية ، وكلتا الحالتين بينهما مضلعات مشتركة ينتج عن ذلك معادلتين لكلاً منهما صفات مشتركة فى الأخرى . صــ 248 المسألة رقم 23 .
(لم أفهم ماذا كنت اقصد بهذه العبارة لكنى على كل حال سأنظ رفى الصفحة لاحقاً هههه :)
• مساحة المربع = طول الضلع×نفسه = ½ مربع طول قطره .
• لإكمال مربع معادلة من الدرجة الثانية نضيف الى طرفيها حد يساوى مربع نصف معامل س .
** سأكتفى بهذا
ربما تظهر للبعض على أنها بسيطة لكنها مفيدة للغاية لا سيما وان مبتدىء فى إتخاد الخطوات الجادة نحو تعلمك الرياضيات بطريقة سليمة، وكل هذه الأشياء تساعدك كثيراً عند إتخاذك إجراءات الحل .
5) وهذه كنت اريد أن أجعلها فى البداية : قبل البدء فى حل المشكلة تعرف على طبيعة المشكلة .
وهذا شىء بديهى فكيف ستقوم بحل المسألة او المشكلة وانت لم تتعرف على طبيعة المشكلة فقط الذهن مركز على المطلوب دون تفسيره، فقد قيل ان تفهمك للسؤال يعتبر نصف الإجابة، ولكن نجد كثيراً من ذهنه مشتت يظل ينظر الى المطلوب دون تفهمه اياه، فقد يكون المطلوب فى وقت الأوقات يحتاج الى قرآة كتاب بالكامل (هل تتخيل ذلك ؟) فالأمر ليس بهذه البساطة، واعطى مثال على ذلك : عندما اعطيك عدة مقدمات على شكل رباعى ما ، واطلب منك ان تثبت انه رباعى دائرى، هنا نجد من معلوماته ضحلة عن الرباعى الدائرى يظل ينظر الى جملة اثبت ان الشكل رباعى دائرى فى حين انه لا يعلم (او يعلم) ان تفكيره هذا سلبى فكان حرى به أن يأخذ الدرس بمحمل الجد ويحاول جاهداً فهمه عن طريق عمل بحث كامل (لا سيما على الإنترنت) عن خصائص الشكل الرباعى الدائرى، ولا اقول يقرأ فقط ويحفظ كالببغاء لأن هذا غير مطلوب فى الرياضيات، ولكن المقصود هو أن تقرأ وتحقق، وحاول ان تنتقد وتقول لماذا هذا هكذا، ولماذا تم الإستنتاج بهذه الطريقة ثم تبحث وتعرض وتحلل وتقارن، وليس الموضوع بهذه السهولة التى يتوقعها البعض، وعلى الرغم من ذلك الا ان هناك متعة عقلية جراء ذلك (يكفى ان تمرن ذهنك وتجعله رياضياتياً منطقياً ... الخ) حتى وان لم تصل الى المطلوب ربما تصل اليه بعد حين، فرما عند دراستك للشكل الرباعى الدائرى تجد نفسك بحاجة اولاً لدراسة بعض خصائص الدائرة، وعند دراستك لبعض خصائص الدائرة تجد انك بحاجة لدراسة (مثلاً) تشابه المثلثات .. وهكذا فالرياضيات كما تعلم علم تراكمى إتنتاجى بنائى ... الخ
6) لا تعقد على نفسك الأمور : هناك عدد من المسائل مشتركة فى أفكار معينة حاول ان تجمع هذه الأفكار لتكون كيان واحد .
فنجد مثلاً من يجعل حل تمرين مكون من عدة مسائل، فيتعامل مع المسائل (كلها !!!) على انها شىء منفصل على الرغم من كون جميع المسائل تتعلق - مثلاً - بدراسة معادلة الخط المستقيم .. فلماذا التعقيد ؟ .. درس معادلة الخط المستقيم يشرح فكرة تمثيل المعادلة جبرياً وهندسياً بحيث أن المعادلة غالباً ما تكون على هذا الشكل ص = م س + جـ حيث م = الميل
جـ = الجزء المقطوع من محور الصادات، تفهم من ذلك أنه قد يعطيك الميل ونقطة ويطلب منك المعادلة، او نقطتين ويطلب المعادلة، او نقطة والجزء المقطوع من محور الصادات ويطلب المعادلة
بل ربما يتوسع الموضوع لما هو أكثر من ذلك فنقول ان تنطوى تحت بنت الدوال ! فندرس خصائص الدوال ونتعرف عليها، بل ربما يأخذ الأمر منحى آخر كأن يتعلق بنظرية المجموعات ! وهكذا تكون نظرتنا موضعية شمولية .
7) وأخيراً يجب الا يتعارض مع البناء الرياضياتى السليم (إضغط هنا)
اتمنى ان اكون قد وفيت سؤالك حقه ... المصدر
0 ما هى الشروط الواجب توافرها فى البرهان لكي يكون صحيح ؟
التسميات:
المنطق الرياضى,
مواضيع متنوعة
هذه بعض إقتراحتى ولك ان تعدل عليها إن شئت، أو أن تضيف اليها .
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
1) يجب ان تتفق النتائج مع المقدمات .
ومعنى أن تتفق مع المقدمات اى لا يحدث تعارضاً
بحيث النتائج لا تنقض المقدمات والعكس أيضاً كأن
نجد فى المقدمة س > ص ثم نتحصل على نتيجة
ص < س هنا حدث تناقض ولا نقول ان هذا البرهان
يشكل نسق رياضياتى .
2) الشرط الثانى متعلق بالشرط الأول : ليس من الضرورى أن تكون المقدمات صحيحة .
والقصد بالمقدمات هنا كل ما هو معطى او مفترض وضعه من أجل البرهنة على شىء، ولكن كما أسلفنا وهو الحذر من وجود تعارض فى النسق الرياضياتى بصفة عامة .
3) الشرط الثالث أيضاً متعلق بـ (1) ، (2) : صحة البرهان متوقفة على صحة الفرضيات على وجه الخصوص، والمقدمات بوجه العموم .
مثال : عندما وضعنا س = ص وضربنا الطرفين فى س فحصلنا على : س² = س ص ثم قمنا بطرح ص² كم الطرفين : س² - ص² = س ص - ص²
بتحليل الطرفين : (س - ص) (س+ص) = ص(س - ص) بقسمة الطرفين على (س - ص) فنحصل على : س+ص = ص ولكن س = ص اذاً :
ص+ص=ص بقسمة الطرفين على ص نصل الى : 1 + 1 = 1 أى أن 2 = 1 ! كيف حصلنا على نتيجة خاطئة ؟ وعلى اى معيار حددنا أنها خاطئة على الرغم من عدم تعارضها مع المقدمة س = ص (ظاهرياً) ؟ ولكن اذا عدنا الى خطوة القسمة على س - ص نجد انها تساوى صفر لأن س = ص ومنها س - ص = 0 فنقول 2 = 1 اذا وفقط اذا القسمة على الصفر جائزة ! ولكننا سنجد
المنطق يقف سداً منيعاً لعدم الإستسلام لهذه القضية وهنا نضع الشرط المنطقى الرابع .
4) يجب ان لا يتعارض النسق الرياضياتى مع المنطق أو بالأخص مع مبادىء المنطق .
فإذا عدنا الى (3) نجد أننا نحينا تماماً القسمة على الصفر ولم نجيزها نظراً لأنها خالفت قاعدة أساسية من قواعد المنطق وهو أن أ هو أ او الشىء هو ذاته (مبدأ الهوية) وبناء على سلطان هذا المبدأ لم يكن بوسعنا أن نقسم على الصفر لأن النسق الرياضياتى فى هذه الحالة سيخالف قاعدة أساسية من قواعد المنطق .
5) الشرط الخامس مبنى على الشرط الرابع بالتحديد ، وهو يجب الا يتعارض النسق الرياضياتى مع المسلمات البديهية، والا فإما أن تقبل بالنسق وتنحى جانب البديهيات، وأكبر مثال على ذلك هو مسلمة إقليدس الخامسة، والتى يظن البعض انها ادحضت بالكامل (لا هذا غير صحيح) ولكن عدم إعتمادها أنشأ لنا ما يسمى بالهندسات اللاإقليدية
مسلمة التوازى او مسلمة اقليدس الخامسة :
"من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور."
وبقية المسلمة موجودة فى المرجع (1)
ولكن فى الهندسة الزائدية وتسمى أحياناً هندسة لوباتشفسكى نجد إعتماد المسلمة الآتية :
من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن
رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. مرجع (2)
اتمنى الا أكون نسيت شىء ...
المراجع
| [1] |
مسلمة التوازي(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [2] |
هندسة زائدية(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [3] |
برهان رياضياتى(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [4] |
مبرهنات عدم الاكتمال لغودل(الويب)
ar.wikipedia.org
|
| [5] |
en.wikipedia.org
|
3 لماذا نكتب مشتقة الدالة بهذه الطريقة دص = دَ(س) دس عند إجراء التكامل ؟
الأربعاء، 23 يناير 2013
التسميات:
التفاضل والتكامل,
مواضيع متنوعة
لدينا الدالة د(س) مشتقتها دَ(س)
ولدينا باستعمال الكتابة التفاضلية دص\دس=دَ(س)
لماذا عندما نكامل نضع الكتابة بهذا الشكل
دص=دَ(س).دس
؟
لماذا لانتركها بهذا الشكل
دص\دس=دَ(س) لنجد بعد المكاملة ص=د(س)
ولدينا باستعمال الكتابة التفاضلية دص\دس=دَ(س)
لماذا عندما نكامل نضع الكتابة بهذا الشكل
دص=دَ(س).دس
؟
لماذا لانتركها بهذا الشكل
دص\دس=دَ(س) لنجد بعد المكاملة ص=د(س)
هذا سؤال بسيط لكنه جيد .
دص معدل تغير ص
دَ(س) = ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
دس معدل تغير س
من خلال أن :
حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
فإننا نجد : دص = دَ(س) دس
بأخذ التكامل للطرفين : ∫دص = ∫دَ(س) دس
ومنها : ص = د(س)
وهنا لابد من وقفة .. ما الذى حدث هنا ؟
• الأساس هو تجميع أطوال دص المتناهية فى
الصغر والتى وجد فى الأساس أنها تساوى الدالة
نفسها .
لاحظ الشكل التالى :
| |
| |
| |
| |
مجرد تخيل والا فإن دص قيمة تؤول للصفر ..
هنا شىء مثير يحدث وهو أن مجموعة الأطوال
المتناثرة (|) تعطى العمود الذى على أقصى اليمين .
وهذا بالمثل ما حدث حيث أن دص متغيرة وهى
تغير التغيير الرأسى لميل الخط المستقيم عند
نقطة ما على الدالة .. ربما يكون كلام معقد
بعض الشىء - لا سيما أول مرة - لكن مع
التجربة والتحليل يتبين لك ذلك اذ أنك تحتاج
الى أن تفهم العلاقة التى تربط التكامل المحدد
بالمساحة الواقعة تحت منحنى الدالة .
نخلص من ذلك الى ان التكامل ما هو الا
مجموع معدلات تغير ص أو ما يسمى بالمجموع
دص اللانهائى ، او المتناهى فى الصغر، اى ان
التكامل عكس التفاضل تماماً .. فهو يعنى بتجميع
هذه الأجزاء المتناهية فى الصغر .
ثم أنصحك بدراسة مفهوم التطابق، والقرآة عن
طريقة الإستنزاف (على عدة مواقع منها الويكيبيديا)
اذا لم يكن ما كتبته مفهوماً، فيمكنك طلب
تفسير الغموض .
دص معدل تغير ص
دَ(س) = ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
دس معدل تغير س
من خلال أن :
حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
فإننا نجد : دص = دَ(س) دس
بأخذ التكامل للطرفين : ∫دص = ∫دَ(س) دس
ومنها : ص = د(س)
وهنا لابد من وقفة .. ما الذى حدث هنا ؟
• الأساس هو تجميع أطوال دص المتناهية فى
الصغر والتى وجد فى الأساس أنها تساوى الدالة
نفسها .
لاحظ الشكل التالى :
| |
| |
| |
| |
مجرد تخيل والا فإن دص قيمة تؤول للصفر ..
هنا شىء مثير يحدث وهو أن مجموعة الأطوال
المتناثرة (|) تعطى العمود الذى على أقصى اليمين .
وهذا بالمثل ما حدث حيث أن دص متغيرة وهى
تغير التغيير الرأسى لميل الخط المستقيم عند
نقطة ما على الدالة .. ربما يكون كلام معقد
بعض الشىء - لا سيما أول مرة - لكن مع
التجربة والتحليل يتبين لك ذلك اذ أنك تحتاج
الى أن تفهم العلاقة التى تربط التكامل المحدد
بالمساحة الواقعة تحت منحنى الدالة .
نخلص من ذلك الى ان التكامل ما هو الا
مجموع معدلات تغير ص أو ما يسمى بالمجموع
دص اللانهائى ، او المتناهى فى الصغر، اى ان
التكامل عكس التفاضل تماماً .. فهو يعنى بتجميع
هذه الأجزاء المتناهية فى الصغر .
ثم أنصحك بدراسة مفهوم التطابق، والقرآة عن
طريقة الإستنزاف (على عدة مواقع منها الويكيبيديا)
اذا لم يكن ما كتبته مفهوماً، فيمكنك طلب
تفسير الغموض .
2 سؤال فى الإحتمالات
الثلاثاء، 6 نوفمبر 2012
التسميات:
مواضيع متنوعة
ممكن حل السؤال هذا بالرياضيات ؟ ويفضل شرح فرق بين السحب مع اعادة وبدون اعادة وعشوائيا
صندوق يحوي 6 كرات سوداء و4 بيضاء نسحب 3 كرات احسب احتمال ان تكون السحب كرتين بيضاوين على الاقل، علماً بأن السحب على التتالي مع اعادة .
صندوق يحوي 6 كرات سوداء و4 بيضاء نسحب 3 كرات احسب احتمال ان تكون السحب كرتين بيضاوين على الاقل، علماً بأن السحب على التتالي مع اعادة .
سحب بالتتالى ==> تباديل
سحب آنياً ==> توافيق
سحب مع الإعادة ==> هو مفهوم آخر للتباديل ولكن بشكل موسع .
عدد الكرات = 6 + 4 = 10
لاحظ حتى يكون الحل المرتب انصحك ان تكتب
فضاء العينة، أو على الأقل حاول ان تتخيله ...
سحب كرتين مع مع الإعادة :
حتى اوضحك لك ما الذى يحدث .. نرمز للست
كرات سوداء من 1 الى 6 ، ونرمز للأربع كرات
بيضاء من 7 الى 10 ، فتتكون لدينا هذه المجموعة .
س = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}
نوجد أولاً فضاء العينة، وهى عبارة عن عدد طرق
سحب ثلاث كرات من عشرة .
عدد طرق فضاء العينة = ³10 = 1000
وهذا لأن كل عنصر من عناصر هذه المجموعة
يمكن اختياره بعشر طرق، ولما كانت التجربة
ثلاث مرات اذاً فعدد الطرق الممكنة للسحب
(او ما يسمى بفضاء العينة) = 10×10×10 = ³10
كرتين بيضاوتين على الأقل ، وهنا لابد من وقفة
بالمصرى (يعنى ايه ؟) يعنى ايه كرتين بيضاوتين على الأقل ؟؟؟
يعنى : اما ان يكون لدينا فى القوس الثلاثى المرتب
كرتين بيضاوتين، وكرة سوداء ... وإما ان تكون جميع
الكرات فى الثلاثى المرتب بيضاء .
لنحلل ما سبق سوياً ... (بالغة الرياضيات والمنطق)
نفرض أن الكرة السوداء س
وان الكرة البيضاء ض
بحيث س من 1 الى 6
اما ض من 7 الى 10
بمعنى آخر :
س لها 6 طرق للإختيار
ض لها 4 طرق للإختيار
من خلال ذلك نحلل ما سبق (بالغة الرياضيات والمنطق الرمزى)
الثلاثى المرتب الناتج عملية السحب سيتخذ هذه الأشكال
اذا ما أعطينا للترتيب أى أهمية ...
(ض ، ض ، س) ، (ض ، ض ، ض)
لنأخذ القوس الأول ونحلله تفصيلياً ...
(ض ، ض ، س) والمعنى كم ثلاثى مرتب على هذا الشكل ؟
للإجابة على هذا السؤال السهل : نقول بما أن عدد طرق
اختيار ض اربع طرق وعدد طرق اختيار س 6 طرق اذاً فعدد
طرق الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = 4 × 4 × 6 = 96
ولكن هذا ثلاثى مرتب، اى ان الترتيب فيه مهم، فيمكن إعادة
ترتيب العناصر أعلا فتكون :
(ض ، ض ، س) ، (ض ، س ، ض) ، (س ، ض ، ض)
وبهذا نخلص الى أن الثلاثى المرتب الذى يكون على
شكل هؤلاء = 3 × 96 = 288 .
نأخذ الثلاثى المرتب (ض ، ض ، ض)
وهذا أسهل ما يمكن لأن عدد طرق اختيار ض هو 4 .
اذاً جميع الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = ³4 = 64
فنقول ان عدد جميع طرق الإختيار = 288 + 64 = 352
352 44
وأخيراً فالإحتمال المطلوب = ـــــــــــــ = ــــــــــ = 0.352
1000 125
قيد المراجعة ...
سحب آنياً ==> توافيق
سحب مع الإعادة ==> هو مفهوم آخر للتباديل ولكن بشكل موسع .
عدد الكرات = 6 + 4 = 10
لاحظ حتى يكون الحل المرتب انصحك ان تكتب
فضاء العينة، أو على الأقل حاول ان تتخيله ...
سحب كرتين مع مع الإعادة :
حتى اوضحك لك ما الذى يحدث .. نرمز للست
كرات سوداء من 1 الى 6 ، ونرمز للأربع كرات
بيضاء من 7 الى 10 ، فتتكون لدينا هذه المجموعة .
س = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}
نوجد أولاً فضاء العينة، وهى عبارة عن عدد طرق
سحب ثلاث كرات من عشرة .
عدد طرق فضاء العينة = ³10 = 1000
وهذا لأن كل عنصر من عناصر هذه المجموعة
يمكن اختياره بعشر طرق، ولما كانت التجربة
ثلاث مرات اذاً فعدد الطرق الممكنة للسحب
(او ما يسمى بفضاء العينة) = 10×10×10 = ³10
كرتين بيضاوتين على الأقل ، وهنا لابد من وقفة
بالمصرى (يعنى ايه ؟) يعنى ايه كرتين بيضاوتين على الأقل ؟؟؟
يعنى : اما ان يكون لدينا فى القوس الثلاثى المرتب
كرتين بيضاوتين، وكرة سوداء ... وإما ان تكون جميع
الكرات فى الثلاثى المرتب بيضاء .
لنحلل ما سبق سوياً ... (بالغة الرياضيات والمنطق)
نفرض أن الكرة السوداء س
وان الكرة البيضاء ض
بحيث س من 1 الى 6
اما ض من 7 الى 10
بمعنى آخر :
س لها 6 طرق للإختيار
ض لها 4 طرق للإختيار
من خلال ذلك نحلل ما سبق (بالغة الرياضيات والمنطق الرمزى)
الثلاثى المرتب الناتج عملية السحب سيتخذ هذه الأشكال
اذا ما أعطينا للترتيب أى أهمية ...
(ض ، ض ، س) ، (ض ، ض ، ض)
لنأخذ القوس الأول ونحلله تفصيلياً ...
(ض ، ض ، س) والمعنى كم ثلاثى مرتب على هذا الشكل ؟
للإجابة على هذا السؤال السهل : نقول بما أن عدد طرق
اختيار ض اربع طرق وعدد طرق اختيار س 6 طرق اذاً فعدد
طرق الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = 4 × 4 × 6 = 96
ولكن هذا ثلاثى مرتب، اى ان الترتيب فيه مهم، فيمكن إعادة
ترتيب العناصر أعلا فتكون :
(ض ، ض ، س) ، (ض ، س ، ض) ، (س ، ض ، ض)
وبهذا نخلص الى أن الثلاثى المرتب الذى يكون على
شكل هؤلاء = 3 × 96 = 288 .
نأخذ الثلاثى المرتب (ض ، ض ، ض)
وهذا أسهل ما يمكن لأن عدد طرق اختيار ض هو 4 .
اذاً جميع الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = ³4 = 64
فنقول ان عدد جميع طرق الإختيار = 288 + 64 = 352
352 44
وأخيراً فالإحتمال المطلوب = ـــــــــــــ = ــــــــــ = 0.352
1000 125
قيد المراجعة ...
0 كيف نوجد الجذر التكعيبى لـكلاً من 2744 ، 512 ؟
الثلاثاء، 30 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
قم بالتحليل مباشرة ً ..
اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .
ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :
274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..
وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..
26 - 2(6) = 14 وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .
لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح، والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .
2744 ÷ 7 = 392
ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟
نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35 بالفعل يقبل ...
392 ÷ 7 = 56 ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7
وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .
اذاً : 2744 = ³7 × 8
ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..
فـ 8 = 2×2×2 = ³2
اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³
وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14
------------------------------------------------------
العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :
512 = 2^9 = (³2)³ = ³8
ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8
اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .
ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :
274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..
وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..
26 - 2(6) = 14 وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .
لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح، والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .
2744 ÷ 7 = 392
ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟
نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35 بالفعل يقبل ...
392 ÷ 7 = 56 ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7
وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .
اذاً : 2744 = ³7 × 8
ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..
فـ 8 = 2×2×2 = ³2
اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³
وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14
------------------------------------------------------
العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :
512 = 2^9 = (³2)³ = ³8
ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8
2 صندوق يحوي 12 تفاحة منها 4 تالفة اختير منها 3 تفاحات عشوائيا ما احتمال ان تكون الثلاث تفاحات سليمة ؟
الاثنين، 29 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
تحدد الإجابة بسحب طريقة السحب، فإذا كانت
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .
عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8
أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)
عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3
عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3
8ق3 56 14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
12ق3 220 55
ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)
نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)
8ل3 14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
12ل3 55
هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .
عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8
أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)
عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3
عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3
8ق3 56 14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
12ق3 220 55
ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)
نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)
8ل3 14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
12ل3 55
هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .
1 كيفية نشر الدالة مكعب ؟
السبت، 20 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
يجب ان تذكر نوع الدالة ...
فمثلاً ربما تقصد الآتى :
(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .
مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²
= س² + 2أس + أ²
الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)
= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)
وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .
= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²
والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً
مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو (1 + 2) أس² = 3أس² وهكذا ...
فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...
(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...
مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ
ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...
مثال آخر ...
(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)
+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)
فمثلاً ربما تقصد الآتى :
(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .
مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²
= س² + 2أس + أ²
الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)
= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)
وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .
= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²
والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً
مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو (1 + 2) أس² = 3أس² وهكذا ...
فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...
(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...
مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ
ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...
مثال آخر ...
(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)
+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)
10 كيف تتم عملية الضرب القياسى والضرب الإتجاهى ؟
الأربعاء، 17 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
سأكتب القوانين التى تعرفها أولاً .
ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :
أولاً : الضرب القياسى : ||أ|| ||ب|| جتاهـ
ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ فى اتجاه ع
حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..
الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)
فإن الضرب القياسى لهما هو :
أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....
مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64
اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)
فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :
أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁
بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين
((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))
اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)
نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)
الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :
س ص ع
أ₁ أ₂ أ₃
ب₁ ب₂ ب₃
= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]
لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..
والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ أ×ب ≠ ب×أ (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)
ولكن : أ×ب = - ب×أ
مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)
س ص ع
3 4 5
2 7 6
= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]
= -11س -8ص + 13ع
والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)
أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...
فلاش بسيط يوضح الضرب القياسى لمتجهين
فلاش بسيط يوضح الضرب الإتجاهى لمتجهين
ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :
أولاً : الضرب القياسى : ||أ|| ||ب|| جتاهـ
ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ فى اتجاه ع
حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..
الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)
فإن الضرب القياسى لهما هو :
أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....
مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64
اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)
فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :
أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁
بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين
((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))
اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)
نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)
الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :
س ص ع
أ₁ أ₂ أ₃
ب₁ ب₂ ب₃
= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]
لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..
والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ أ×ب ≠ ب×أ (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)
ولكن : أ×ب = - ب×أ
مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)
س ص ع
3 4 5
2 7 6
= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]
= -11س -8ص + 13ع
والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)
أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...
0 لماذا تم فرض وجود عدد تخيلى فى الرياضيات ؟
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
الأعداد المركبة تتكون من جزئين،
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .
دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .
ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .
وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .
e ≈ 2.718281828
ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1 كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .
♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟
• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .
الآن : x² = -1 ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين
x = i أو x = -i حيث i وحدة تخيليلة = جذر(-1)
فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .
كميات تخيلية
----------------
هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟
• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!
♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟
• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟
وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..
لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$
نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .
الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .
$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$
حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .
السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟
• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .
لدينا : $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$
بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$
ولكن $\cos(x)$ معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .
لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$
حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14
يمكن وضع المعادلة على الصورة :
$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1 ...
موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .
دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .
ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .
وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .
e ≈ 2.718281828
ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1 كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .
♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟
• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .
الآن : x² = -1 ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين
x = i أو x = -i حيث i وحدة تخيليلة = جذر(-1)
فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .
كميات تخيلية
----------------
هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟
• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!
♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟
• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟
وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..
لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$
نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .
الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .
$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$
حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .
السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟
• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .
لدينا : $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$
بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$
ولكن $\cos(x)$ معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .
لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$
حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14
يمكن وضع المعادلة على الصورة :
$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1 ...
موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)
0 كيث نثبت أن : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى ؟
الجمعة، 12 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
بعد نشر : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3) + 1
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
 |
| مثلث باسكال لدراسة عوامل ذات الحدين |
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
0 كيف نوجد الأعداد الناقصة التى تحقق هذا النظام ؟
الأربعاء، 12 سبتمبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
ما هي الارقام التي يجب ان نضعهم بالفراغ مع العلم انه يمكن ان استخدم الارقام من 1 الى 9 فقط.
8 - ..... + ..... = 4
+ - +
..... + ..... - ..... = 0
- + -
..... - ..... + 1 = 5
= = =
2 7 8
---------------------------------------------------
8 - ..... + ..... = 4
+ - +
..... + ..... - ..... = 0
- + -
..... - ..... + 1 = 5
= = =
2 7 8
---------------------------------------------------
نضع مكان هذه النقاط رموز معينة
8 - س + ص = 4
+ - +
ع + م - ن = 0
- + -
هـ - و + 1 = 5
= = =
2 7 8
فيتكون لدينا هذا النظام من المعادلات .
(بعد وضع المجاهيل فى طرف والأعداد فى طرف)
- س + ص = -4
ع + م - ن = 0
هـ - و = 4
ع - هـ = -6
س - م + و = 7
ص + ن = 9
----------------------------------
وبما أن جميع هذه المجاهيل هى أرقام من 1 الى 9
مما يعنى أنه بإمكاننا حل المعادلة الأولى على حدى .
- س + ص = -4 ===> ص = س - 4
والمطلوب هو ايجاد جميع الحلول س ، ص الصحيحة
المحصورة فى المجموعة {1 , 2 , 3 , .... ,9}
س = 5 عندما ص = 1
س = 6 عندما ص = 2
س = 7 عندما ص = 3
س = 8 عندما ص = 4
س = 9 عندما ص = 5
ولكى نعرف أى ً من هذه الحلول صحيحة ينبغى
أن ننتقل الى حل معادلة أخرى ... ولتكن :
ص + ن - 1 = 8 ===> ن = 9 - ص
ص = 1 عندما ن = 8
ص = 2 عندما ن = 7
ص = 3 عندما ن = 6
ص = 4 عندما ن = 5
ص = 5 عندما ن = 4
وبعدها يتكون لدينا الجدول الآتى مكونا ً لديناً
جميع الحلول الممكنة س ، ص ، ن (معاً)
س ص ن
5 1 8
6 2 7
7 3 6
8 4 5
9 5 4
وبالعودة الى النظام السابق :
(بجمع جميع معادلات النظام) فينتج لنا :
ص + ع = 5 ===> ع = 5 - ص
ص = 1 عندما ع = 4
ص = 2 عندما ع = 3
ص = 3 عندما ع = 2
ص = 4 عندما ع = 1
لاحظ لا يجوز التعويض بـ ص = 5
ليتكن لدينا الجدول التالى :
س ص ع ن
5 1 4 8
6 2 3 7
7 3 2 6
8 4 1 5
ننطلق الى المعادلة الثانية من النظام فيها :
ع + م - ن = 0 ===> م = ن - ع
ولن اعيد خطوات ذكرتها بنفس الفكرة،
المهم سيتغير شكل الجدول لدينا الى :-
س ص ع م ن
5 1 4 4 8
6 2 3 4 7
7 3 2 4 6
8 4 1 4 5
ننطلق الى المعادلة الرابعة :
ع - هـ = -6 ===> هـ = ع + 6
فيتشكل لدينا الجدول التالى ...
س ص ع م ن هـ
6 2 3 4 7 9
7 3 2 4 6 8
8 4 1 4 5 7
لاحظ تم شطب الصف الأول بأكمله
لأنه عند التعويض بـ ع = 4 ستكون
هـ = 10 وهذا مرفوض .
ننطلق الى المعادلة الثالثة من النظام ...
هـ - و = 4 ===> و = هـ - 4
فيتكون لدينا الجدول بشكله الأخير ...
س ص ع م ن هـ و
6 2 3 4 7 9 5
7 3 2 4 6 8 4
8 4 1 4 5 7 3
والمعنى ان هناك ثلاث حلول ممكنة تحل
السؤال الذى طلبه، وهذا شكل من الأشكال
بعد التعويض بالحل الأول فقط ...
8 − 6 + 2 = 4
+ − +
3 + 4 − 7 = 0
− + −
9 − 5 + 1 = 5
= = =
2 7 8
للمزيد اضغط هنا
0 اثبت انه اذا كان : اذا كان : أ > س > ب فإن 1/ب > س > 1/أ ؟
الاثنين، 10 سبتمبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
1 1 1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
ويمكن اثبات ذلك نقول :
بما أن : أ > س > ب
اذاً : أ - س ، س - ب كلاهم أكبر من الصفر
والآن نريد ان نبين أن :
1 1 1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
1 1
أولاً نتحقق من أن : ـــــــــــــ - ــــــــــــ > 0
ب س
نحسب حساب عادى جداً (نوحد المقامات ...)
1 1 س - ب
ـــــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
ب س ب س
ولكننا ذكرنا أن س - ب أكبر من الصفر ولهذا
يجب ان نتحقق ايضاً من ان المقام وهو ب س
أكبر من الصفر .
وبالفعل ب س أكبر من الصفر لماذا ؟
نقول : بما أن س - ب أكبر من الصفر اذاً
س > ب بضرب الطرفين فى ب
ب س > ب² ولكن نحن نعلم انه اذا كانت ب عدد حقيقى
ما خلا الصفر .
فإن التربيع دائماً يكون عدد موجب،
1 1
وبهذا نكون اثبتنا أن : ـــــــــــــــ - ـــــــــــــــــ > 0
ب س
وهكذا نكون اثبتنا الشق الأول من السؤال، والشق الثانى
يكون بنفس الطريقة بحيث نثبت أن :
1 1
ـــــــــــــــــ - ـــــــــــــــــ > 0
س أ
علماً أن لدينا علاقة تقول : أ - س > 0
وبعد اثبات الشق الثانى نتحقق من أنه :
اذا كان : أ > س > ب فإن
1 1 1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
طبعاً ما سبق صحيح فى حالة كان :
أ ، ب ، س تنتمى لـ ح - {0}
حيث لا يجوز القسمة الصفر .
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
ويمكن اثبات ذلك نقول :
بما أن : أ > س > ب
اذاً : أ - س ، س - ب كلاهم أكبر من الصفر
والآن نريد ان نبين أن :
1 1 1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
1 1
أولاً نتحقق من أن : ـــــــــــــ - ــــــــــــ > 0
ب س
نحسب حساب عادى جداً (نوحد المقامات ...)
1 1 س - ب
ـــــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
ب س ب س
ولكننا ذكرنا أن س - ب أكبر من الصفر ولهذا
يجب ان نتحقق ايضاً من ان المقام وهو ب س
أكبر من الصفر .
وبالفعل ب س أكبر من الصفر لماذا ؟
نقول : بما أن س - ب أكبر من الصفر اذاً
س > ب بضرب الطرفين فى ب
ب س > ب² ولكن نحن نعلم انه اذا كانت ب عدد حقيقى
ما خلا الصفر .
فإن التربيع دائماً يكون عدد موجب،
1 1
وبهذا نكون اثبتنا أن : ـــــــــــــــ - ـــــــــــــــــ > 0
ب س
وهكذا نكون اثبتنا الشق الأول من السؤال، والشق الثانى
يكون بنفس الطريقة بحيث نثبت أن :
1 1
ـــــــــــــــــ - ـــــــــــــــــ > 0
س أ
علماً أن لدينا علاقة تقول : أ - س > 0
وبعد اثبات الشق الثانى نتحقق من أنه :
اذا كان : أ > س > ب فإن
1 1 1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
ب س أ
طبعاً ما سبق صحيح فى حالة كان :
أ ، ب ، س تنتمى لـ ح - {0}
حيث لا يجوز القسمة الصفر .
4 ما السبب فى أن مشتقة مساحة الدائرة تعطى محيط الدائرة
الخميس، 30 أغسطس 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل,
مواضيع متنوعة
قانون مساحة الدائرة = ط×نق²
معدل تغير المساحة بالنسبة للقطر (د م \د نق) = 2×ط×نق وهو نفسة قانون محيط الدائرة
قانون حجم الكرة = 4\3 × ط × نق³
معدل تغير الحجم بالنسبة للقطر(د ح \د نق) = 4×ط×نق² وهو نفسة قانون مساحة سطح الكرة
قانون الحجم الفائق لما فوق الكرة = 1\2 ×ط^2×نق^4
معدل تغير الحجم الفائق بالنسبة للقطر(د ف \د نق) = 2×ط²×نق³ وهو نفسة قانون الحجم المحيط بالكرة الفائقة.
فما هي العلاقة؟
معدل تغير المساحة بالنسبة للقطر (د م \د نق) = 2×ط×نق وهو نفسة قانون محيط الدائرة
قانون حجم الكرة = 4\3 × ط × نق³
معدل تغير الحجم بالنسبة للقطر(د ح \د نق) = 4×ط×نق² وهو نفسة قانون مساحة سطح الكرة
قانون الحجم الفائق لما فوق الكرة = 1\2 ×ط^2×نق^4
معدل تغير الحجم الفائق بالنسبة للقطر(د ف \د نق) = 2×ط²×نق³ وهو نفسة قانون الحجم المحيط بالكرة الفائقة.
فما هي العلاقة؟
 |
| محاولة تخيل ما حدث (مجرد تخيل، والا فإن د نق تؤول للصفر) |
سأتناول شرح الدائرة ثم يكون من السهل استنتاج البقية .
ليكن لدينا دائرة نصف قطرها نق فتكون المساحة ط نق²
بعدها نضيف الى نصف القطر دنق والمعنى كأننا لم نضيف
شىء حيث دنق هو معدل تغير نصف قطر الدائرة وهو كما
تعلم كمية تؤول الى الصفر، بدورها ايضاً لا تؤثر كثيراً فى
مساحة الدائرة وكأن شىء لم يحدث، ولكن التفاضل يعترف
بهذه الكميات المتناهية فى الصغر ويصنع لها كل اعتبار .
الآن : محيط الدائرة = 2 ط نق
بعد احداث تغيير = 2 ط (نق + د نق) = 2ط نق + 2ط دنق
ما الذى حدث ؟ لقد حدث انه حدث تغيير بسيط جداً فى
نصف القطر، والذى بدوره قد صنع حلقة حول محيط الدائرة
ونحن الآن نريد ان نحسب مساحتها ..
مساحة هذه الحلقة = 2 ط (نق + د نق) × د نق
(طبعاً فعد فردها تعطيك شكل اشبه بالمستطيل)
معدل تغير مساحة الدائرة دم
الآن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
معدل تغير نصف قطرها دنق
2 ط (نق + د نق) × د نق
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د نق
= 2 ط (نق + د نق)
وبهذا يمكننا اهمال القيمة د نق حيث أنها قيمة مهملة
أصلاً وتؤول الى الصفر، متى يكون لها قيمة ؟؟ فى حالة
ضربها فى مالانهاية مثلاً او قسمتها على قيمة قريبة منها
ولهذا السبب نهمل د نق حيث انها ليست عامل مؤثر فى
هذه الحالة.
دم
وبناء عليه يصبح : ـــــــــــــــ = 2 ط نق
د نق
وهذا تفسيير هندسى مقبول من وجهة نظرى، بحيث يمكن
استنتاج نفس الشىء بالنسبة للكرة .
مرجع قد يُفيدك
---------------------------------------------------------------------------------------
.
بالنسبة للكرة فالموضوع مشابه لما حصل :
حجم الكرة = 4\3 ط نق³
حجم الكرة بعد الزيادة = 4\3 ط (نق + د نق)³
معدل تغير الحجم 4\3 ط (نق + د نق)³ - 4\3 ط نق³
ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
معدل تغير نق د نق
4\3 ط[3 (د نق) نق² + 3 (دنق)² نق + (د نق)³]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د نق
= 4\3 ط[3 نق² + 3(د نق) نق + (د نق)²]
والآن يمكنك تجاهل 3(د نق) نق + (د نق)² حيث أنها قيمة تؤول للصفر .
معدل تغير الحجم
وبناء عليه فإن : ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 4 ط نق²
معدل تغير نق
0 بين ان : س+1÷س)^2+ (ص+1÷ص)^2 ≥ 25\2
الثلاثاء، 28 أغسطس 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل,
الجبر,
مواضيع متنوعة
حيث س + ص = 1 ، وكلاً منهم أعداد موجبة .
مباشرة ً بإستعمال متباينة الوسط الحسابى :-
بما أن س ، ص أعداد حقيقية موجبة اذاً كلاً من
(س + 1/س)² ، (ص + 1/ص)² ايضاً اعداد
حقيقية موجبة ... اذاً
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)²
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ≥ جذر[(س + 1/س)²(ص + 1/ص)²]
2
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ 2(س+1÷س)(ص+1÷ص)
الآن نأخذ (س+1÷س)(ص+1÷ص)
ونضعه فى صورة مبسطة .. بتوحيد المقامات
س² + 1 ص² + 1
ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ =
س ص
(س² + 1) (ص² + 1)
-----------------------------
س ص
س²ص² + س² + ص² + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص
استخدم العلاقة س² + ص² = (س + ص)² - 2 س ص
= 1 - 2 س ص بالتعويض ..
س²ص² - 2 س ص + 1 + 1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص
بإكمال المربع ...
(س ص - 1)² + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــ ---> (1)
س ص
ولكن لدينا ايضاً :
س + ص
ـــــــــــــــــ ≥ جذر(س ص)
2
1
ـــــــــ ≥ جذر(س ص) بتربيع الطرفين ...
2
1
س ص ≤ ـــــــــ
4
وطالما ان س ص اقل من او تساوى ربع
اذاً فهى مازالت تُبقى على صحة العلاقة
2[(س ص - 1)² + 1]
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص
فى حالة تم التعويض مباشرة ً عن س ص = 1\4
وبعدها ينتج لك المطلوب .
25
(س+1÷س)²+ (ص+1÷ص)² ≥ ــــــــــ
2
وطبعاً ما صنعته كان محاولة للحل ...
اليك تكملة اجابتى الأخيرة، كل الذى ذكرته فيها كان سليماً
، وكذا ايضاً التعويض المباشرة عن س ص = 1\4 ولكن
النقص فى الإجابة هو اننى لم اذكر لماذا تم اختيار س ص = 1\4
ولم يتم اختيارها اقل من ذلك على الرغم من ان هذا مسموح ..
فى الخطوات الأخيرة ذكرت :-
2[(س ص - 1)² + 1]
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص
المطلوب هو ايجاد قيمة س ص التى تجعل :
2 [(س ص - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ اقل ما يمكن ..
س ص
شريطة س + ص = 1 (هذا شرط اساسى ولا ستتغير المسألة)
س + ص = 1 ---> ص = 1 - س بالتعويض ...
2[(س ص - 1)² + 1] 2[(س(1-س) - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص س(1 - س)
2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
س - س²
نشق الطرفين بالنسبة لـ س ...
2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1]
دَ(س) = 2×ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(س - س²)²
بمساواة البسط بصفر ..
2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1] = 0
لتهسيل الحساب ضع س - س² = م
ونضع 1 - 2س = ك
2م ك (م - 1) - ك (م - 1)² - ك = 0 بأخذ ك عامل مشترك ..
ك[2م(م - 1) - (م - 1)² - 1] = 0
اما ك = 1 - 2س = 0 ومنها س = ½
او : 2م(م - 1) - (م - 1)² - 1 = 0
2م² - 2م - م² + 2م - 1 - 1 = 0
م² = 2 ومنها م = ±جذر(2)
س - س² = ±جذر(2)
س² - س ±جذر(2) = 0
المميز = جذر[1 - 4*±جذر(2)]
وهذا يعنى ان جذر(2) مرفوض لأنه سيجعل ما
تحت الجذر التربيعى عدد سالب ...
المميز = جذر[1 + 4جذر(2)]
1 ± جذر[1 + 4جذر(2)]
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2
الحل السالب مرفوض لأنه ذكر فى السؤال ان س موجبة .
الحل الموجب بالتقريب س ≈ 1.8 لأقرب جزء من عشرة
ولكن هذا الآخر مرفوض لأن س + ص = 1 ، ص قيمة موجبة
وبناء علي الحل الوحيد المقبول هو س = ½
بعد التعويض فى العلاقة
2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
س - س²
25
نجدها بـ 12.5 = ــــــــــ
2
وهذا يؤكد لنا صدق :
25
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــ
2
، وكذا ايضاً التعويض المباشرة عن س ص = 1\4 ولكن
النقص فى الإجابة هو اننى لم اذكر لماذا تم اختيار س ص = 1\4
ولم يتم اختيارها اقل من ذلك على الرغم من ان هذا مسموح ..
فى الخطوات الأخيرة ذكرت :-
2[(س ص - 1)² + 1]
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص
المطلوب هو ايجاد قيمة س ص التى تجعل :
2 [(س ص - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ اقل ما يمكن ..
س ص
شريطة س + ص = 1 (هذا شرط اساسى ولا ستتغير المسألة)
س + ص = 1 ---> ص = 1 - س بالتعويض ...
2[(س ص - 1)² + 1] 2[(س(1-س) - 1)² + 1]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ص س(1 - س)
2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
س - س²
نشق الطرفين بالنسبة لـ س ...
2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1]
دَ(س) = 2×ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(س - س²)²
بمساواة البسط بصفر ..
2(س-س²)(1-2س)(س - س² - 1) - (1-2س)[(س - س² - 1)² + 1] = 0
لتهسيل الحساب ضع س - س² = م
ونضع 1 - 2س = ك
2م ك (م - 1) - ك (م - 1)² - ك = 0 بأخذ ك عامل مشترك ..
ك[2م(م - 1) - (م - 1)² - 1] = 0
اما ك = 1 - 2س = 0 ومنها س = ½
او : 2م(م - 1) - (م - 1)² - 1 = 0
2م² - 2م - م² + 2م - 1 - 1 = 0
م² = 2 ومنها م = ±جذر(2)
س - س² = ±جذر(2)
س² - س ±جذر(2) = 0
المميز = جذر[1 - 4*±جذر(2)]
وهذا يعنى ان جذر(2) مرفوض لأنه سيجعل ما
تحت الجذر التربيعى عدد سالب ...
المميز = جذر[1 + 4جذر(2)]
1 ± جذر[1 + 4جذر(2)]
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2
الحل السالب مرفوض لأنه ذكر فى السؤال ان س موجبة .
الحل الموجب بالتقريب س ≈ 1.8 لأقرب جزء من عشرة
ولكن هذا الآخر مرفوض لأن س + ص = 1 ، ص قيمة موجبة
وبناء علي الحل الوحيد المقبول هو س = ½
بعد التعويض فى العلاقة
2[(س - س² - 1)² + 1]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = د(س)
س - س²
25
نجدها بـ 12.5 = ــــــــــ
2
وهذا يؤكد لنا صدق :
25
(س + 1/س)²+(ص + 1/ص)² ≥ ـــــــــ
2
