1 إثبت أن : جا(54) - جا(18) = 0.5

• لدينا المتطابقة الآتية :  جا3س = 3جاس - 4جا³س

• يمكن إيجاد جا18 بدون آلة حاسبة (اضغط هنا - إيجاد جا(18) بدون آلة حاسبة)

                      -1 + جذر(5)
بوضع : جا18 = ـــــــــــــــــــــ
                             4

                                  --------------------الحل--------------------

جا(54) - جا(18) = جا3(18) - جا(18) = 3جا(18) - 4جا³(18) - جا(18)

= 2جا(18) - 4جا³(18) = 2جا(18)[1 - 2جا²(18)]

     -1+جذر(5)          -1+جذر(5)
= 2 ــــــــــــــــــــ [1 - 2(ـــــــــــــــــــ)²]
          4                         4

   -1+جذر(5)        6 - 2جذر(5)      
= ــــــــــــــــــــ [1 -  ــــــــــــــــــــــــــ]
       2                      8

   جذر(5) - 1      جذر(5) + 1
= ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
       2                    4

     5 - 1          4
=  ــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
       8            8 

 

===========================================

طريقة أخرى للحل :

 

هذه طريقة أخرى للحل، بإستعمال المتطابقات الآتية :
                             س+ص       س-ص
• جاس - جاص = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2               2
• جا2س = 2جاس جتاس

• جتاس = جا(90 - س)

--------------------- الحل -----------------------

                            54 + 18     54 - 18
• جا54 - جا18 = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2              2
= 2جتا36 جا18    ==> (1)

ولكن :• جا36 = 2جا18 جتا18

                  جا36
ومنها جا18 = ــــــــــــــ    بالتعويض في (1)
                  2جتا18

                                      جا36
جا54 - جا18 = 2جتا36 × ــــــــــــــ
                                    2جتا18

البسط = 2جا36 جتا36 = جا72   (قانون ضعف الزاوية)

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ         ==> (2)
                            2جتا18

ولكن : • جتا18 = جا(90 - 18) = جا72

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ = ½
                            2جا72 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تابع القراءة

3 اذا علمت ان أ+ب=225 فإثبت أن : ظتاأ/(1+ظتاأ) × ظتاب/(1+ظتاب) = 0.5

• القانون الأول :
                     1 + ظاس ظاص
ظتا(س - ص) = ـــــــــــــــــــــــــ
                      ظاس - ظاص

• ظا225 = ظتا225 = 1

•
أ+ب = 225  هذا يعنى أن : ظتا(أ+ب) = ظتا(225) = 1

استعمل المتطابقة :

                 1 - ظاأ ظاب
ظتا(أ+ب) = ــــــــــــــــــــــ = 1
                  ظاأ + ظاب  

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين .

1 - ظاأ ظاب = ظاأ + ظاب

ومنها   ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)

فى اعتقادى انه توجد أكثر من طريقة للحل، ولكن من خلال النظر
الى الطرف الأيمن نجد ان كلاً من الدالة التى تحتوى على أ والدالة
التى تحتوى على ب منفصل كلاً منهم عن الآخر ، لهذا يمكن ان
نقول : بما أن  أ + ب = 225   اذاً  أ = 225 - ب

                              1 + ظا225 ظاب      1 + ظاب  
ظتاأ = ظتا(225 - ب) = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                               ظا225 - ظاب         1 - ظاب

                             1 + ظاب            2
ومنها : 1 + ظتاأ = 1 + ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                              1 - ظاب        1 - ظاب

            ظتاأ           1 + ظاب       1 - ظاب       1 + ظاب
اى أن : ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ × ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
          1 + ظتاأ       1 - ظاب            2                2


بالمثل تماماً (وبتكرار نفس الخطوات) :

 ظتاب          1 + ظاأ
ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
1 + ظتاب          2

                ظتاأ          ظتاب         1 + ظاأ           1 + ظاب
هذا يعنى : ـــــــــــــ × ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ
              1+ظتاأ       1+ظتاب          2                   2

   (1+ظاأ)(1+ظاب)     1 + ظاأ + ظاب + ظاأ ظاب
= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           4                                4

ولكن ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)      بالتعويض ...

   1 + (ظاأ + ظاب) + 1 - (ظاأ + ظاب)        2
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
                      4                                4

اتمنى ان اجد طريقة أخرى للحل ...

تابع القراءة

2 اثبت ان : ( أ َ² - بَ² )/جـَ² = جا(أ - ب)/جا(أ + ب)

بعد تفكير وجدت ان قانون الجيب مناسباً للحل، لكن قبل الحل
نعلم أن : أ + ب + جـ = 180  ومنها أ + ب = 180 - جـ

هذا يعنى :  جا(أ+ب) = جا(180 - جـ)

ولكن : جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكلمة لها)

اذاً : جا(أ+ب) = جاجـ    وهذه خطوة هامة جداً ...

ثانياً : ارشدك الى قوانين النسبة والتناسب .

• مجموعة المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

• اذا تساوت نسبتان فإنه اذا تم تبديل الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيح .

ما سبق اذا لم يكن فيه شىء واضح عندك فيمكنك السؤال عنه
ولم اتناقش فيه كثيراً اولاً حتى لا اترك السؤال الأساسى الذى
نحن بصدده واششت ذهنك، ثانياً لأنك من المفترض انك اخذته
فى السابق (اظن فى المرحلة الإعدادية) .

القانون الثالث (وهذا مهم جداً جداً وهو محور السؤال)

المتطابقة : جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

وسأثبتها أولاً حتى لا يتشتت تفكيرك عند حل السؤال .

اثبات المتطابقة السابقة :-

جا(أ + ب) جا(أ - ب) = (جاأ جتاب + جاب جتاأ)(جاأ جتاب - جاب جتاأ)

= جا²أ جتا²ب - جا²ب جتا²أ

= جا²أ (1 - جا²ب) - جا²ب (1 - جا²أ)

تعليق : لأن جا²س = 1 - جتا²س   (متطابقة مشهورة)

والآن نقوم بعملية التوزيع على الأقواس ..

= جا²أ - جا²أ جا²ب - جا²ب + جا²أ جا²ب

= جا²أ - جا²ب     (وهو المطلوب)

فقط اريدك ان تعلم أن : جا²أ - جا²ب = جا(أ+ب) جا(أ - ب)

------------------------------------------
والآن نعود الى السؤال الأصلى ...
------------------------------------------
ذكرنا سابقاً أن : جا(أ + ب) = جاجـ   (فى المثلث فقط)

الآن ومن قانون الجيب .

  أَ َ          بَ         جـَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ

لكن مجموع المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

  أ َ          بَ         جـَ       أ َ - بَ         أ َ + بَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ     جاأ - جاب     جاأ + جاب

سنأخذ النسبة جـ َ/جاجـ   (لأنها المناسبة هنا)

اذاً :

 أ َ - بَ             جـ َ
ـــــــــــــــــ  =  ــــــــــ         ==> (1)
جاأ - جاب         جاجـ

أ َ + بَ          جـ َ
ـــــــــــــــــ = ــــــــــ          ==> (2)
جاأ + جاب      جاجـ

بضرب (1) × (2)

   (أ َ - بَ)(أ َ + بَ)             جـَ ²
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
(جاأ - جاب)(جاأ + جاب)       جا²جـ

استعمل قانون فرق المربعين من اجل فك البسط والمقام .

 أ َ² - بَ²           جـَ²
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جا²أ - جا²ب       جا²جـ

استعمل خاصية تبديل الوسطين (فى التناسب) ...

 أ َ² - بَ²         جا²أ - جا²ب
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    جـَ²               جا²جـ

ولكن جاجـ = جا(أ + ب)

و :   جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

 أ َ² - بَ²         جا(أ + ب) جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    جـَ²                جا²(أ + ب)

اختصر ...


 أ َ² - بَ²          جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ          #
    جـَ²             جا(أ + ب)

تابع القراءة

0 كيف نثبت ان أكبر زاوية فى المثلث قطعاً هى أكبر من 60 درجة ؟

• مجموع زوايا المثلث = 180 درجة .

ليكن المثلث هو أ ب جـ  ، لدينا : أ + ب + جـ = 180 ومنها : أ + جـ = 180 - ب

لتكن الزاوية ب أكبر زاوية ... هذا يؤدى بنا الى أن : ب > أ     ،    ب > جـ

بجمع المتباينتين معاً : 2ب > أ + جـ    ولكن أ + جـ = 180 - ب  .. بالتعويض

2ب > 180 - ب       بجمع ب للطرفين ...

3ب > 180        بقسمة الطرفين على 3

ب > 60    وهو المطلوب إثباته .

تابع القراءة

2 اوجد قياس اصغر زوايا المثلث ا ب جـ الذي فيه 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

حقيقة : قياس أصغر زواية فى المثلث هى التى تقابل أصغر ضلع .

15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

أصغر ضلع هو أ ب لماذاً ؟ لأن اصغر ضلع
هو الذى معامله يكون أكبر .. كيف ذلك ؟
اذا قُلنا أن 1 دولار = 6 جنيه  (تقريباً)
هذا يعنى أن الجنيه أقل من الدولار .

الضلع أب تقابله الزواية جـ  ..

اذا كان هذا الشىء يبدو ساذجاً عندك فأسعمل
قوانين النسبة والتناسب  :

نفرض أن : 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ = م

حيث م = ثابت التناسب .

وهذا يدلنا على اننا يمكن أن نضع التناسب
السابق لكن فى صورة أخرى .....

 أ ب         ب جـ         أ جـ
ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــ = م
(1\15)     (1\10)      (1\12)

هذا يعنى أن النسبية بين اضلاع المثلث كـنسبة
(1\15) : (1\10) : (1\12) ، وبإستعمال قانون جيب
التمام نوجد قياس اصغر زاوية التى تقابل اصغر ضلع
وهى الزاوية جـ .

          (ب جـ)² + (أ جـ)² - (أ ب)²
جتاجـ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               2(ب جـ) (أ جـ)

   (1\10)² + (1\12)² - (1\15)²       3
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
            2(1\10)(1\12)                4

اذاً : جـ = جتا^-1(3\4)  ≈ "34.64   '24    41ْ
               
اى : 41 درجة ، 24 دقيقة ، 34.64 ثانية .

تابع القراءة

0 كيف نثبت أن cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny ؟

لهذا القانون أكثر من إثبات سأستعرض بعضعها ، وسأبدأ بالأسهل والأفضل .. ارسم دائرة الوحدة
وقم برسم شعاعين (وليكونوا فى الربع الأول مثلاً) ثم إن الزاوية الأولى التى بين الشعاع الأول
والمحور الأفقى هى y والزاوية الثانية (الكبرى) هى x فيكون بذلك الزاوية المحصورة بين المتجهين
A و B هى x - y  وبناء عليه يتم استعمال الضرب القياسى هنا لإيجاد  cos(x - y)  ll

دائرة الوحدة وكما يظهر - المتجهان A و B ,الزاوية بينهما x-y

قانون الضرب القياسى لمتجهين هو : A . B = ||A|| . ||B|| cos(x-y)  ll

ولكن : ||A|| . ||B|| يساوى 1 لأننا نتعامل هنا مع دائرة الوحدة (معيار كل متجه = 1)

اذاً : cos(x-y) = A . B  وبإستعمالك للقانون المعروف للضرب القياسى لمتجهين تحصل على القانون ..

ولكن هذا يتحقق على فرض أننا وضعنا المتجهات (او النقاط) فى الصورة البارمترية وهى

ll    (cosx , sinx)   , (sinx , siny)      ll

cos(x-y) = (cosx , sinx) . (sinx , siny)= cosx.cosy + sinx.siny

الحل الثانى قد يكون أطول لكنه أوضح لمن لم يدرسون المتجهات بعد ...


عندما طولا نصف القطرين فى المثلث الذى يحتوى cos(x-y) ll هما 1 ، 1
بإستعامل قانون البُعد بين نقطتين نحصل على طول الضلع الثالث .

طول الضلع الثالث : = ll    sqrt[(cosx-cosy)² + (sinx-siny)²]  ll

الآن اصبح الطريق ممهداً لإيجاد cos(x-y)  ll  عن طريق قانون جيب التمام

cos(x-y) = [1²+1² - (cosx-cosy)² - (sinx - siny)²]/2

cos(x-y) = [2 - (cos²x+cos²y-2cosxcosy) - (sin²x+sin²y-2sinxsiny) ]/2

cos(x-y) = [2 - cos²x-cos²y+2cosxcosy - sin²x-sin²y+2sinxsiny]/2

بإستعمال المتطابقة المعروفة : cos²x + sin²x = 1  وبنفس الطريقة مع y

cos(x-y) = [2 - 2 + 2(cosxcosy+sinxsiny)]/2

بعد الإختصارات نحصل على القانون وهو :

cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny

ولكن يظل الحل عن طريق الضرب القياسى لمتجهين هو الأسهل فى الحل
لكنى وضعت هذا الحل ايضاً لمن لم يروق لهم فكرة الحل عن طريق المتجهات

الآن كيف نحصل على قانون مجموع زاويتين ؟

ببساطة شديدة جداً ضع -y للطرفين (لأنها متطابقة)

cos(x - -(y)) = cos(x+y) = cosx.cos(-y)+sinx.sin(-y)  ll

نحن نعلم أن: cos(-y) = cosy  السالب لا يفرق مع cos

بينما sin(-y) = -siny  لأنها دالة فردية بينما دالة cosine زوجية ..

اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny‏

...................................................................................
الحل الثالث : متقدم بعض الشىء ويكون عن طريق فك دالة الـ cosine بدلالة الدالة الأسية
حيث أن : cosx = (e^ix + e^-ix)/2   (متطابقة معروفة) وبناء عليه يمكن تبديل x بـ x+y

cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)]   ll

وبإستعمال قوانين الأسس البسيطة المعروفة ... حيث نعلم مسبقاً أن :
cosx = (e^ix + e^-ix)/2  وأن sinx = (e^ix - e^-ix)/2i  وطبعاً يمكنك تبديل y مكان x ...

نكمل ...        cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)]   ll

cos(x+y) = ½[e^ix.e^iy + e^-ix.e^-iy]  ll

ولكن :
e^ix.e^iy = (cosx+isinx) (cosy+isiny) = cosxcosy-sinx.siny+i(sinx.cosy+cosx.siny)  ll

فى المقابل نجد أن :

e^-ix.e^-iy = cosxcosy-sinx.siny-i(sinx.cosy+cosx.siny)  ll

بجمع المعادلتين معاً نجد أن الجزء التخيلى قد حذف تماماً ويتبقى فقط الجزء الحقيقى

وبعد التعويض واختصار ½ مع 2 ...

اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny

تابع القراءة

0 اثبت ان مشتقة جتاس هى - جاس ؟

هناك عدة طرق للإثبات منها اعادة تعريف كلاً من دالتى الـ جا و الـ جتا ولكن
الطريقة  تلزمك على معرفة طريقة اشتقاق دالة الأس الطبيعى e^f(x)  ll وايضاً تحتاج
لأن تثبت الصيغة من الأساس (اى تحتاج ان تثبت أن : cosx = (e^ix+e^-ix)/2
و sinx = (e^ix - e^-ix)/2i ، لذا فمن الأفضل هنا أن نلجأ الى التعريف العام للمشتقة .

د(س) = جتاس

                      د(س+هـ) - د(س)                جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0           هـ                  هـ←0             هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

              جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

             جتاس جتاهـ - جتاس                جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                  هـ←0          هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

                       جتاهـ - 1                       جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ  - جاس نهـــــــا ــــــــــ
            هـ←0       هـ                  هـ←0    هـ

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ تؤول للصفر - اضغط هنا ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

          جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ  = 0    مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .        
هـ←0      هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

            جتاهـ - 1       جتاهـ + 1                   جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0         هـ                هـ            هـ←0  هـ (جتاهـ+1)

                 1 - جتا²هـ
=  - نهــــــــا ـــــــــــــــــــ   (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
     هـ←0  هـ(1+جتاهـ)
     
                   جا²هـ                          جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0   هـ (1+جتاهـ)        هـ←0   هـ (1+جتاهـ)

                 جاهـ                     جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
     هـ←0     هـ          هـ←0     1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

= جتاس × 0   - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى - جاس

تابع القراءة

1 اثبت ان مساحة القطاع الدائرى = ½نق² هـ

نعلم ان :        ل
             ـــــــــــــ = هـ
                 نق

حيث ل = طول القوس ، نق = نصف قطر الدائرة ، هـ = قياس الزاوية بالتقدير الدائرى .

ومنها : ل = هـ × نق

الآن فى الرسم فى المراجع قمت بتقسيم القطاع الدائرى الى عدد لا نهائى
من المثلثات المتساوية الساقين، بحيث كل ساق = نق

مساحة المثلث = ½ القاعدة × الإرتفاع

وعندما تقون هذه المثلثات كثيرة جداً فإننا لا نفرق وقتها بين نق وبين
ارتفاع المثلث ..

نفرق اننا قسمنا قوس القطاع الى ل0 ، ل1 ، ل2 ، ل3 ، ..... الخ

مساحة المثلث الأول = ½ل0 نق
مساحة المثلث الثانى = ½ل1 نق  .. وهكذا

مساحة جميع هذه المثلثات = مساحة القطاع الدائرى

= ½ل0 نق + ½ل1 نق + ½ل2 نق + .......

بأخذ ½نق عامل مشترك ...

= ½نق (ل0+ل1+ل2+ل3+.....)

ولكن (ل0+ل1+ل2+ل3+.....) = طول القوس = ل   اذاً

مساحة القطاع الدائرى = ½ل نق

ولكن ل = هـ×نق  بالتعويض ..

اذاً : مساحة القطاع الدائرى = ½×هـ×نق×نق = ½نق² هـ

حيث هـ قياس الزاوية المركزبة (للقطاع الدائرى) بالتقدير الدائرى .

تابع القراءة

4 احسب قياس الزاوية x المبينة فى الشكل

الشكل فى المراجع عبارة عن المثلث A B C
فيه الزاوية O N M = x  (بالفرض)

وايضاً : الزاوية O M N = y  (بالفرض)

أى أن : x+y = 110

وايضاً فيه المثلث M B C  متساوى الساقين :

اذاً : BC = BM

فى المثلث N B C  فيه :

BC/sin40  = BN/sin80


اذاً :  (1)    BC = [BN sin40]/sin80


فى المثلث :  M B C  فيه :

BM/sinx = BN/sin(y+50)      ll

ولكن x+y = 110  ومنها y = 100 - x

اذاً : y + 50 = 160 - x  بالتعويض ..

BM/sinx = BN/sin(160 - x)      ll


ومنها : BM = [BN sinx]/sin(160 - x)      (2

ولكن  BC = BM

من (1) ، (2) ينتج أن :

ll          [BN sinx]/sin(160 - x) =  [BN sin40]/sin80


بإختصار BN من الطرفين ..

ll                        sinx/sin(160 - x) =  sin40/sin80


وهكذا نحصل على (نقبل النسبتين فى الطرفين)


ll                        sin(160 - x)/sinx =  sin80/sin40

الآن قم بنشر sin(160 - x)   l  بالمتطابقة المعروفة .


ll      [sin160 cosx - cos160 sinx]/sinx =  sin80/sin40

وبعد توزيع (او قسمة) البسط على المقام نحصل على :


ll            sin160 cosx/sinx  -   cos160 = sin80/sin40


ومنها نحصل على :

ll           sin160 cosx/sinx = sin80/sin40  +  cos160

بضرب الطرفين فى مقلوب sin160

ll   cosx/sinx = sin80/(sin40 sin160)  +  cos160/sin160

بعد توحيدك للمقامات تحصل على :

ll   cosx/sinx = [(sin40 cos160) + sin80] /(sin40 sin160)  ll

اذاً :


ll    sinx/cosx = (sin40 sin160)/[(sin40 cos160) + sin80]   ll


ll          tanx = (sin40 sin160)/[(sin40 cos160) + sin80]   ll


ومن ثم تستطيع ايجاد معكوس tanx بالآلة الحسابة
او حتى من خلال تبسيط الطرف الأيمن ببعض المتطابقات
المثلثية للوصول الى أن :  x = 30ْ‏



للمزيد من التفاصيل اضغط هنا    

تابع القراءة

0 الدوال الزائدية

اذا قلنا س² + ص² = 1
تعتبر دائرة الوحدة، والتى تقابلها فى الإحداثيات
البارامترية جتا²س + جا²س = 1
ملحوظة : الأفضل هو وضع رمز غير س للتفرقة
بينه وبين الإحداثيات الكارتيزية،لكن فقط وضعتها
هكذا لأننا تعودنا على شكلها بهذه الصيغة .


ننتقل الى : س² - ص² = 1

هذه أبسط صورة لمعادلة القطع الزائد
والذى فيه :

احداثى الرأس الأيمن : (1 ، 0)

احداثى الرأس الايسر : (-1 ، 0)

فقط اكتفى بهذين الإحداثيين

فإذا رمزنا لجيب التمام الزائدى بالرمز جتازس
والجيب الزائدى بالرمز جازس فيكون :

جتاز²س - جاز²س = 1

وهذه هى المتطابقة الأساسية فى حساب
الدوال الزائدية .

هذه الدوال تتميز بصفات أهمها :

جتاز(0) = 1

جاز(0) = 0

وهذه الخاصية هى نفس الخاصية الموجودة
فى الدوال المثلثية (الدائرية)
ويمكنك استنتاجها من خلال رسم القطع الزائد .

الخاصية الثانية :

مشتقة جتازس  تعطى جازس

ومشتقة جازس تعطى جتاس

الإثبات:(لأن هذه الخطوة هامة جداً)

نستطيع ان نثبت إثبات جزئى عندما س=0
(ولكن هذا الأإثبات يتطلب منك رسم كلاً من
دالتى جتازس ، جازس)

فى حين أن هناك إثبات اسهل بكثير وهو :

بما أن : جتاز²س - جاز²س = 1

اذاً : جتاز²س = جاز²س + 1

الآن اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

تجد أن : مشتقة جتاز²س = مشتقة (جاز²س + 1)

ولكن مشتقة الواحد = 0

(اى عندما نشتق يكون لا فائدة منه)

اذاً : مشتقة جتاز²س = مشتقة جاز²س

وبإستخدام قوانين الإشتقاق ..

اذاً : 2جتازس × مشتقة جتازس = 2جازس × مشتقة جازس

بمقارنة الطرفين نجد أن :


مشتقة جتازس = جازس

مشتقة جازس = جتازس


نأخذ هذه المعلومات وننتقل الى متسلسلة ماكلورين .


د(س) = جتازس

دَ(س) = جازس

دً(س) = جتازس 

.... وهكذا

نعلم أن : جتاز(0) = 1 وان جاز(0) = 0

اذاًً :

جتازس = 1+س²\2!+س^4\4!+.....

بنفس الطريقة نجد أن :

جازس = س+س³\3!+س^5\5!+......


بجمع المعاداتين معاً ينتج :

جتازس+جازس = 1+س+س²\2!+س³\3!+....


ولكن :  1+س+س²\2!+س³\3!+.... = هـ^س

حيث هـ ≈ 2.71828


اذاً : جتازس + جازس = هـ^س

وهذه من أهم المتطابقات :

لاحظ كما أن دالة جاس فردية فإن دالة جازس فردية ايضاً
وكما ان دالة جتاس زوجية فإن دالة جتازس زوجية ايضاً ..

الآن : هـ^س = جتازس + جازس

نحذف س ونضع - س للطرفين ..


هـ^-س = جتاز(-س) + جاز(- س)


هـ^-س = جتازس - جازس

الآن : لدينا متطابقتين :

هـ^س = جتازس + جازس     (1)

هـ^-س = جتازس - جازس     (2)

........... بجمع (1) ، (2) .............


هـ^س + هـ^-س = 2جتازس


                      هـ^س + هـ^-س
ومنها : جتازس = ــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


................ بطرح (1) ، (2) .................


هـ^س - هـ^-س = 2جازس


                      هـ^س - هـ^-س
ومنها : جازس = ــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


الآن نستطيع وبسهولة أن نثبت أن مشتقة احداهما
تعطى الآخر :


جتازس = ½(هـ^س + هـ^-س)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

(جتازس) َ = ½(هـ^س - هـ^-س)


= جازس

بنفس الطريقة نثبت أن :

(جازس) َ = جتازس


تستطيع بمعرفة ذلك ايجاد مشتقات بقية الدوال .

                        جازس
مثلاً : ظازس = ــــــــــــــــــــ
                       جتازس


    هـ^س - هـ^-س             2 
= ــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــ
            2              هـ^س + هـ^-س



       هـ^س - هـ^-س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      هـ^س + هـ^-س


وبتطبيق قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة ظازس


    (هـ^س + هـ^-س)² - (هـ^س - هـ^-س)²
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (هـ^س + هـ^-س)²


البسط عبارة عن فرق مربعين بعد التبسيط يصبح :


     2هـ^س × 2هـ^-س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
     (هـ^س + هـ^-س)²


               2                           
= [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]²
     (هـ^س + هـ^-س)


        1
= ـــــــــــــــ = قاز²س
    جتاز²س
     

وحتى لا نكرر خطوات زائدة بنفس الطريقة نذكر ما يلى :


د/دس جتازس = جازس

د/دس جازس = جتازس

د/دس ظازس = قاز²س

د/دس ظتازس = - قتاز²س

د/دس قازس = - قازس ظازس

د/دس قتازس = - قتازس ظتازس

أضغط هنا للتتعرف على المشتقات العكسية .


نأتى الى بعض التكاملات :

بما ان مشتقة احداهما يعطى الآخر .

(اقصد جازس ، جتازس )


فإن : ∫جتازس دس = جازس + ث

∫جازس دس = جتازس + ث

ننتقل الى الحالة الأهم .. ماذا لو كانت بدلا ً من س
دالة فى س ؟

                           جاز[د(س)]
∫جتاز[د(س)] دس = ــــــــــــــــــ + ث
                              دَ(س)


                          جتاز[د(س)]
∫جاز[د(س)] دس = ــــــــــــــــــــــ+ ث
                             دَ(س)


يعنى بإختصار اشتق اشتقاق عادى جداً ثم
اقسم على مشتقة الزاوية .

لكن ماذا نصنع فى الإشتقاق ؟؟

الإشتقاق مرحلة عكسية بدلاً من أن نقسم على
مشتقة الزاوية (نضرب فى مشتقة الزاوية)

مثال (للتوضيح فقط)

مشتقة  جتاز[د(س)] = دَ(س) جاز[د(س)]


مثال : اوجد مشتقة جتاز(س² - 1)


د/دس جتاز(س² - 1) = 2س جاز(س² - 1)


بمعرفتك بالمعلومات السابقة تستطيع ايجاد بقية
التكاملات الأساسية بنفسك .


الآن نأتى الى أهم جزء وهو علاقة الدوال الزائدية
بالدوال الدائرية (المثلثية)


ربما تعلم صيغة أويلر للدوال المثلثية وهى :

(متطابقتين هامتين)

هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس     (1)

هـ^(-ت س) = جتاس - ت جاس    (2)

حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

هـ هو العدد النيبيرى ≈ 2.71828

بجمع (1) ، (2) ينتج لنا :


هـ^(ت س) + هـ^(-ت س) = 2جتاس


            هـ^(ت س) + هـ^(-ت س)
جتاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2


بطرح (1) ، (2) ينتج لك :


           هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2ت

..................................................

نبدء من المتطابقة الأولى :


            هـ^(ت س) + هـ^(-ت س)
جتاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2


تعلم أن ت×ت = ت² = -1

وبوضع ت س للطرفين ..


                  هـ^(ت² س) + هـ^(-ت² س)
جتا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                  2


                    هـ^س + هـ^-س
جتا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                              2



جتا(ت س) = جتازس


نأخذ المتطابقة الثانية :


           هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2ت


بضرب الطرفين فى ت ينتج :


                هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
ت جاس = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               2



نضع ت س للطرفين ..


                    هـ^(ت² س) - هـ^(-ت² س)
ت جا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                     2



                    هـ^(- س) - هـ^(س)
ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               2


بضرب الطرفين فى -1


                          هـ^س - هـ^-س
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                  2


- ت جا(ت س) = جازس


بإختصار نريد نذكر ما يلى :


جتازس = جتا(ت س)

جازس = - ت جا(ت س)

ظازس = - ت ظاز(ت س)

ظتازس = ت ظتا(ت س)

قازس = قا(ت س)

قتازس = ت قتا(ت س)


وكما أن هناك متطابقات مثلثية فهناك ايضاً متطابقات زائدية :
نذكر منها :

جتاز(س±ص) = جتازس جتازص ± جازس جازص

جاز(س±ص) = جازس جتازص ± جتازس جازص


                        ظازس ± ظازص
ظاز(س±ص) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       1 ± ظازس ظازص


جاز(2س) = 2 جازس جتازس

جتاز(2س) = جتاز²س + جاز²س

= 2جتاز²س - 1 = 2جاز²س + 1

ظاز²س = 1 - قاز²س

ظتاز²س = 1 + قتاز²س

تابع القراءة

0 برهان صيغة أويلر المثلثية

نعلم أن : منشور الدالة الأسية هى :

هـ^س = 1+س+س²\2 + س³\3! + .....

نبدل س بـ ت س فنحصل على :-

هـ^(ت س) = 1+ت س - س²\2 - (ت س³)\3! +...

ولكن :

جتاس = 1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

جاس = س - س³\3! + س^5\!5 - س^7\7!+...

ومنها نحصل على :

ت جاس = ت س - (ت س³)/3!+.....


بالجمع نحصل على :

جتاس + ت جاس =

1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

+ ت س - (ت س³)/3!+.....


= 1+ ت س - س²\2 - (ت س³)\3! + ....

وهذه الصيغة تكافىء منشور هـ^(ت س)

اذاً : هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

حيث هـ ≈ 2.71828  ، ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

تابع القراءة

0 إثبت أن : جازس = (هـ^س - هـ^-س)/2

ولنبدأ من صيغة أويلر المثلثية .


هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

هـ^(-ت س) = جتاس - ت جاس

(( وهذه الخطوة لن إثبتها.. تحقق منها بنفسك))


بطرح المعادلة الأولى من الثانية :

هـ^(ت س) - هـ^(- ت س) = 2 ت جاس


                هـ^(ت س) - هـ^(- ت س)
اذاًَ : جاس = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2ت


ولكن : جازس = - ت جا(ت س)

(( هذه علاقة بين الجيب والجيب الزائدى ))

وبضرب العلاقة السابقة فى - ت .

              هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
- ت جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        - 2


الآن نبدل س بـ ت س (لأنها متطابقة)

ولاحظ أن ت × ت = ت² = -1


                     هـ^(ت ت س) - هـ^(-ت ت س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                   -2



                         هـ^(-س) - هـ^( س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                 -2


لاحظ سالب فى المقام يمكن برفعها للبسط ..


                          هـ^س - هـ^-س
- ت جا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                2


ولكن  - ت جا(ت س) هى نفسها جازس


                     هـ^س  - هـ^-س
اذاً جاز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                             2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

وهذا إثبات آخر آراه من وجهة نظرى أسهل :
وهو نفس الأسلوب السابق لكن نبدأ من
صيغة أويلر (للدوال الزائدية مباشرة ً)

نعلم أن :

هـ^س = جتازس + جازس

هـ^-س = جتازس - جازس


وعليه وبعد الطرح ينتج لنا :-

هـ^س - هـ^-س = 2جازس


            هـ^س - هـ^-س
جازس = ــــــــــــــــــــــــــــــ
                     2

تابع القراءة

0 اذا علمت أن 3جاأ + 4جتاب =2 إوجد 4جاأ + 3جتاب

نفرض أن : 4جاأ + 3جتاب = د  حيث د عدد ثابت

نضع جاأ = س   ،  جتاس = ص

فيتكون لدينا هذا النظام :

3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

نعلم أن مدى دالتى الجيب وجيب التمام
من -1 الى 1  فترة مغلقة :

3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

بضرب المعادلة الأولى -3

والمعادلة الثانية فى 4

-9س - 12ص = -6     (1)

16س + 12ص = 4د    (2)

............ بجمع (1) ، (2) .............

7س = 4د - 6


اى أن : 7جاأ = 4د - 6


                    4د - 6
ومنها  جاأ = ـــــــــــــــــــــ
                       7



         4د - 6
1 ≥ ـــــــــــــــــــ  ≥ -1  بالضرب فى 7
           7


7 ≥ 4د - 6 ≥ -7    بإضافة 6


13 ≥ 4د ≥ -1   بالقسمة على 4


13/4 ≥ د ≥ -1\4

3.25 ≥ د ≥ -0.25

هذا يعنى أن د فى الفترة [3.25 ، -0.25]

من أجل  1 ≥ س ≥ -1

ولكن يجب ان تنطبق تلك العلاقة على ص ايضاً ..

الآن نكرر نفس الخطوات لكن بطريقة مختلفة ...


3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

بضرب المعادلة الأولى -4

والمعادلة الثانية فى 3

-12س - 16ص = -8         (1)

12س + 9ص = 3د         (2)

.............. بجمع (1) ، (2) ...................


                                       8 - 3د
-7ص = 3د - 8  ومنها ص = ــــــــــــــــــــ
                                         7


           8 - 3د
1 ≥ ـــــــــــــــــــــــ ≥ -1   بالضرب فى 7
             7


7 ≥ 8 - 3د ≥ -7     بطرح 8


-1 ≥ -3د ≥ -15  بالقسمة على -3


5 ≥ د ≥ 1\3

هذا يعنى أن د فى الفترة [5 ، 1\3]

من أجل  1 ≥ ص ≥ -1
..........................................................

وبأخذ المجال المشترك بينهما ::::: لاحظ :

المجال الأول : [3.25 ، -0.25]

المجال الثانى :  [5 ، 1\3]

ارسم خط الأعداد ثم خذ حالة التقاطع لتصبح
هى مجموعة الحل ..

مجموعة الحل = [5 ، 1\3] ∩ [3.25 ، -0.25]


= [3.25 ، 1\3]

.......................................
هذا معناه أن :


4جاأ + 3جتاب ∈ [3.25 ، 1\3]

تابع القراءة

0 ما نوع المثلث الذى يتحقق فيه cosA+cosB+cosC=3\2‏ ؟

هناك عدة طرق يمكن ان نتحقق من خلالها على نوعية

المثلث .. أذكر منها قانون جيب التمام، وبتحويل كلاً من
cosA و cosB و cosC  فنحصل على الآتى :

ll  (a²+b²-c²)/2ab +(a²+c²-b²)/2ac + (b²+c²-a²)/2bc =3/2

بضرب الطرفين فى 2abc


ll         c(a²+b²-c²) + b(a²+c²-b²) + a(b²+c²-a²) =3abc

ومنها نحصل على :-


ll     c(a²+b²) + b(a²+c²) + a(b²+c²) =a³+b³+c³+3abc

ca²+cb² + ba²+bc² + ab²+ac² = a³+b³+c³+3abc

بحذف 6abc من الطرفين فنحصل على :
مع توزيعها على الطرف الأيسر هكذا ...


ca²+cb²-2abc + ba²+bc²-2abc + ab²+ac²-abc = a³+b³+c³-3abc


بإكمال المربعات فى الطرف الأيسر مع أخذ العوامل المشتركة ..


c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = a³+b³+c³-3abc

استطيع ان اثبت لك أن :

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)     ll

من خلال ذلك نتحقق من أن : -

c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)   ..ll


بضرب الطرفين فى 2 ومن ثم نقوم بأكمال المربعات
فى الطرف الأيمن ( كما فعلنا فى الطرف الأيسر )
فنحصل فى  النهاية على :-

ll   2c(a-b)²+2b(a-c)²+2a(b-c)² = (a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]   ll   

الآن اطرح عناصر الطرف الأيمن من الأيسر (اى اجعل المعادلة صفرية)
مع اجراء بعض العمليات الجبرية واخذ العواملة المشتركة فنحصل على :

ll  (a - b - c) ( b - c )² + (b -a - c) ( c - a )² + ( c- a - b) ( a - b )² = 0   ll

ربما تعلم أنه فى اى مثلث فإن مجموع اى ضلعين فيه أكبر من طول الضلع الثالث
وهذا يعنى ان مصدر الصفر فى المعادلة مستحيل يكون من الأقواس التى تتشابه
مع  (a - b - c)  كمثال يعنى .

اذاً مصدر الصفر من الأقواس الثنائية الأخرى ( التربيعية )

وهذا يعنى أن :

b - c = 0   ومنها b = c  

c - a = 0    ومنها c = a

وهذا يكفى ( علاقة تعدى ) نستنتج منها أن :

a = b = c

اذاً المثلث (متساوى الأضلاع)
............................................................................

حل آخر عن طريقة دلتا ( المميز ) فى المعادلة التربيعية

عن طريق التطبيق المباشر للمتطابقة المثلثية :

cosA+cosB = 2cos½(A+B) cos½(A-B)     ..ll

والمتطابقة : cos2x = 1 - 2sin²x

ومنها نحصل على أن : cosC = 1 - 2sin²(C/2)     ..ll

كذلك تذكر متطابقة دوال الجيب وجيب التمام المتممة :

cos(90 - x) = sinx

وايضاً تذكر أن مجموع زوايا المثلث = 180 درجة

A+B+C = 180

A+B = 180 - C

........ إعتبر الذى فات كله مقدمة ........


الآن :  cosA+cosB+cosC=3\2


2cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3/2

بضرب الطرفين فى 2

4cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3


4cos½(180 - C) cos½(A-B) +2cosC = 3


4cos(90 - C/2) cos½(A-B) +2(1 - 2sin²(C/2)) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) -3 = 0


4sin(C/2) cos½(A-B) - 4sin²(C/2) - 1 = 0

بترتيب الحدود مع ضرب الطرفين فى -1

4sin²(C/2) - 4cos½(A-B) sin(C/2)  + 1 = 0

نعتبر انها معادلة تربيعية فى sin(C/2)      ..ll

وبإيجاد مميز المعادلة، وبما اننا نريد الحلول الحقيقية
فقط اذاً ما تحت الجذر التربيعى أكبر من او يساوى الصفر .

ll           16cos²½(A-B) - 4×4×1 ≥ 0

بقسمة الطرفين على 16

cos²½(A-B) - 1 ≥ 0


cos²½(A-B) ≥ 1        

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين


cos½(A-B) ≥ ±1


cos(½A - ½B) ≥ ±1

لكن انت تعلم ان مدى دالة cos محصور فى الفترة [-1 , 1]

اذاً نأخذ حالة المساواه فقط : cos(½A - ½B) = ±1

اذاً ما داخل الزاوية cos = معكوس جيب التمام لـ 1  وهو 0
والحالة الثانية (سالب واحد ) نجد ان المعكوس هو 180
بالقياس السيتنى ..

اذاً :  ll                    ½A - ½B = 0

ومنها  A - B = 0  ومنها A = B

او  ll                  ½A - ½B = 180  بضرب الطرفين فى 2

A - B = 360   ولكن هذا مستحيل ان يحدث فى أى مثلث

لأن مجموع زوايا المثلث = 180

اذاً نأخذ الحالة الأولى فقط وهى أن A = B

بنفس الطريقة نصنع نفس الخطوات :

cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن هذه المرة نطبق المتطابقة على cosB+cosC

لينتج لنا أن  B = C

وتلاحظ انها علاقة تعدى وينتج منها أن A=B=C

اذاً المثلث متساوى الأضلاع .

................................................................

حل ثالث : بحيث يمكن وضع A=B=C = 60
تجدها تحقق المعادلة، والآن نريد أن نثبت وحدانيتها .

 cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن C = 180 - (A+B) ..ll

اذاً : cosC = - cos(A+B)      ...ll

ومنها ينتج أن : cosA+cosB - cos(A+B)=3\2

الآن نفرض دالة فى A , b   بحيث :

f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll

اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ A
ثم اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ B
ومن ثم مساواة كلاً منهم بالصفر وحلهم
معاً ينتج لنا النقاط الحرجة للدالة .


f'A = sinA + sin(A+B)     ..ll

f'B = -sin(B) + sin(A+B)    ..ll

f'A = f'B = 0  ومنها نحصل على ان :

sinA = sinB = sin(A+B)    ...ll

نأخذ أولاً الحالة sinA = sinB فنحصل منها على

A=B   أو  A = 180 - B وهذا الحل مرفوض لأنه اذا تحقق

يكون A+B = 180  مما يعنى ان الشكل ليس مثلثاً أصلاً
لأن مجموع زوايا المثلث A+B+C = 0  فلا يمكن ان تكون
زاوية منهم بصفر .

ثم نأخذ الحالة الثانية مع الآخذ فى الإعتبار أن A=B

sinA = sin(A+B) = sin2A

فنحصل على انه اما A = 2A  ومنها 1 = 2 مرفوض او A = 0
مرفوض ايضاً .

واما  A = 180 - 2A  ((طبعاً لأن sin موجبة فى الربع الثانى))

ومنها  3A = 180   اذاً  A = 60

مما سبق نتأكد من أنه A=b = 60  نقطة حرجة للدالة

ينتج من خلالها أن A=B=C نقطة حرجة للدالة مما يعنى

او تساوى 3/pi بالقدير الدائرى  .

الآن ندرس ما اذا كانت قيمة عظمى ام صغرى محلية

بحيث اذا كانت المشتقة الجزئية الثانية بالنسبة لـ A
عندما A = B = pi/3  أقل من الصفر ، وكان الشرط

f'aa . fbb - f'ab² < 0  كانت قيمة عظمى محلية


f'aa = -cos(a) + cos(a+b) ...ll
f'bb = -cos(b) + cos(a+b) ...ll
f'ab = cos(a+b)   ...ll

f_aa(pi/3 , pi/3) = -1 < 0

f'aa . fbb - f'ab²  = 3/4  > 0

اذاً النقطة (pi/3  , pi/3) قيمة عظمى محلية .

فى المجال  : ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

الآن نختبر هل هى قيمة عظمى مطلقة ؟

بحيث نقارنها بنقاط حواف الدالة والنقط الركنية لها .

بحيث تكون النقاط هى :

ll   (0 , B) ..ll    B from 0 to pi

ll   (A , 0)   ll   A  from 0 to pi

ll   (pi ,B)   ll   B  from 0 to pi

ll  (A , pi)   ll   A  from 0 to pi

أولاً نجرب النقاط الركنية ومنها النقطة (0 ، 0)

فى الدالة : f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll


f(0,0) = f(0,pi) = f(pi,0) = 1

f(pi , pi) = -3

 f(0,B) = f(A,0) 1  من اجل ,b , A فى الفترة (0 ، pi)


f(pi,B) = 2cosB - 1 ≤ 1  من أجل B فى الفترة (0 ، pi)

f(ِِA,pi) = 2cosA - 1 ≤ 1 من أجل A فى الفترة (0 ، pi)

فى حين أننا اذا ما عوضنا بالنقطة الحرجة (pi/3 , pi/3)

f (pi/3 , pi/3) = 3/2

اذاً  (pi/3 , pi/3) قيمة عظمى مطلقة للدالة فى
المجال ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

اذاً : cosA+cosB+cosC=3\2 

اذا واذا فقط  A=B=C = pi/3

او 60 درجة بالقياس الستينى .


اذاً المثلث متساوى الأضلاع .

تابع القراءة

3 اوجد sinx و cosx اذا علمت ان 3cosx+4sinx=5

3cos(x) + 4sin(x) = 5

نفرض ان tanx = a

ولكن tanx تساوى المقابل على الجاور (فى مثلث فيثاغورث)

يمكنك رسم المثلث بحيث يكون الضلع المقابل a
والمجاور 1  فيكون طول الوتر = جذر(a² + 1)

sin تساوى المقابل على الوتر
cos تساوى المجاور على الوتر

sinx = a/sqrt(a² + 1)        "1"..ll

cosx = 1/sqrt(a² + 1)       "2" ..ll

بالتعويض فى المعادلة الأصلية :-

ll      3/sqrt(a²+1) + 4a/sqrt(a²+1) = 5

اصبحت معادلة عادية تحتوى على a فقط .

الآن وحد المقامات ..

ll                    (4a+3)/sqrt(a²+1) = 5


ll                4a+3 = 5sqrt(a²+1)    ..lll


بتربيع الطرفين :

16a² + 24a + 9 = 25a² + 25


25a² - 16a² - 24a + 25 - 9 = 0

9a² - 24a + 16 = 0

نلاحظ ان المقدار ثلاثى مربع كامل .
لأن الحد الأوسط = جذر الأول×الثانى×2

ll (3a - 4)² = 0

ومنها  :

3a - 4 = 0

3a = 4

a = 4/3

بالتعويض ..

tanx = a = 4/3

اذاً الضلع المقابل = 4

الضلع المجاور = 3

بإستخدام علاقة فيثاغورث لإيجاد طول الوتر نجده = 5

sinx = المقابل على الوتر

cosx = المجاور على الوتر

sinx = 4/5

cosx = 3/5‏

...................................................................
حل آخر :-

3cosx+4sinx=5  بقسمة الطرفين على 5

ll                     3/5cosx + 4/5sinx = 1 

الآن إستعمل المتطابقة cos(x - a) = cosx cosa + sinx sina

ضع cosa = 3/5   و sina = 4/5  بقسمة sin على cos ينتج tan

tana = 4/3  ومنها a = tan^-1(4/3)    ..l

يعنى الظل العكسى لـ 4 على 3  .

هذا يعنى أن :

ll              cos(x - tan^-1(4/3)) = 1


اذاً : ll    x - tan^-1(4/3) = cos^-1(1)   ..ll

ولكن الجيب العكسى لـ 1 هو 0 لأن جتا0 = 1


اذاً : ll              x - tan^-1(4/3) = 0

ومنها ll        x = tan^-1(4/3)       ..ll


اذاً :        tanx = 4/3

ومن ثم يمكنك رسم مثلث فيثاغورث وتعيين
المقابل بحيث يكون 4 والمجاور يكون 3
ثم عين الوتر = جذر(4² + 3²) = 5

sinx = 4/5    و     cosx = 3/5

وبصفة عامة تستطيع أن تحل هذا النوع من
المسائل فى لمح البصر ... كيف ؟

أنظر ال معاملات كلاً من cos و sin و الحد المطلق

لتجد أن مربع 3 + مربع 4 = مربع 5

اذا تحقق هذا الشرط فإن sin
تساوى معاملها على الحد المطلق
و cos تساوى معاملها على الحد المطلق .

نظرية : ( واستطيع ان اثبتها لك )

من أجل a , b , c أعداد حقيقية بحيث :

a cosx + b sinx = c

فإن : cosx = a/c  و sinx = b/c

اذا وفقط اذا كان a² + b² = c²

تابع القراءة

1 إثبت صحة المتطابقات المثلثلية الآتية

اثبت ان :
(جتاجـ - جاجـ)² =1 - جا2جـ

‏****************************
الطرف الايمن = (جتاجـ - جاجـ)²

= جتا²جـ + جا²جـ - 2جاجـ جتاجـ

= 1 - جا2جـ       ( وهو المطلوب )


░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اثبت أن ::جتا 2 أ على 1+جا 2أ= 1-ظا أ على 1+ظا أ

‏****************************
الحل :
                           جتا2أ
الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــــــــ
                          1+جا2أ


         جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        1 + 2جاأ جتاأ

ولكن يمكن تعريف 1 على انه جا²أ + جتا²أ


            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      جتا²أ + 2جاأ جتاأ + جا²أ

            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²

لماذا ؟؟ لأن المقام اصبح مربع كامل ..
الآن نقوم بتحليل البسط ( فرق مربعين )

      (جتاأ + جاأ) (جتاأ - جاأ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²


          جتاأ - جاأ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ    ( بعد الإختصار )
         جتاأ + جاأ

(( وأخيراً بقسمة البسط ، والمقام على جتاأ ))

       1 - ظاأ
= ــــــــــــــــــــــ = الطرف الايسر ( وهو المطلوب )
      1 + ظاأ

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اذا كان جاس+جتاس = 1/جذر(2)..اوجد قيمة جا2س
الحل:
                                1
       جاس+جتاس = ــــــــــــــ
                            جذر(2)

بتربيع الطرفين :
                                               1
جتا²س+جا²س + 2جاس جتاس = ـــــــــــ
                                               2

                     1
1 + جا2س = ــــــــــ
                     2

وهذا معناه ان : جتا2س = ½ - 1 = -½

تابع القراءة

4 ما هى اهم القوانين ايجاد مساحة المثلث

له قوانين كثيرة، ويستطيع اى فرد لديه معرفة جيدة بالرياضيات
ان يخترع قانون، او عدة قوانين كلها تقود الى الحصول على
مساحة المثلث ..

مساحة المثلث = ½ طول القاعدة × الإرتفاع
مساحة المثلث القائم = ½ حاصل ضرب طول ضلعى القائمة
مساحة المثلث الذى اطوال اضلاعه أ َ ، بَ ، جـَ
= ½ أ َ بَ جاجـ = ½ جـَ بَ جاأ = ½ أ َ جـَ جاب

مساحة المثلث بدلالة اطولا اضلاعه ( صيغة هيرون )


المساحة ( م ) = جذر [ح(ح - أ َ ) ( ح - ب َ ) ( ح - جـ َ ) ]


                                               أ َ + ب َ + جـ َ
حيث ح = محيط المثلث / 2  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ح
                                                     2

▓▓ مساحة المثلث بدلالة متوسطاته ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال متوسطاته س ، ص ، ع

     4
= ــــــــــ جذر [ح (ح-س) (س-ص) (ح-ع)]
     3

               مجموع متوسطاته          س+ص+ع
حيث  ح = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
                        2                           2



▓▓ مساحة المثلث بدلالة ابعاد ارتفاعاته ..! ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال ارتفاعاته ع1 ، ع2 ، ع3

                                               1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جذر[(1/ع1+1/ع2+1/ع3)(-1/ع1+1/ع2+1/ع3)(1/ع1-1/ع2+1/ع3)(1/ع1+1/ع2-1/ع3)]

وهناك المزيد ، والمزيد ... 

تابع القراءة

0 اثبت ان : 8جا10جا50جا70=1

 الإثبات : اولاً نقوم بتحليل
جا10جا50جا70

لكن لا تنسى ان : جاس = جتا(90-س)
وان : 2جاس جتاس = جا2س

= جتا(90-70) جتا(90-50) جتا(90-10)

= جتا(20) جتا(40) جتا(80)

بنقوم بالضرب فى 2جا(20) ثم القسمة
عليها مرة أخرى ..

         1
= ـــــــــــــــــ [2جا(20) جتا(20) جتا(40) جتا(80)]
    2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(80) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(80) جتا(80)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(160)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)

لأن جا(160) = جا(180 - 160) = جا(20)
جا( الزاوية ) = جا الزاوية المكملة لها .. تابع


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)


اختصر جا(20) مع جا(20) يتبقى لك ⅛

وبضرب ⅛ × 8 = 1

وهو المطلوب ..

تابع القراءة

0 اثبت ان جا(5س) = 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)

يعتمد الإثبات فى الأساس على قانون مجموع زاويتين لدالة الجيب، وايضاً قانون ضعف الزاوية
والقانون :  جتا²س = 1 - جا²س ،  ... الخ

جا(5س) = جا(4س+س) = جا4س جتاس + جتا4س جاس

= 2جا2س جتا2س جتاس + جتا4س جاس

 = 2جاس جتا²س جتا2س + جاس (جتا²(2س) - جا²(2س) )

= 4جاس جتا²س [1 - 2جا²س] + جاس [(1 - 2جا²س )² - 4جا²س جتا²س]

= 4 جاس ( 1 - جا²س) (1 - 2جا²س) + جاس [ 1 - 4جا²س  + 4جا^4(س) - 4جا²س (1 - جا²س) ]

= 4 جاس [2جا^4(س) - 3جا²س + 1 ]  + جاس [ 1 - 4جا²س + 4جا^4(س) - 4جا²س + 4جا^4(س) ]

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس + جاس ( 8جا^4(س) - 8جا²س + 1)

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس +  8جا^5(س) - 8جا³س + جاس

= 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)

تابع القراءة

1 اثبت ان نها(س←0 ) جاس/س = 1

بالنظر الى الرسم نجد ان فى دائرة الوحدة طول الضلع
المقابل للزاوية س هو جاس، حيث س قياس الزاوية
بالتقدير الدائرى، وهذا معناها ان القوس الذى يحمل
الزاوية = س ( بالتقدير الدائرى )

سنركز على ثلاث علاقات وهما مساحة المثلث
المتساوى الساقين، ومساحة القطع الدائرى
ومساحة المثلث القائم الكبير ..

حيث ان مساحة المثلث المتساوى الساقين اقل من مساحة القطع الدائرى
اقل من مساحة المثلث القائم ..

اولاً : مساحة المثلث المتساوى الساقين = ½ جاس
ثانياً : مساحة القطع الدائرى = ½س
ثالثاً : مساحة المثلث القائم = ½ ظاس

اذاً :  ½جاس < ½س < ½ظاس بقسمة جميع الاطراف على ½

جاس < س < ظاس     بقسمة جميع الاطراف على جاس

         س        ظاس
1 < ــــــــــــ < ــــــــــــ
       جاس       جاس

لاحظ ان ظاس / جاس = 1/جتاس



         س           1
1 < ــــــــــــ < ــــــــــــ       عندما نقلب جميع الاطراف نغير علامات التباين
       جاس       جتاس

         جاس
1 > ـــــــــــــــــ > جتاس
          س

ثم لاحظ ان جتاس  تقترب من الواحد الصحيح كلما اقتربت س من الصفر
اذاً :

         جاس
1 > ـــــــــــــــــ > مقدار يتقرب جداً من الواحد الصحيح
          س

                       جاس
اذاً : نهــــــــــا ــــــــــــــــــــ = 1
     س←0           س

تابع القراءة