ما هي أهمية الأعداد العقدية ؟

لا ادرى من اين ابدأ، ولا تعجب اذا قلت لك لولا الأعداد
العقدية لما شاهدت هذا التطهور الهائل فى الرياضيات
الحديثة .. لآخذك الآن الى منحى بعيداً لكننا اذا تأملنا
فيه جيداً تجده قريب كل القرب .. السؤال هو :
هل يقود الخيال احياناً الى الى تصور الحقيقة ؟
هذا سؤال ليس مجرد سؤال تافه فحسب لكنه
يستلزم قضية هامة جدا ً فى الرياضيات وهى
الإنتقال من الخيال العلمى الى الحقيقة العلمية .

فإذا تطرقنا الى الخيال العلمى بإعتباره همزة الوصل
بين اللاحقيقى والحقيقى، فإننا بلا شك ندرك انه
بدون الخيال العلمى لما توصلنا الى هذه الحقيقة !

الآن اذا طلبت منك حل المعادلة : س² + 1 = 0
ستقولى ان س² + 1 = 0  تقتضى ان :س² = -1
تقتضى ان س =±جذر(-1)

الآن : لا يوجد عدد حقيقى اذا ربعته تكون النتيجة
سالبة .. نستنتج ومباشرةً ان جذر(-1) لا تنتمى
الى مجموعة الأعداد الحقيقية .. انت امام امر
من امرين اما تقول ان النتيجة فاى .. او ان توسع
من مجموعة الأعداد لتكون المجموعة الحقيقية
مجموعة جزئية فى تلك المجموعة ، وتسمى
مجموعة الأعداد العقدية، وهى تتألف من جزئين
جزء حقيقى، وجزء تخيلى :: مثل 1 + 2ت
هنا الجزء الحقيقى 1 ، والجزء التخيلى 2
حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

هذا العدد يتميز بأن مربعه عدد سالب .
ت = جذر(-1)   ، ت² = -1  ، ت³ = -ت ، ت^4 = 1

الآن : س² + 1 = 0  فإن : س² = -1  ، ومنها

س = ±جذر(-1) = ±ت   بالتعويض..

(±ت)² + 1 = -1 + 1 = 0

ومن الجدير بالذكر أن ريتشارد فاينمان قد نعت
 صيغة أويلر قائلاً عنها: "جوهرتنا" و "واحدة من
 أبرز الصيغ وأكثرها إدهاشًا في كل الرياضيات"

هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

حيث ان : هـ = العدد النيبيرى ≈ 2.71
والجزء التخيلى منها هو جاس .
بحيث ان الصورة المثلثية للعدد العقدى تكون
على الصورة :

هـ^(ت س) = ل(جتاس + ت جاس)

حيث ل = سعة العدد المركب .

مثال : 3 + 2ت
ل = جذر[(3)² + (2)²] = جذر(13)

◄ ادت الحاجة لظهور الأعداد العقدية الى عجز
مجموعة الأعداد الحقيقية ان تحل مثل هذه
المسائل : س² + 1 = 0  فما المانع ان نقول
ان لها حل .. لكنه تخيلى ..!

◄ وهناك سؤال يشكل غاية فى الخطورة، هل تستطيع
ان تتخيل كتابة هذا العدد جذر(2)    ؟؟
كل ما هنالك تقول جذر(2) هو عدد ما بين 1.41 ، 1.42
لكنك لا تستطيع ( الا ما لانهاية ) ان تحدد بالظبط ما هو .
ومع ذلك فإستعمال الأعداد النسبة تستعمل وبكثرة
فى الرياضيات .

والآن ما رأيك : هـ^(ت ط) + 1 = 0    ؟

حيث : هـ ≈ 2.71   ، ط ≈ 3.14

آمل ان اكون قد وفقت بعض الشىء فى الإجابة على
سؤالك ( لأن اجابة السؤال اطول من ان نذكرها هنا
وتضم من الأفكار ، والعبارات الكثير .. والكثير )