بعد كم دقيقة يتقابل الثلاثة معاً .. ؟

يدور ثلاثة أشخاص في مسار دائري
الأول يتم الدورة كاملة في 12 دقيقة
والثاني في 30 دقيقة
والثالث في 45 دقيقة
فعند كم دقيقة يلتقون الاشخاص الثلاثة ؟
علما ان نقطة الانطلاق للاشخاص الثلاثة هي واحدة .

لنضع :
           1
الأول : ــــــــــ / دقيقة ( اى يقضى 1÷12 من الدائرة
          12                  فى الدقيقة الواحدة )

             1
الثانى : ــــــــــــ / دقيقة
             30

              1
الثالث : ـــــــــــــــ / دقيقة
             45

ثم بعد س دقيقة تقابلوا معاً :

 س           س          س
ــــــــــــ ، ــــــــــــــ ، ــــــــــــ
 12          30            45

المضاعف المشترك الأصغر لـ (12 ، 30 ، 45)
يحدد اول نقطة تلاقى لهم، ثم باقى المضاعفات
تحدد بقية نقاط التلاقى .. المهم

12 = (2)² × 3
30 =   2  × 3 × 5
45 =       (3)² ×5    

اذاً المضاعف المشترك الاصغر = 45×4 = 180

اى بعد 180 دقيقة .. ثم 180 ن

حيث ن = {1 ، 2 ، 3 ، ....}

ْ░░ الخطوات المنطقية للحل ░░

اما اذا اردت الخطوات المنطقية، لأنه قد يسأل سائل

وكيف علمت ان المضاعف المشترك الاصغر لهذه الأعداد

يحقق عدد الدقائق عند او نقطة تلاقى، فهذا وان دل

فإنما يدل على انهم لابد ان يتقابلوا فى نفس النقطة البدء ..!

والسؤال هنا هل يمكن لعدد الدقائق ان يكون عدد، وكسر ؟؟

من جهة أخرى .. هل يمكن ان يتلاقوا فى نقطة تمثل كسر

من دائرى ؟؟ .. والإجابة على السؤال تتلخص بالآتى .. والبرهان

بالتناقض .. لنفرض انهم تقابلوا فى نقطة تمثل جزء من دائرة

، فيكون يدينا النظام الآتى :

    س

ــــــــــــــــ = أ + ث       ..(1)

    12

    س 

ـــــــــــــــ = ب + ث      ..(2)

    30

    س

ـــــــــــــــ = جـ + ث     ..(3)

    45

حيث كلاً من أ ، ب ، جـ  ، اعداد صحيحة ،ث عدد نسبى او غير نسبى

حتى لكنه ثابت  ( بالفرض )  .. الآن من خلال تلك الأنظمة

نستنتج انه _ ومباشرةً _ 

12(أ+ث) = 30(ب+ث) = 45(ب+ث)

بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد

وهو : 3

4(أ+ث) = 10(ب+ث) = 15(ب+ث)

بتوزيع الأعداد على الأقواس ..

4أ+4ث = 10ب+10ث = 15ب+15ث

الآن بحذف 4 ث من جميع الأطراف الثلاثة .. فينتج

4أ = 10ب+6ث = 15ب+11ث

ولكن أ عدد صحيح ( بالفرض ) وهذا يؤدى الى ان

4أ ايضاً عدد صحيح .. ولكن هذا يناقض الفرض ان

ث عدد ( نسبى او غير نسبى ) .. اذاً ث ايضاً

عدد صحيح .. من خلال ذلك ينتج انه اما ث

عدد صحيح ، واما ث عدد صحيح لكنه معدوم

اى لا اهمية له، فقط تعرفنا على انه لابد من ان 

يتلاقوا عند نفس نقطة البدء .. وهذا بدوره يؤدى الى :

ان كلاً من :

   س           س            س

ـــــــــــــ ، ـــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــ

   12            30            45

هى عبارة عدد دورات ( اعداد صحيحة )

اى تقبل القسمة بدون باقٍ .. لذلك فإن

اول نقطة تلاقة ( عند نفس نقطة البدء )

بعد عدد دقائق ( صحيح ) وليكن س ، وتكون

س هى المضاعف المشترك الأصغر لهذه

الأعداد : (12 ، 30 ، 45) .. م.م.أ = 180