اهم قوانين التفاضل والإشتقاق 2 ثانوى مع ضرب أمثلة

الإشتقاق هو معدل تغير الدالة عند اى نقطة
قابلة للإشتقاق فيها .. اول قانون من قواعد الإشتقاق
هو قانون معدل التغير .. بالنسبة لـ تغير س ..

                                  د(س+هـ) - د(س)
معدل التغير = نهــ ـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  هـ← 0                هـ

من اهم قواعد الأإشتقاق على الإطلاق هى قاعدة chain rule
المفهوم البسيط منها يقتضى انه اذا كانت ص = [د(س)]^ن

فإن : صَ = ن [د(س)]^(ن-1) × دَ(س)

القاعدة الثانية هى قاعدة حاصل الضرب ( product rule )

اذا كانت ص = د(س) ر(س)

حيث د(س) ، ر(س)  ≠ 0

صَ = دَ(س) ر(س) + رَ(س) د(س)

او بالمختر = 
مشتقة الأول  × الثانى + مشتقة الثانى  × الأول

القاعدة الثالثة ، والمشتقة من القاعدة السابقة
، وهى قاعدة اشتقاق حاصل قيمة دالتن ( Quotient rule)

                          د(س)
اذا كانت : ص = ـــــــــــــــــــــــــــ
                          ر(س)

               دَ(س) ر(س) - ر(س) د(س)
فإن : صَ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           [ر(س)]²


        مشتقة البسط × المقام - مشتقة المقام × البسط
او : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           مربع المقام
▓ اليك بعض الأمثلة ▓

د(س) = س² + 1

دَ(س) = 2س

حيث ان مشتقة الثابت = 0

مثال 2) د(س) = س³ + 2س + 4

دَ(س) = 3س² + 2

تم تطبيق اعدة chain rule ، وعرفنا ان مشتقة 4 = 0

مثال 3) د(س) = س³ س²

دَ(س) = 3س² س² + 2س س³

تم تطبيق قاعدة الضرب product rule 

نرتب ما سبق : دَ(س) = 3س^4 + 2س^4
= 5 س^4

                       س^4 + 3
مثال 4) د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                         س + 1


            4س³ - (س^4 + 3)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  (س+1)²


ملاحظة : رمز المشتقة الأولى يرمز له كـ َ مثلاً دَ(س)
وكذلك نعبر عنه بـ

                       دص
                    ــــــــــــ
                      دس

والمقصود منها معدل تغير ص / معدل تغير س
النهـايات ..

نظرية (1) نهــــــــا د(س) = د(أ)
           س←أ

بمعنى اذا وجدت نهاية فإننا نعوض بـ س = أ
تعويض مباشر فى الدالة، والكمية تكون معينة
فى هذه الحالة ..

نظرية (2) اذا كانت : نهــــــاد(س)  = 0/0
                        س←أ

فإن الناتج لم يتعين، ويتطلب اختزال العامل
الصفرى بسطاً ومقاماً، وهو  (س-أ)
وبعد اختزال العامل الصفرى تعطى دالة جديدة
تماماً، ولتكن هى : ق(س)
فإن النهاية = ق(أ)

                              جذر[ق(س)]
نظرية (3) اذا كان نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــ
                     س←أ       ر(س)

تعطى كمية غير معينة 0/0 مثلاً ..
فإننا نقوم بالضرب فى مرافق الجذر
مثال : اذا كانت الدالة تحتوى فى المقام
جذر(س²+1) - 1

فإننا نضرب بسطاً ومقاماً فى :
جذر(س²+1) + 1

الى ان يظهر العامل الصفرى فى البسط
والمقام/ وهو (س - أ)

نظرية 4)

          س^ن أ^ن        ن
نهــــــا ـــــــــــــــــــــــــ = ــــ × أ^(ن-م)
س←أ    س^م - أ^م       م


نظرية(5)  اذا كان :
             ق(س)
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = 0/0
س←أ    (س - أ) [ر(س)]

والعامل الصفرى ظهر فى المقام فقط
، ق(س) = حدودية
=أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ

نستخدم القسمة المطولة بقسمة
حدودية البسط على العامل الصفرى
هكذا ..


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ    |(س-أ)
                                               ــــــــــــــــ
.
.
.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الى  ...   0000


►نهاية الدوال المثلثية عند الصفر ◄

          جاس
نهــــــا ـــــــــــ = 1
س←0   س

            ظاس
نهـــــــا  ـــــــــــــ= 1
س←0     س

        جتاس - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــــ = 0
س←0      س

وبتعميم القاعدة ...

           جاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــ
س←0    ب س       ب


            ظاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــــ
س←0     ب           ب


نهـاية دالة عند اللانهاية ..

نظرية1)
              أ
نهــــــا   ــــــــــ = 0
س←∞   س

حيث أ ثابت

نظرية2)
           س
نهــــــــا ـــــــــــ = ∞
س←∞    أ


نظرية3) اذا كانت ن > م

           س^ن
نهـــــــا ـــــــــــــ = ∞
س←∞  س^م

              س^م
، نهــــــــا ـــــــــــــــ = 0
س←∞    س^ن


نظرية4) اذا كانت

            ق(س)
نهــــــــا ــــــــــــــــ = ∞/∞
س←∞   ر(س)

كمية غير معينة، فإننا نقوم بتعيين الناتج
بالقسمة بسطاً، ومقاماً على س مرفوعة
لأكبر اس فى المقام ..
.....................................................
تستطيع ان تطرح مشتقة دالة
معينة ونتناقش فيها اذا اردت ذلك .
تستطيع ايضاً ان تذكر نقاط ضعفك
فى التفاضل، او بعيداً عن التفاضل
مثل توزيع البسط على المقام
فى حالة الدالة الكسرية، مثل
تبسيط بعض الدوال قبل اشتقاقها
، وايضاً يلزمك بعض طرق التحليل
مثال :
                  س² - 1
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
                   س+1

هل نحن بحاجة الى تطبيق قاعدة القسمة ؟؟
بالطبق ممكن لكن الافضل هو تبسيط الدالة
قبل الإشتقاق ..

            (س+1) (س - 1)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 (س+1)

بإختصار القوس (س+1)

د(س) = س - 1  هكذا اصبحت من الدرجة الأول ( خطية )

الميل = معامل س = 1  = المشتقة  الأولى للدالة ..


مثال آخر : د(س) = (س+1)²

هناك قاعدة تقول : مشتقة قوس يحتوى دالة
= مشتقة القوس  × مشتقة ما داخل القوس

دَ(س) = 2(س+1)  ×  1

نلاحظ ان مشتقة ما داخل القوس = 1

دَ(س) = 2(س+1)

نريد ان نوجد المشتقة الأول لهذه
الدالة عندما س = 0   مثلاً ، بالتعويض

دَ(0) = 2 (0+1) = 2(1) = 2

►
شرح الوحدة الخاصة بتوحيد المقامات ◄
بالنسبة للمرحلة المتوسطة ( الإعدادية )

ولنبدأ بمثال بسيط جداً لا يتطلب قاعدة
لحساب مجموعه ..

   1           1
ـــــــــــ + ــــــــــ = 1
   2          2

جمعنا البسط مباشرةً لأن المقامات موحدة
مثال آخر :

  1            1            3
ــــــــــ + ــــــــــــ = ـــــــــــــ
  2           4             4

هذا مثال سهل لا يحتاج حتى لتوحيد
المقامات حيث انك تستطيع ان تتخيل شكل
عبارة عن دائرة قسمة اربعة ارباع نصف، وربع
= ثلاثة ارباع الشكل ( كل هذه صور ذهنية )
الآن نريد ان نحل بالطريقة العملية ، انت امام
طريقتين لتوحيد المقامات الأولى منطقية
صورية، والثانية عبارة عن افكار مجردة غير مفهومة
المعنى .. الطريقة الأول :-

   1            1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نعلم ان المقام 2 اقل من المقام
4 ، ماذا تفعل لكى نجعل المقام
فى بالنسبة للكسر الأول  4  ؟؟
بالضرب بسطاً ومقاما فى 2
نأخذ الكسر على حدى للتضويح

                   1            1          2          2
هذا الكسر : ــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = ـــــــــ
                   2           2           2          4

ما الذى حدث ؟؟ الذى حدث هو اننا ضربنا
ضربنا المقدار فى 1 .. كيف ؟؟
لاحظ ان 2 / 2 = 1 اذاً هذه الخطوة لا تؤثر
فى قيمة الكسر نفسه، فقط من اجل توحيد
المقام .. بالعودة للمثال السابق ..

   1           1            2           1
ـــــــــــ + ـــــــــــ = ـــــــــــ + ـــــــــــ
  2           4            4           4

بما ان المقامات مو حدو، فنقوم بجمع البسط ..

      3
= ـــــــــــ
      4


الطريقة الأخرى هى بعدما فهمت الطريقة الأول
للحفظ ( انصحك بحفظها )

   1           1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نقوم بضرب المقامين ، ثم بطريقة المقص
حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين

       (1×4) + (1×2)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (2 × 4)

         4 + 2
= ـــــــــــــــــــــــــ
           8


       6              3
= ـــــــــــــــ = ــــــــــــ
       8              4


اختصرنا 6 مع 8 حيث ان هناك
عامل مشترك بينهما، وهو 2
تم التخلص منه بسطاً، ومقاماً ..


طرح الكسور ..

    أ            جـ
ــــــــــــــ - ــــــــــــــــ
  ب             د


     (أ × د) - (ب × جـ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            ب × د

امثلة أخرى اعجبتنى ..

اوجد معدل التغير للدالة د بحيث
د(س) = جذر(س+3) عند س=1
ومن ثم اوجد قياس الزاوية التى
يصنعها المماس لمنحنى الدالة
د عند :
                   -11
         س = ــــــــــ
                    4

فى الإتجاه الموجب لمحور السينات ... الحلـــــــــ

د(س) = جذر(س+3)  بالتحويل الى الصورة الاسية

د(س) = (س+3)^½ بتطبيق قاعدة chain rule

دَ(س) = ½(س+3)^-½

دَ(1) = ½(1+3)^-½ = ½(4)^-½

                                           1
= ½ × جذر(4)^-1 = ½ × جذر(ـــــــ)
                                          4

= ½ × ½ = ¼

المطلوب الثانى لكى نوجد الزاوية التى يصنعها المماس
نعوض ايضاً فى المشتقة، ثم نوجد الميل بطريقة
ظاهـ = الميل  حيث هـ الزاوية المحصور بين معادلة المماس
ومحور السينات فى الإتجاه الموجب له ..

    -11              -11
دَ(ـــــــــــ) = ½(ــــــــــ + 3)^-½
     4                4

بتوحيد المقامات داخل القوس، كالتالى
( سأذكر هذه الخطوة اولاً ..)
ما داخل القوس هو :

 - 11           3       (1×-11) + (3×4)
ـــــــــــــ + ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
   4             1              4 × 1

      1
= ــــــــــ
      4

لاحظ كل هذه الخطوات تتم ذهنيا، وضعتها
من اجل التوضيح فقط، ولا داعى لكتابتها
فى ورقة الإمتحان .. عرفنا ان ما داخل
القوس = ¼ بالتعويض

المشتقة = ½(¼)^-½

= ½ جذر(¼)^-1 = ½جذر(4)

= ½ × 2 = 1

وهنا ملحوظة هامة جداً جذر(¼)^-1
لكى نلغى الأس السالب نقلب الكسر فقط ..

الآن الميل عندما س = -11 / 4  هو 1

الميل = ظاهـ = 1

ما هى الزاوية التى ظلها = 1 ؟؟
على الآلة اضغط shift tan (1) =         ll
بنظام الرديان الزاوية = ط/4
بالنظام الستينى الزاوية = 45 ْ