• Math background
  • Math background
  • Mathematics background
  • Mathematics background
  • Fundamentals of Statistics
  • Math graphics free wallpaper in free desktop
  • stock vector : math background
  • Math background, discrete math
  • Free Math Background for Powerpoint Slides
  • Royalty-Free (RF) Clipart Illustration of a Math
  • Mathematica -photos of some famous historical figures
  • binary system
  • Pascals triangle.
  • Conic section
  • Welcome to mathematics
  • Taylor polynomials and Taylor series -
  • ... theory of Taylor series to show that the
  • The Unit Circle
  • Graphs of the functions sin(x) and cos(x),
  • GOne of the applications of the zeta function
  • Taylor Series Approximation Illustrated
  • Matematik eğitiminin sağlıklı
  • crazy math(12)
  • crazy math(11)
  • crazy math(10)
  • crazy math(9)
  • crazy math(8)
  • crazy math(7)
  • crazy math(6)
  • crazy math(5)
  • crazy math(4)
  • crazy math(3)
  • crazy math(2)
  • crazy math(1)
  • Mickeys ears are circles which are conic sections

اهم قوانين التفاضل والإشتقاق 2 ثانوى مع ضرب أمثلة

الأحد، 19 فبراير، 2012 التسميات:
الإشتقاق هو معدل تغير الدالة عند اى نقطة
قابلة للإشتقاق فيها .. اول قانون من قواعد الإشتقاق
هو قانون معدل التغير .. بالنسبة لـ تغير س ..

                                  د(س+هـ) - د(س)
معدل التغير = نهــ ـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  هـ← 0                هـ

من اهم قواعد الأإشتقاق على الإطلاق هى قاعدة chain rule
المفهوم البسيط منها يقتضى انه اذا كانت ص = [د(س)]^ن

فإن : صَ = ن [د(س)]^(ن-1) × دَ(س)

القاعدة الثانية هى قاعدة حاصل الضرب ( product rule )

اذا كانت ص = د(س) ر(س)

حيث د(س) ، ر(س)  ≠ 0

صَ = دَ(س) ر(س) + رَ(س) د(س)

او بالمختر = 
مشتقة الأول  × الثانى + مشتقة الثانى  × الأول

القاعدة الثالثة ، والمشتقة من القاعدة السابقة
، وهى قاعدة اشتقاق حاصل قيمة دالتن ( Quotient rule)

                          د(س)
اذا كانت : ص = ـــــــــــــــــــــــــــ
                          ر(س)

               دَ(س) ر(س) - ر(س) د(س)
فإن : صَ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           [ر(س)]²


        مشتقة البسط × المقام - مشتقة المقام × البسط
او : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           مربع المقام
▓ اليك بعض الأمثلة ▓

د(س) = س² + 1

دَ(س) = 2س

حيث ان مشتقة الثابت = 0

مثال 2) د(س) = س³ + 2س + 4

دَ(س) = 3س² + 2

تم تطبيق اعدة chain rule ، وعرفنا ان مشتقة 4 = 0

مثال 3) د(س) = س³ س²

دَ(س) = 3س² س² + 2س س³

تم تطبيق قاعدة الضرب product rule 

نرتب ما سبق : دَ(س) = 3س^4 + 2س^4
= 5 س^4

                       س^4 + 3
مثال 4) د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                         س + 1


            4س³ - (س^4 + 3)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  (س+1)²


ملاحظة : رمز المشتقة الأولى يرمز له كـ َ مثلاً دَ(س)
وكذلك نعبر عنه بـ

                       دص
                    ــــــــــــ
                      دس

والمقصود منها معدل تغير ص / معدل تغير س
النهـايات ..

نظرية (1) نهــــــــا د(س) = د(أ)
           س←أ

بمعنى اذا وجدت نهاية فإننا نعوض بـ س = أ
تعويض مباشر فى الدالة، والكمية تكون معينة
فى هذه الحالة ..

نظرية (2) اذا كانت : نهــــــاد(س)  = 0/0
                        س←أ

فإن الناتج لم يتعين، ويتطلب اختزال العامل
الصفرى بسطاً ومقاماً، وهو  (س-أ)
وبعد اختزال العامل الصفرى تعطى دالة جديدة
تماماً، ولتكن هى : ق(س)
فإن النهاية = ق(أ)

                              جذر[ق(س)]
نظرية (3) اذا كان نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــ
                     س←أ       ر(س)

تعطى كمية غير معينة 0/0 مثلاً ..
فإننا نقوم بالضرب فى مرافق الجذر
مثال : اذا كانت الدالة تحتوى فى المقام
جذر(س²+1) - 1

فإننا نضرب بسطاً ومقاماً فى :
جذر(س²+1) + 1

الى ان يظهر العامل الصفرى فى البسط
والمقام/ وهو (س - أ)

نظرية 4)

          س^ن أ^ن        ن
نهــــــا ـــــــــــــــــــــــــ = ــــ × أ^(ن-م)
س←أ    س^م - أ^م       م


نظرية(5)  اذا كان :
             ق(س)
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = 0/0
س←أ    (س - أ) [ر(س)]

والعامل الصفرى ظهر فى المقام فقط
، ق(س) = حدودية
=أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ

نستخدم القسمة المطولة بقسمة
حدودية البسط على العامل الصفرى
هكذا ..


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ    |(س-أ)
                                               ــــــــــــــــ
.
.
.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الى  ...   0000


►نهاية الدوال المثلثية عند الصفر ◄

          جاس
نهــــــا ـــــــــــ = 1
س←0   س

            ظاس
نهـــــــا  ـــــــــــــ= 1
س←0     س

        جتاس - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــــ = 0
س←0      س

وبتعميم القاعدة ...

           جاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــ
س←0    ب س       ب


            ظاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــــ
س←0     ب           ب


نهـاية دالة عند اللانهاية ..

نظرية1)
              أ
نهــــــا   ــــــــــ = 0
س←∞   س

حيث أ ثابت

نظرية2)
           س
نهــــــــا ـــــــــــ = ∞
س←∞    أ


نظرية3) اذا كانت ن > م

           س^ن
نهـــــــا ـــــــــــــ = ∞
س←∞  س^م

              س^م
، نهــــــــا ـــــــــــــــ = 0
س←∞    س^ن


نظرية4) اذا كانت

            ق(س)
نهــــــــا ــــــــــــــــ = ∞/∞
س←∞   ر(س)

كمية غير معينة، فإننا نقوم بتعيين الناتج
بالقسمة بسطاً، ومقاماً على س مرفوعة
لأكبر اس فى المقام ..
.....................................................
تستطيع ان تطرح مشتقة دالة
معينة ونتناقش فيها اذا اردت ذلك .
تستطيع ايضاً ان تذكر نقاط ضعفك
فى التفاضل، او بعيداً عن التفاضل
مثل توزيع البسط على المقام
فى حالة الدالة الكسرية، مثل
تبسيط بعض الدوال قبل اشتقاقها
، وايضاً يلزمك بعض طرق التحليل
مثال :
                  س² - 1
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
                   س+1

هل نحن بحاجة الى تطبيق قاعدة القسمة ؟؟
بالطبق ممكن لكن الافضل هو تبسيط الدالة
قبل الإشتقاق ..

            (س+1) (س - 1)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 (س+1)

بإختصار القوس (س+1)

د(س) = س - 1  هكذا اصبحت من الدرجة الأول ( خطية )

الميل = معامل س = 1  = المشتقة  الأولى للدالة ..


مثال آخر : د(س) = (س+1)²

هناك قاعدة تقول : مشتقة قوس يحتوى دالة
= مشتقة القوس  × مشتقة ما داخل القوس

دَ(س) = 2(س+1)  ×  1

نلاحظ ان مشتقة ما داخل القوس = 1

دَ(س) = 2(س+1)

نريد ان نوجد المشتقة الأول لهذه
الدالة عندما س = 0   مثلاً ، بالتعويض

دَ(0) = 2 (0+1) = 2(1) = 2


شرح الوحدة الخاصة بتوحيد المقامات ◄
بالنسبة للمرحلة المتوسطة ( الإعدادية )

ولنبدأ بمثال بسيط جداً لا يتطلب قاعدة
لحساب مجموعه ..

   1           1
ـــــــــــ + ــــــــــ = 1
   2          2

جمعنا البسط مباشرةً لأن المقامات موحدة
مثال آخر :

  1            1            3
ــــــــــ + ــــــــــــ = ـــــــــــــ
  2           4             4

هذا مثال سهل لا يحتاج حتى لتوحيد
المقامات حيث انك تستطيع ان تتخيل شكل
عبارة عن دائرة قسمة اربعة ارباع نصف، وربع
= ثلاثة ارباع الشكل ( كل هذه صور ذهنية )
الآن نريد ان نحل بالطريقة العملية ، انت امام
طريقتين لتوحيد المقامات الأولى منطقية
صورية، والثانية عبارة عن افكار مجردة غير مفهومة
المعنى .. الطريقة الأول :-

   1            1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نعلم ان المقام 2 اقل من المقام
4 ، ماذا تفعل لكى نجعل المقام
فى بالنسبة للكسر الأول  4  ؟؟
بالضرب بسطاً ومقاما فى 2
نأخذ الكسر على حدى للتضويح

                   1            1          2          2
هذا الكسر : ــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = ـــــــــ
                   2           2           2          4

ما الذى حدث ؟؟ الذى حدث هو اننا ضربنا
ضربنا المقدار فى 1 .. كيف ؟؟
لاحظ ان 2 / 2 = 1 اذاً هذه الخطوة لا تؤثر
فى قيمة الكسر نفسه، فقط من اجل توحيد
المقام .. بالعودة للمثال السابق ..

   1           1            2           1
ـــــــــــ + ـــــــــــ = ـــــــــــ + ـــــــــــ
  2           4            4           4

بما ان المقامات مو حدو، فنقوم بجمع البسط ..

      3
= ـــــــــــ
      4


الطريقة الأخرى هى بعدما فهمت الطريقة الأول
للحفظ ( انصحك بحفظها )

   1           1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نقوم بضرب المقامين ، ثم بطريقة المقص
حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين

       (1×4) + (1×2)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (2 × 4)

         4 + 2
= ـــــــــــــــــــــــــ
           8


       6              3
= ـــــــــــــــ = ــــــــــــ
       8              4


اختصرنا 6 مع 8 حيث ان هناك
عامل مشترك بينهما، وهو 2
تم التخلص منه بسطاً، ومقاماً ..


طرح الكسور ..

    أ            جـ
ــــــــــــــ - ــــــــــــــــ
  ب             د


     (أ × د) - (ب × جـ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            ب × د

امثلة أخرى اعجبتنى ..

اوجد معدل التغير للدالة د بحيث
د(س) = جذر(س+3) عند س=1
ومن ثم اوجد قياس الزاوية التى
يصنعها المماس لمنحنى الدالة
د عند :
                   -11
         س = ــــــــــ
                    4

فى الإتجاه الموجب لمحور السينات ... الحلـــــــــ

د(س) = جذر(س+3)  بالتحويل الى الصورة الاسية

د(س) = (س+3)^½ بتطبيق قاعدة chain rule

دَ(س) = ½(س+3)^-½

دَ(1) = ½(1+3)^-½ = ½(4)^-½

                                           1
= ½ × جذر(4)^-1 = ½ × جذر(ـــــــ)
                                          4

= ½ × ½ = ¼

المطلوب الثانى لكى نوجد الزاوية التى يصنعها المماس
نعوض ايضاً فى المشتقة، ثم نوجد الميل بطريقة
ظاهـ = الميل  حيث هـ الزاوية المحصور بين معادلة المماس
ومحور السينات فى الإتجاه الموجب له ..

    -11              -11
دَ(ـــــــــــ) = ½(ــــــــــ + 3)^-½
     4                4

بتوحيد المقامات داخل القوس، كالتالى
( سأذكر هذه الخطوة اولاً ..)
ما داخل القوس هو :

 - 11           3       (1×-11) + (3×4)
ـــــــــــــ + ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
   4             1              4 × 1

      1
= ــــــــــ
      4

لاحظ كل هذه الخطوات تتم ذهنيا، وضعتها
من اجل التوضيح فقط، ولا داعى لكتابتها
فى ورقة الإمتحان .. عرفنا ان ما داخل
القوس = ¼ بالتعويض

المشتقة = ½(¼)^-½

= ½ جذر(¼)^-1 = ½جذر(4)

= ½ × 2 = 1

وهنا ملحوظة هامة جداً جذر(¼)^-1
لكى نلغى الأس السالب نقلب الكسر فقط ..

الآن الميل عندما س = -11 / 4  هو 1

الميل = ظاهـ = 1

ما هى الزاوية التى ظلها = 1 ؟؟
على الآلة اضغط shift tan (1) =         ll
بنظام الرديان الزاوية = ط/4
بالنظام الستينى الزاوية = 45 ْ

7 التعليقات:

غير معرف يقول...

شكرا اوى اوى اوى على هذة المعلومات

غير معرف يقول...

صباح الخير
جزاك الله كل خير على المعلومات ولك جزيل الشكر ....

غير معرف يقول...

التفاضل هو فهام القوانين و التطبيق عليها مش حفظ

asn queen يقول...

نعطيكم سؤال نبي حله

asn queen يقول...

بليز اترد اعليا ناو

asn queen يقول...

Y=5/x^2-7x+5

غير معرف يقول...

هل يمكن ان تقدموا هده المعلومات بالفرنسية لانني انا ادرس الرياضيات بالفرنسية و لم افهم اي شيئ

إرسال تعليق

 
mathematics problem solving © 2010 | تعريب وتطوير : سما بلوجر | Designed by Blogger Hacks | Blogger Template by ياعرب