ما هى القواعد العامة لإكمال المربع، والمكعب ؟

أس² + ب س + جـ = 0  بطرح جـ من الطرفين

أس² + ب س = - جـ  بقسمة الطرفين على أ

           ب            -جـ
س² +(ــــــ) س = ــــــــــ  بإكمال المربع .
           أ                أ

لاحظ ان الحد الأوسط فى المربع الكامل :

الحد الأوسط = 2×جذر(الحد الأول)×جذر(الحد الثالث)

وهذه هى القاعدة العامة لإكمال المربع، وسأتحدث
عنها لاحقاً مع الإثبات، والآن بتربيع الطرفين ::::::

(الحد الأوسط)² = 4×الحد الأول×الحد الثالث

               
                   (الحد الأوسط)²
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــــــــ
                    4×الحد الأول

بالعودة الى ما كنا عليه، وهو :-

           ب             -جـ
س² +(ــــــ) س = ــــــــــ  بإكمال المربع .
           أ                أ

الآن فى الطرف الأيمن نريد الحد الثالث .

                    (ب/أ)² س²      (ب/أ)²
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
                     4× س²            4

بإضافته للطرفين ..


          ب           (ب/أ)²     -جـ       (ب/أ)²
س² +(ــــــ) س + ـــــــــ = ــــــــــ + ـــــــــــ
          أ               4           أ           4

الآن الطرف الأيمن = (جذر الأول + جذر الثالث)²
والطرف الأيسر يتم فيه توحيد المقامات ...

          ب                 ب² - 4أجـ
(س+ـــــــــــ)² = ــــــــــــــــــــــــــــــ
          2أ                     4أ²

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ..

           ب          جذر(ب² - 4أجـ)
س + ـــــــــــ = ± ـــــــــــــــــــــــــــ
           2أ                    2أ


           ب           جذر(ب² - 4أجـ)
س = ـــــــــــــ ± ــــــــــــــــــــــــــــ
           2أ                  2أ


         − ب ± جذر(ب² − 4أجـ)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      2أ

ويسمى هذا القانون بالقانون العام، ويسمى
ب² − 4أجـ  بالمميز ، بحيث اننا نعلم انه اذا
كان ما داخل الجذر سالباً فإن للمعادلة من
الدرجة الثانية حل فى مجموعة الأعداد المركبة
اما اذا كان المميز موجباً فإن للمعادلة حلين فى
مجموعة الأعداد الحقيقية، اما اذا كان المميز
بصفر فإن للمعادلة حلين متماثلين ( يعنى حل وحيد
مكرر ) .

►القاعدة العامة لإكمال المربع◄

قبل ان نتحدث عن إكمال المربع نأتى
بالمربع الكامل، وكمثال :

(س + أ)² = س² + 2أ س +  أ²

لماذا وضعناه على هذا الشكل ؟

(س + أ)² = (س + أ) (س + أ)

الآن استعمل خاصية التوزيع، بضرب س
فى القوس الثانى، ومن ثم ضرب أ فى
القوس الثانى ايضاً ..

يعنى :

(س + أ) (س + أ) = س(س+أ) + أ(س+أ)

= س² + أس + أس + أ²

= س² + 2 أس + أ²

وهذه هى الصورة العامة لنشر المربع الكامل .

مثال : (س + 1)² = س² + 2س + 1

ولكن هذا عن النشر .. فماذا عن تحليل المربع
الكامل ؟

الآن : س² + 2 أس + أ² = (س+أ)²

ما الذى حدث ؟؟

تم أخذ جذر الأول وهو جذر(س²) = س
تم أخذ جذر الثالث وهو جذر(أ²) = أ
ومن ثم وضعنا التربيع على القوس
لكن ماذا عن الحد الأوسط ؟
ربما لاحظت ان الحد الأوسط هو ضعف
 حاصل ضرب جذرى الحد الأول، والحد الثالث .

►خصائص المربع الكامل◄      

1) الحدين الأول، والثالث موجبين معاً او سالبين معاً.
2) الحد الأوسط = 2×جذر(الحد الأول)×جذر(الحد الثالث)

مثال : س² + 2س - 1  ليس مربع كامل لأن
الحد الثالث سالب، وعند اكمال المربع نضف 1
ثم نطرحه ..

س² + 2س + 1  - 2

= (س+1)² - 2


►المكعب الكامل◄

(س+أ)³ = (س+أ) (س+أ)²

= (س+أ) (س² + 2س + أ)

= س(س² + 2س + أ)+أ(س² + 2س + أ)

وبعد استعمال خاصية التوزيع على القوس، وجمع
الحدود المشابهة ... تصل الى :-

= س³ + 3أس² + 3أ²س + أ

ملحوظة : كان من الممكن النشر بذات الحدين .

الآن اريدك ان تحفظ الطريقة ...

(س+أ)³ = معكب الأول + مربع الأول × الثانى × 3
     + مربع الثانى × الأول × 3  + مكعب الثالث

►إكمال المكعب◄

هذا هو القانون العام لإكمال المكعب ::

الحد الثانى = 3أس²
الحد الثالث = 3أ²س

مثال: س³ + 3س² + 3س + 1 = (س+1)³

مثال:2) س³ + 4س² + 12س + 8

هنا الحد الثانى من المفترض ان يكون :
3×(الجذر الثالث لـس³ )² × الجذر الثالث لـ 8
اى من المفترض ان يكون 6س²

الحد الثالث = 3×الجذر الثالث لـ(س)
×(الجذر الثالث لـ 8)²، وهو كما هو 12س

س³ + 4س² + 12س + 8

بإضافة وطرح 2س²

س³ + 6س² + 12س + 8  - 2س²

= (س+2)³ - 2س²