إثبت صحة المتطابقات المثلثلية الآتية

اثبت ان :
(جتاجـ - جاجـ)² =1 - جا2جـ

‏****************************
الطرف الايمن = (جتاجـ - جاجـ)²

= جتا²جـ + جا²جـ - 2جاجـ جتاجـ

= 1 - جا2جـ       ( وهو المطلوب )


░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اثبت أن ::جتا 2 أ على 1+جا 2أ= 1-ظا أ على 1+ظا أ

‏****************************
الحل :
                           جتا2أ
الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــــــــ
                          1+جا2أ


         جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        1 + 2جاأ جتاأ

ولكن يمكن تعريف 1 على انه جا²أ + جتا²أ


            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      جتا²أ + 2جاأ جتاأ + جا²أ

            جتا²أ - جا²أ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²

لماذا ؟؟ لأن المقام اصبح مربع كامل ..
الآن نقوم بتحليل البسط ( فرق مربعين )

      (جتاأ + جاأ) (جتاأ - جاأ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (جتاأ + جاأ)²


          جتاأ - جاأ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ    ( بعد الإختصار )
         جتاأ + جاأ

(( وأخيراً بقسمة البسط ، والمقام على جتاأ ))

       1 - ظاأ
= ــــــــــــــــــــــ = الطرف الايسر ( وهو المطلوب )
      1 + ظاأ

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اذا كان جاس+جتاس = 1/جذر(2)..اوجد قيمة جا2س
الحل:
                                1
       جاس+جتاس = ــــــــــــــ
                            جذر(2)

بتربيع الطرفين :
                                               1
جتا²س+جا²س + 2جاس جتاس = ـــــــــــ
                                               2

                     1
1 + جا2س = ــــــــــ
                     2

وهذا معناه ان : جتا2س = ½ - 1 = -½