• Math background
  • Math background
  • Mathematics background
  • Mathematics background
  • Fundamentals of Statistics
  • Math graphics free wallpaper in free desktop
  • stock vector : math background
  • Math background, discrete math
  • Free Math Background for Powerpoint Slides
  • Royalty-Free (RF) Clipart Illustration of a Math
  • Mathematica -photos of some famous historical figures
  • binary system
  • Pascals triangle.
  • Conic section
  • Welcome to mathematics
  • Taylor polynomials and Taylor series -
  • ... theory of Taylor series to show that the
  • The Unit Circle
  • Graphs of the functions sin(x) and cos(x),
  • GOne of the applications of the zeta function
  • Taylor Series Approximation Illustrated
  • Matematik eğitiminin sağlıklı
  • crazy math(12)
  • crazy math(11)
  • crazy math(10)
  • crazy math(9)
  • crazy math(8)
  • crazy math(7)
  • crazy math(6)
  • crazy math(5)
  • crazy math(4)
  • crazy math(3)
  • crazy math(2)
  • crazy math(1)
  • Mickeys ears are circles which are conic sections

هل هناك طريقة بديلة عن الضرب المطول، وتكون سريعة، وفعالة ؟

الأحد، 29 يناير، 2012 التسميات:


هذه الطريقة جربتها ووجدتها تعمل جيداً، خاصةً اذا اردت
 ان تحسب عملية الضرب فى سطر واحد بدلاً من ان كان
يستغرق عدة اسطر للوصول الى النتيجة، والتجربة
اشبه ما تكون بالعمليات على المصفوفات، او المحددات .. تابع


تعريف : يُقال للعمود على انه عمود ضربى اذا
واذا فقط كان مكون من حدو اعلى ع1 ، وحد
ادنى ع2 ، ولكن كلاً من ع1 ، ع2 صحيحين
تحمل ارقاماً من 0 الى 9 ، وتكون بهذا الشكل
ع1

ع2

مثال : 5

        7

عامود ضربى حده الأعلى 5 ، وحده الأدنى 7

ثانياً ضرب الأعمدة : ( نبدأ بالأمثلة اولاً )

3   5    
         = (3×7) + (5×1) = 26
1   7

ربما لاحظت انها طريقة تشبه طريقة ايجاد محدد
مصفوفة من النظم 2×2 (لكن الإشارة مخالفة)

                                  5   4    3
مثال2) اوجد  :        
                                  9   7    1

ملحوظة هامة ( ليس المقصود هنا الضرب العادى )
اى اننى لم اقصد 345 × 179 لا ليس هذا  هو المقصود
اطلاقاً .. ولذلك هذه خطوة سنلجأ اليها لاحقاً .. تابع

 5   4    3    
               = (5×1) + (3×9) + (4×7) = 60
 9   7    1

                           3   7   2    1
مثال 3) اوجد قيمة :
                           5   4   0    0

الحل : = (3×0)+(1×5)+(7×0)+(2×4) = 13

                          3   4    2   7   9
مثال 4) اوجد قيمة :
                          1   7    0    0   1
الحل :
= (3×1)+(9×1)+(4×0)+(7×7)+(2×0) = 61

                                 أ1       أ3
ملاحظات اذا كان كلا من :                 عمود ضربى فإن :
                                أ2        أ4

أ1 ، أ2  يسميان الطرفين ، أ3 ، أ2 بالوسطين
لذلك فإن قيمة العمود المفرد = الحد العلوى×الحد السفلى
بينما اذا كانت اذا تشكلت من عمودين، فنطلق عليها اسم
مصفوفة ضربية ( مربعة ) ، ويكون حلها :
= حاضل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين
او : حاصل ضرب القطر الرئيسى + حاصل ضرب القطر الثانوى .
او : مجموع حاصل ضرب القطرين ( لأن عملية الجمع ، الضرب
ابدالى كما تعلمون .. )

مثال 5) ((( وهذا اول مثال تطبيقى على ما سبق )))

اوجد حاصل ضرب :  29 × 56

             9   2
الحل : ×        
             6   5  
 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= العمود الرئيسى ، المصفوفة المربعة ، العمود الثانوى
مع الأخ فى الإعتبار انه اذا كان قيمة اى منهم اكبر من 9
فإننا نأخذ اول رقم فقط ، والباقى لقيمة العمود الذى يليه ..

ملحوظة : يسمى ارقام الآحاد بالعمود الرئيسى
والعمود الآخير ( سواء كان عشرات، او مئات او الوف ... الخ )
بالعمود الثانوى ، وهو فى مثالنا هو عمود العشرات .. تابع

              9   2
لذا فإن : ×
              6   5
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= (9×6) ، [(9×5)+(2×6)] ، (2×5)

لاحظ ان : 9×6 = 54 لذلك فإننا نأخذ 4 فقط
وتكون 5 مضافة للخانة التى تليها .. وهكذا

= 4  2  6   1

لذلك فإن : 29 × 56 = 1624

(( طبعاً كل هذه الخطوات تجرى ذهنياً، ووضعتها
فقط للتوضيح ..! ))
والمطلوب هو اجراء عملية الضرب فى سطر واحد
بدلاً من الضرب المطول الذى يحتاج الى عدة سطور .
لذلك فإنك تحتاج الى حفظ جدول الضرب الأساسى
من 1 الى 12 ، وايضاً ان تكون سريع فى الجمع
وان ان هذه الأشياء سهلة .. مثال عندما تفكر
ذهنياً ووجدت انك تريد جمع 5 + 9  + 4 + 7 + 6
ما رأيك فى هذا الترتيب العشوائى ؟؟ لكنك من المفترض
انك تعلم مسبقاً ان 4+6 = 10 لذلك فإن 7 + 4 = 10 ايضاً
مضافة اليها 1  ... وهكذا عود نفسك نشر العدد الذى تريد
جمعه لتصل الى قيمة معينة انت بالتأكيد تريد الوصول اليها ..

وايضاً عندما تأتى بقيمة عمود ويكون مثلاً الباقى 7
متى تضع الباقى للعملية التى تليه ؟؟ هل نضعه اولاً
ام مؤخراً .. ام وسط العملية التى تليها ؟؟ اقترح عليك
هنا على حسب ظروف المسألة يعنى مثلاً اذا كان الباقى
7 ثم بدأت تضرب الذى يليه ( طرفين ، وقبل ما تجمع عليه الوسطين
وجدت ان قيمته 3 ، ولكن الباقى من العملية السابقة 7 اذاً فى هى
الحظة، وسريعاً ( فى اقل من لحظة ) تقول 10 ( ذهنياًً ) ثم تجمع
عليه حاصل ضرب الوسطين .. وهكذا

مثال 6) وجد حاصل ضرب  13 × 12

3   1
2   1

= 6   (مجموع حاصل ضرب القطرين = 5)     1

= 6 5 1


مثال7) اوجد : 256 × 902

     6   5   2
×
     2   0   9

الحل  ( لن يأخذ عدة ثوانى ) لكنى هنا سأهتم بالشرح اكثر

6                               2
   يسمى عمود رئيسى ،    يسمى عمود ثانوى
2                               9

     6   5   2
×
     2   0   9

6×2 = 2 ، والباقى 1 يضاف الى (6×0)+(5×2)
فتجد انه 1 ، والباقى 1 ايضاً هذا الواحد يضاف الى
(5×9)+(2×0)  = 6 ، والباقى 4 تضاف الى ؟؟


لاحظ كأننا اخذنا العمود الرئيسى هو البداية ثم اخذنا
معه الذى ليه ، ثم الذى يليه ( الأخير )، واذا راجعت اعلاه
تجد انه اذا كان عمود بين عمودين فإن الناتج الضرب لهم
= مجموع حاصل ضرب القطرين + قيمة العمود الأوسط
(( والذى يساوى الحد الأعلى × الحد الأدنى ))

وصلنا الى : والباقى 4 تضاف الى ؟؟
(6×9)+(2×2)+(5×0) = 2 والباقى 6

ثم احفظ مؤقتاً ان الباقى 6 ، ثم ابدأ بالعمود الثانوى
وكرر نفس الخطوت التى فعلتها مع العمود الرئيسى
لكن الحل يكون من اليسار الى اليمين ..!
الى ان تتلقى بالوسط .. (( ارجو ان تكون هذه الخطوة واضحة ))
تكرر نفس الخطوات بإستثناء الخطوة الأخيرة .. يعنى
تبدأ بضرب (2×9) = 18 واتركها كما هى .. عموماً سأترك هذا
المثال، وأبدأ بمثال آخر :-

     402
×   23

هنا تضع صفر على يسار 23

    402
×  023
ــــــــــــــــــــــ
6  4   2 ║  9

من الفترض ان الناتج 9246
وضعت الإشارة ║ اى انه الى هنا نبدأ
بتكرار نفس الخطوات مع العمود الثانوى
وهو هنا  4 .. مرى أخرى تابع
           0

    402
×  023
ــــــــــــــــــــــ

الخانة الأولى : 2×3 = 6
الخانة الثانية = (2×2)+(0×3) = 4
الخانة الثالثة = (2×0)+(4×3)+(0×2) = 12
اى ان الخانة الثالثة = 2 ، والباقى 1 ( ضعه فى ذاكرتك )
وتذكر ان الخانة الواحد لا تتحمل الا ارقاماً من 0 الى 9 فقط ..
الآن انت وصلت الى : 6  4   2 حيث قلت 2 ، والباقى 1
مباشرةً انتقل الى العمود من اليسار ( الثانى ) واترك فراغ
كبير نسبياً عند 6  4   2                 ..   ابدأ من هنا مثلاً

لماذا تركت فراغ ؟؟ لأنك ستكرر نفس الخطوات فيما عدا الأخيرة
مع العمود الثانوى لذلك الحل هذه المرة سيكون من اليسار
الى اليمين ( هل انتبهت ؟؟ ) لذلك اذا وجدت خانة اكبر من 9
( ضعها كما هى مؤقتا ) ولا تضعها بجانب الخانات الأصلية التى
كنت حصلت عليها .. تابع

    402
×  023
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6  4   2  ..فراغ هنا لا تكتب شىء .. ثم فى هذه
                                              المنطقة ابدأ
                                              بضرب 4×0 = 0
                                              ثم (4×2)+(0×0)=8
                                              ربما الآن اول ما يخطر
                                               ببالك تقول ثم
                                    (4×3)+(2×0)+(0×2)
                                     طبعاً هذه الخطوة لا تفعلها
                                    لأنها مكررة = 12 وقد وضعناها
                                   سابقاً وقلنا = 2 ، والباقى 1
                                   .. المهم انت حصلت على 8
                                    ولكن كان الباقى من عملية العمود
                                    الرئيسى 1 تضيفة لـ 8 اصبحت 9

لذلك فإن :
    402
×  023
ـــــــــــــــــــــــــ
= 9246

صديقى العزيز هل تعلم ان حل هذه المسألة وترتيبها
وكتابة الحل كل هذا لم يستغرق منى سوى من 10 ثوانى
الى 15 ثانية ؟؟ لذلك انت لست مكلف انت تكتب اقواس
مثلاً وتكتب حاصل ضرب الطرفي + حاصل ضرب الوسطبن
وكل هذا وضعته للتوضيح فقط ( كل هذه الخطوات ذهنية
وتحتاج الى منك الى بعض المهارات السريعة فى الجمع
وحفظ جدول الضرب البسيط من 1 الى 12 .. فقط

ملاحظات على الطريقة .. اذا كنت تضرب
عدد مكون من  " ن " رقم فى عدد مكون
ايضاً من " ن " رقم فإن حاصل ضربهما يكون
مكون من 2ن رقم او  ن + (ن-1)  رقم ..

2) المقصود من العمود الرئيسى، والثاوى، اى هو الذى
نظل نستعمله فى كل مرة نضرب فيها ( اى كأنه ثابت )
بمعنى انه اذا كان العمود الرئيسى ( عمود الآحاد )
5
    فإن قيمته وحده = (5×1) = 5
1   ثم نأخذه مرة ثانية مع العمود الذى يليه
        وكأنها شبكة ( اشبه بخلية النحل : )

5       3
             =(5×2) + (3×1) = 13
1       2

الآن ماذا لو جاء عمود ثالث عليهم ؟؟ .. تابع

5      3      0
                    هنا نقول ان الطرفين هما 5 ، 7
1      2      7  ، والوسطين هما 0 ، 1 ، ثم عمود الوسط
                      وهو  3 ، 2    .

= (5×7)+(0×1)+(3×2) = 41

لاحظ ان عملية الجمع السابقة انت تعلم ان
5×7 = 35 ثم نضيف اليها 3×2 = 6
خذ من الـ 6 5 واجمعها على 35 تصبح 40
ثم 1 اى 41 .. يعنى حاول تصل الى اقرب الحلول واسهلها ..

الآن ماذا لو اضفنا عمود رابع ؟؟

5      3      0       8
                   
1      2      7       9

هنا الطرفين هما 5 ، 9   .. الوسطين هما 8 ، 1
ثم لكن كلاً من العمود الأول والأخير يحصران فيما
بينهما عمودين آخرين، لذلك تكرر نفس الخطوات معهم
يعنى يصبح 3 ، 7  طرفين  ،  0 ، 2 وسطين .. انما
لو كانوا محصور فيما بينهما عمود واحد فقط فإننا نأخذ قيمته
وهو حاصل ضرب الحد الأعلى × الحد الأدنى .. لذلك :-

5      3      0       8
                   
1      2      7       9

= (5×9)+(8×1)+(3×7)+(0×2) = 45+20+9 = 74

لاحظ هنا لماذا قلت 45+20+9 ؟؟ كل هذه خطوات لا تكتبها
بمعنى 3×7 = 20 + 1  .. هل اتضحت الفكرة ؟؟

الآن ماذا لو اضفنا عمود خامس ؟؟ اظنك قد عرفتنا ..

5      3      0       8      1
                   
1      2      7       9      4

=(5×4)+(1×1)+(3×9)+(8×2)+(0×7)

نتيجة : اذا كان اجراء العملية على عدد اعمدة فردية
فإنه لابد من وجود عمود ( وسط ) قيمته = حاصل
ضرب الحدين ( الأعلى والادنى )  ، بينمها اذا كان
عدد الأعمدة ( التى نريد اجراء الضرب عليهما ) زوجى
فإنهم يصحران فيما بينهما عدد اعمدى زوجى ايضاً، وبذلك
ينتج ان عمود الوسط غير موجود .. مثال ( بعيد عن موضوعنا )

5          1             3

ما هو رقم الوسط ؟؟ بالتأكيد  1     الآن

5          2         1              3

ما هو رقم الوسط ؟؟ بالتأكيد لا يوجد لذلك نقول
ان كلاً من 2 ، 1  يتوسطان هذه الأرقام  .

░ مثال (7) ░ : اوجد : 3516 × 903
الآن هل ارقام العدد الأول = ارقام العدد الثانى ؟؟
بالطبع لا .. اذا ضع صفر على يسار العدد 903
لأن الصفر على يسار العدد ليس له قيمة .. فيكون :

    3516
×
    0903
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   3174948

هذا هو الناتج ..  ░ مثال (8)
اوجد : 64315 × 7034  بدون آلة حاسبة

    64315
×
    07034
ــــــــــــــــــــــــــــــــ
= 45239170


تذكير : لنفرض انك تريد تضرب هذين العددين
ونرمز للخانة بـ أ  ..

  أ1   أ2    أ3    .....   أ ن
 ب1  ب2  ب3   .....  ب ن

عمود الآحاد هنا ( الرئيسى ) أ1 ، ب1 قيمته = أ1×ب1
ثم نأخذ نفس العمود مع العمود الثانى : أ2 ، ب2
فتكون القيمة = حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين
= (أ1×ب2)+(أ2×ب1) .. ثم نفس العمود مع الثانى، والثالث ..
فيتكون (أ1×ب3)+(أ3×ب1)+(أ2×ب2)
ثم هو نفسه مع الأول، الثانى، والثالث، والرابع ... والنفرض
ان العمود الرابع هو أ4 ، ب4  فتكون القيمة
(أ1×ب4)+(أ4×ب1)+(أ2×ب3)+(أ3×ب2)
... وهكذا استمر الى ان تنتهى عند العمود أ ن ، ب ن
( هكذا انتهت مهمة العمود الرئيسى ) اتركه وخذ العمود
الثانوى، وكرر نفس الخطوت لكن من اليسار الى اليمين
مع ترك مسافة ( كبيرة نسبياً )، ولكن كلما ذادت ارقام العدد
فإنها تحتاج مزيداً من الوقت والتركيز .. لذلك فهذه الطريقة
( خصوصاً للمبتدئين ) فعالة جداً خاصة ً الى كانت المسألة
عبارة عن رقمين فى رقمين، او ثلاثة ارقام فى ثلاثة ارقام
او ثلاثة ارقام فى رقيمن .. وهكذا .. امثلة :-

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8

لماذا وضعت 8 ؟؟ لأن 9×2 = 18 لذلك اخذنا 8 ، والباقى 1
ثم نضرب (9×4)+(4×2) = 44 نصيف اليها 1 ( الباقى )
تضبح 45  اى 5 ، والباقى 4

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8 5

الآن مهمة العمود الرئيسى انتهت، كرر نفس العملية
مع العمود الثانوى 4 ، 4 فيما عدا الخطوة الأخيرة
( لأنها مكررة ) يعنى 4 × 4 = 16 وكان الباقى 4
16+4 = 20  نضعها كما هى لأن المسألة انتهت

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8 5  0 2

               5   3
مثال آخر :×
               9   4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       5   1   7   1


بإختصار : اذا رمزنا لخانة الآحاد أ ، العشرت ع
فيكون :
              أ1   ع1
          ×
             أ2    ع2
   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    (أ1×أ2) ،  [(أ1×ع2)+(أ2×ع1)] ، (ع1×ع2)
     آحــــاد      عشــــــــــــــــرات     مئــــــات

ملحوظة قد يتطور الوضع الى خانة الآلوف ..


1 التعليقات:

غير معرف يقول...

راااااااااااائع .. استمر في مدونتك الرائعة

إرسال تعليق

 
mathematics problem solving © 2010 | تعريب وتطوير : سما بلوجر | Designed by Blogger Hacks | Blogger Template by ياعرب