اوجد نها(س←ط/4)(ظاس - ظتاس)/(4س - ط) بدون استعمال قاعدة لوبيتال

                 ظاس - ظتاس
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س←ط/4        4س - ط

بالتعويض عن س = ط/4 تجد هذا المقدار = 0/0

نأتى الى البسط : ظاس - ظتاس  ونفكه الى

  جاس       جتاس         جا²س - جتا²س
ـــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 جتاس       جاس            جاس جتاس

ربما لو دققت جيداً ستعلم ان البسط هو قانون
ضعف الزاوية لجتا ، لكن ينقصه الترتيب
( بأخذ سالب عامل مشترك من البسط )
ايضاً المقام ينقصه 2 فقط حتى يصبح قانون
ضعف الزاوية لـ جا .. اذاً قم بوضع 2 فى المقام
يليها 2 فى البسط _ حتى لا  يحدث خلل او عدم
اتزان فى المسألة ..

          جتا²س - جا²س              جتا2س
= - 2  ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = -2 ــــــــــــــــ
           2 جاس جتاس                جا2س


= - 2 ظتا(2س)  بعد التعويض فى النهاية الاصلية :


                      ظتا(2س)    
-2 نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   س←ط/4        4س - ط

نفرض ان : ص = 4س - ط ، وعندما تؤول س = ط/4

                      ط
فإن : ص = 4 × ــــــــ - ط = 0
                      4

اى انه عندما تؤول س الى ط/4 فإن ص تؤول الى الصفر ..
، وبما ان :
ص = 4س - ط

اذاً : 4س = ص + ط ، ومنها س = (ص+ط)/4
بعد التعويض بكل هذا اخذت النهاية هذه الشكل :-

              ظتا2[ص/4  + ط/4]
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ =
ص←0             ص    

             ظتا(ص/2 + ط/2)
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0             ص                

الآن خذ البسط مره أخرى ( وبسطه ) .. حيث

                          جتا(ص/2 + ط/2)
ظتا(ص/2 + ط/2) = ـــــــــــــــــــــــــــــ
                          جا(ص/2 + ط/2)

لاحظ ان : جا(ص/2 + ط/2) = جتا(ص/2)
وان : جتا(ص/2 + ط/2) = - جا(ص/2)
كل هذه اشياء يجب ان تؤخذ فى الإعتبار

                            - جا(ص/2)
ظتا(ص/2 + ط/2) = ـــــــــــــــــــــــــ = -ظا(ص/2)
                             جتا(ص/2)

هكذا اصبحت النهاية بهذا الشكل :

              - ظا(½ص)
-2 نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــ = -2 × -½ = 1
   ص←0         ص

.........................................................................

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tan(x) - cot(x)}{4x - \pi}$

بالتعويض عن x = pi/4 تجد هذا المقدار = 0/0

نأتى الى البسط : ظاس - ظتاس ونفكه الى :

$\frac{sin(x)}{cos(x)} - \frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{sin^2(x) - cos^2(x)}{sin(x) cos(x)}$

ربما لو دققت جيداً ستعلم ان البسط هو قانون
ضعف الزاوية لجتا ، لكن ينقصه الترتيب
( بأخذ سالب عامل مشترك من البسط )
ايضاً المقام ينقصه 2 فقط حتى يصبح قانون
ضعف الزاوية لـ جا .. اذاً قم بوضع 2 فى المقام
يليها 2 فى البسط _ حتى لا يحدث خلل او عدم
اتزان فى المسألة ..

$= -2 \frac{cos^2(x) - sin^2(x)}{2 sin(x) cos(x)} = -2 \frac{cos(2x)}{sin(2x)} = -2 cot(2x)$
ومن ثم التعويض فى النهاية الاصلية
$-2\lim_{x\to\frac{pi}{4}} \frac{cos(2x)}{4x - \pi}$

نفرض ان 4x - pi = y وعندما تؤول x الى pi/4 فإن y = 4 pi/4 - pi = 0 ومنها x = (y+pi)/4
بعد التعويض بكل هذا اخذت النهاية هذه الشكل :-

$\lim_{y\to 0}\frac{cot2(\frac{y}{4}+\frac{\pi}{4})}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{cot2(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{y} $

الآن خذ البسط مره أخرى ( وبسطه ) .. حيث

$cot(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{sin(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}$


لاحظ ان :$sin(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = cos(\frac{y}{2})$
وان : $cos(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = - sin(\frac{y}{2})$
كل هذه اشياء يجب ان تؤخذ فى الإعتبار

$cot(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = \frac{-2sin(\frac{y}{2})}{cos(\frac{y}{2})} = - tan(\frac{y}{2})$

هكذا اصبحت النهاية بهذا الشكل :

$-2 \lim_{y \to 0}\frac{- tan(\frac{y}{2})}{y} = -2 \times \frac{-1}{2} = 1$