اوجد تكامل جذر(1+جاس) دس

∫جذر(1+جاس) دس

نفرض ان : ط/2 - س = ص
ومنها س = ط/2 - ص

ط/2 - س = ص

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

-دس = دص ، ومنها دص = -دس

بالتعويض ..

∫جذر(1+جاس) دس

= -∫جذر(1+جا(ط/2 - ص) دص

= - ∫جذر(1+جتاص) دص

ولكن : المتطابقة : جتا²أ = ½(1+جتا2أ)

اذاً جتا²(ص/2) = ½(1+جتاص)

من خلال ذلك يتضح ان :

(1+جتاص) = 2جتا²(ص/2)  بالتعويض ..

- ∫جذر(1+جتاص) دص

= - ∫جذر(2جتا²(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) دص

ولكن ص = ط/2 - س

بالتعويض .. نجد ان :

∫جذر(1+جاس) دس

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░


فكرة الحل  حتى تتضح للأعضاء، اردنا ان نتخلص
من الجذر التربيعى، عن طريق ايجاد متطابقة
لـ (1+جاس) تتضمن اس تربيعى، وكانت هى :

المتطابقة : جتا²س = ½(1+جتا2س)

ولكننا اردنا (1+جاس)

نضع بدلاً من س اعلاه فى المتطابقة ½س

جتا²(½س) = ½(1+جتاس)

اذاً تبقى لدينا تحويل جاس الى جتاس
نعلم ان : جاس = جتا(ط/2 - س)
ثم فرضنا ان :
                ط/2 - س = ص

(( ملحوظة : ليس ضرورياً ذلك فقط حتى لا يكون
شكل السؤال طول فى خطوات لحل ))

ومنها : جاس = جتاص

اذاً : جتا²(½ص) = ½(1+جتاص)

، ومنها : (1+جتاص) = 2جتا²(½ص)

لكننا فرضنا ان : ط/2 - س = ص
بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س ينتج

-دس = دص ، ومنها دس = -دص

بالتعويض بكل هذا فى التكامل ..

∫جذر(1+جاس) دس

= - ∫جذر(2جتا²(½ص) دص

= -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

                                         تكامل الدالة
ولكن : تكامل الدالة المثلثية = ــــــــــــــــــــــــــ
                                         تفاضل الزاوية

اذاً :  -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) + ث

ولكن : ص = ط/2 - س  بالتعويض
وأخيرا ً  :

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث