اوجد القيم العظمى، والصغرى المحلية والمطلقة ؟

سأجعلك تحل هذه المسألة بطريقتين :-
السؤال يقول :
اوجد القيم العظمى والصغرى لدالة :
د(س) = س4 – 4س2 + 3

نوجد المشتقة الأولى للدالة ..

دَ(س) = 4س³ - 8س  .. نساويها بصفر
            لإيجاد النقاط الحرجة ..

4س³ - 8س = 0

4س (س² - 2 ) = 0  ومنها

اما 4س = 0 ومنها س = 0
واما س² - 2 = 0 ومنها س² = جذ(2)
س = ± جذر(2)

اذاً هناك ثلاث نقاط حرجة للدالة .. الى هنا
وامامك طرقتين، لإختبار ما اذا كانت صغرى
محلية، او عظمى محلية .. الطريقة
الأولى عن طريقة المشتقة الأولى نفسها ..
وبإختبار النقطة صفر ، بالتعويض على يمينه وعلى
يسارا برقم معين ، وليكن 1 ، -1

دَ(س) = 4س³ - 8س

دَ(-1) = 4(-1)³ - 8(-1) = 4
دَ(1) = 4(1)³ - 8(1) = -4

على اليسار تزايدية، وعلى اليمين تناقصية
اذاً عندما س = 0  هناك نقطة قيمة عظمى
محلية .. وهكذا نختبر كلاً من جذر(2) ، -جذر(2)

امسك الآلة واكتب جذر(2) تجدها تقريباً 1.14
عوض على  يسار هذا الرقم بـ 1 مثلاً
وعلى يمينه بـ 2

دَ(1) = 4(1)³ - 8(1) = -4
دَ(2) = 4(2)³ - 8(2) = 16

تناقصية ، تزايدية .. اذاً عندما س = جذ(2)
هناك قيمة صغرى محلية للدالة .. نختبر
ايضاً عندما س = - جذر(2) = على الآلة تقريباً
 - 1.14 نعوض على يساره برقم وليكن -2
وعلى يمينه برقم وليكن -1

دَ(-2) = 4(-2)³ - 8(-2) = -8
دَ(-1) = 4(-1)³ - 8(-1) = 4

تناقصية .. تزايدية .. اذاً ايضاً عندما
س = -جذر(2) هناك قيمة صغرى
محلية للدالة ...

الآن نريد المقارنة بين هذه النقاط الحرجة
السؤال الآخر : اوجد القيم العظمى المطلقة
والقيم الضغرى المطلقة .. نأخذ اولاً النقطة
الحرجة (0) هذه النقطة تمثل قيمة عظمى
محلية، ومطلقة ايضاً نظراً لعدم وجود مقارنة
بينها وبين نقطة أخرى عظمى محلية ..
نأخذ كلاً من النقتطين جذر(2) ، - جذر(2)
كنا قد قلنا ان كلاً منهم صغرى محلية
لكن ايهما صغرى مطلقة ؟؟ ام الإثنان معاً
صغرى مطلقة ؟؟ نعوض بكلاهما فى الدالة
الاصلية ..د(س) = س4 – 4س2 + 3

د(جذر(2)) =  (جذر2)^4 - 4(جذر2)² + 3
            = 4 - 4(2) + 3 = -1

وكذلك : د(-جذر(2)) = -1

اذاً كلاً من : س = {جذر(2) ، - جذر(2)}
قيمة عظمى مطلقة ايضاً .


الطريقة الآخر التى كنت اريد ان اوردها لك
وهى اختبار القيم العظمى والصغرى
المحلية من خلال المشتقة الثانية
بلتعويض بالنقاط الحرجة اذا كانت سالبى
كانت عظمى محلية، اذا كانت موجبة
كانت صغرى محلية .. توصلنا الى ان
المشتقة الأولى : دَ(س) = 4س³ - 8س

المشتقة الثانية : دً(س) = 12س² - 8
ثم نختبر كلاً من النقاط الحرجة (0 ، جذر2 ، -جذر2)

دً(0) = 12(0)² - 8 = -8

طالما سالبة اذاً القيمة عندما س = 0
قيمة عظمى محلية ..

دً(جذر2) = 12 (جذر2)² - 8 = 16
موجبة : اذاً القيمة صغرى محلية ..
وكذلك : دً(جذر2) = 16
هى ايضاً صغرى محلية ، وبالعويض
فى الدالة الاصلية بهذه النقاط
تجد ان القيمة س = 0  عظمى
محلية مطلقة ..

ملحوظة أخيرة : س = 0 قيمة عظمى مطلقة بشرط
ان تكون الدالة محددة فى فترة من الفترات، واذا
لم يكن كذلك فلا يوجد قيمة عظمى مطلقة، لأن
الدالة مفتوحة المدى الى مالانهاية ..