حل المعادلات الآتية بطريقة كرامر

solve the equations (x^2 * z^3/y)=e   (y^2 * z /x)=e  (x^3 * y / z^4)=1 
   by CRAMER'S RULE ‏

بداية نأخذ ln للطرفين ، ومن خصائص اللوغاريتمات نعلم ان
لو(أ × ب ) = لوأ + لوب  ، وان : لو(أ÷ب) = لوأ - لوب
وعلى هذا الأساس ينتج ان :-


ln(x² . z³/y)=lne
lnx² + lnz³ - lny = 1
2lnx + 3lnz - lny = 1  
2lnx - lny + 3lnz = 1    ...(1)

ln(y² . z/x) = lne
lny² + lnz - lnx = 1
2lny + lnz - lnx = 1
-lnx + 2lny + lnz = 1    .... (2)

ln(x³ . y/z^4) = ln1

lnx³ + lny - lnz^4 = 0

3lnx + lny - 4lnz = 0    ...(3)

..............................................
2lnx - lny + 3lnz = 1
-lnx + 2lny + lnz = 1
3lnx + lny - 4lnz = 0
       
det of :

2    -1    3
-1   2     1  = 2(-9) +1(1) +3(-7) = -38
3    1    -4

delta lnx: =

1  -1  3
1  2   1  = 1(-9)+1(-4)+3(1) = -10
0  1  -4


delta lny : =

2   1   3
-1  1   1 = 2(-4)-1(1)+3(-3) = -18
3   0  -4

delta lnz =

2  -1   1
-1  2   1 = 2(-1)+1(-3)+1(-7) = -12
3   1   0

...............................................
lnx = delta lnx / delta = -10/-38 = 5/19
lny = delta lny / delta = -18/-38 = 9/19
lnz = delta lnz / delta =-12/-38 = 6/19
................................................
lnx = 5/19   then x = e^(5/19)
lny = 9/19  then  y = e^(9/19)
lnz = 6/19  then  z = e^(6/19)
.............................................

السؤال مرة أخرى، والإجابة عليه اذا كانت الرموز اعلاه غير واضحة

solve the equations :

$x^2 \quad \times \quad \frac{z^3}{y} = e$

$y^2 \quad \times \quad \frac{z}{x}=e$

$x^3 \quad \times \quad \frac{y}{z^4}=1$

by CRAMER'S RULE



بداية نأخذ ln للطرفين ، ومن خصائص اللوغاريتمات نعلم ان :

$\color{blue}\log(a \times b)=\log(a) + \log(b)$

$\color{blue}\log(\frac{a}{b})=\log(a) - \log(b)$


وعلى هذا الأساس ينتج ان :


$\ln(x^2 \times \frac{z^3}{y})=\ln e$

$\ln x^2 + \ln z^3 - \ln y = 1$

$2\ln x +3\ln z - \ln y = 1$

$2\ln x - \ln y + \ln z = 1$

وحتى لا نكرر نفس الخطوات مع الثلاث معادلات،
فإنه يتكون لدينا النظام الآتى :



$2\ln x - \ln y + 3\ln z = 1$

$-\ln x + 2\ln y + \ln z = 1$

$3\ln x + \ln y - 4\ln z = 0$



وبإستعمال طريقة كرامر تستطيع وضع معاملات
كلاً من lnx , lny , lnz فى مصفوفة، وتوجد المحدد
لها، ولنسميه $\Delta$


$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 2(-9) +1(1) +3(-7) = -38$





$\Delta \ln x = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 1(-9)+1(-4)+3(1) = -10$




$\Delta \ln y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2(-4)-1(1)+3(-3) = -18$




$\Delta \ln z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(-1)+1(-3)+1(-7) = -12$





$\ln x = \frac{\Delta \ln x}{\Delta} = \frac{-10}{-38} = \frac{5}{19}$

$\ln y = \frac{\Delta \ln y}{\Delta} = \frac{-18}{-38} = \frac{9}{19}$

$\ln z = \frac{\Delta \ln z}{\Delta} = \frac{-12}{-38} = \frac{6}{19}$

وبذلك يتحقق ان :


$\ln x = \frac{5}{19} \quad then \quad x = e^{\frac{5}{19}}$

$\ln y = \frac{9}{19} \quad then \quad y = e^{\frac{9}{19}}$

$\ln z = \frac{6}{19} \quad then \quad z = e^{\frac{6}{19}}$