اثبات صحة مبرهنة (خط اويلر Euler's line )

Eluer's line 

تعلم ان متوسطات المثل تتلاقى فى نقطة
واحدة بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس ، 1 : 2
من جهة القاعدة .. بالنظر الى المثلث ABC
، والذى فيه H نقطة تلاقى ارتفاعاته، G نقطة
تلاقى متوسطاته ( او مركز الثقل ) ، O مركز
الدائرة التى تحيط به .. فيه 'O A عامودى على
BC ( نصف القطر عامودى على الوتر وينصفه
فى اى دائرة ) ، وايضاً فيه AD عامودى على BC
من هنا يتضح ان OA' // AD  ، ومن التوازى يتحقق
ان : قياس الزاوية HAG = قياس الزاوية OA'G بالتبادل

فى تصورك : ان لم يكن H G O على استقامة واحدة
فإنهما يشكلان مثلث مثلاً ( وليست قطعة مستقيمة)
ولكن اذا اثبتنا ان الزاوية AGH = الزاوية A'GO فقد
اثبتنا بذلك ان كلاً من H,G,O على استقامة واحدة .. نكمل

تذكر نص نظرية ( متوسطات المثلث ) اعلاه، فإن
AA' يعتبر متوسط فى المثلث ABC لذلك :
AG = 2A'G  وبناء عليه يكون :
المثلث AHG يشابه المثلث A'OG
اذاً : AH = 2 A'O ، اذاً :AGH = الزاوية A'GO

قد تسأل، ولكن قد يكون : AGH = الزاوية A'GO
لأن OG // HG مثلاً، ولكن اذا تحقق هذا نكون بذلك
قد تعاملنا مع اربع نقاط وليس ثلاثة فقط، ومن خواص
التشابه قد تبين ان : الزاوية AGH = الزاوية A'GO
اذاً : كلاً من H,G,O على استقامة واحدة ..
ويسمى HGO بخط اويلر .


الجدير بالذكر انه اذا كان المثلث متساوى الأضلاع ..
فإن كلاً من H , G , O   يتطابقان ( اى يتحققان فى
نقطة واحدة، وهذه خاصية هامة يتميز بها المثلث
المتساوى الأضلاع )