بعض المسائل فى نظرية الأعداد، والإجابة عليها

السؤال الأول : -

اذا كان (ن+1) مربع كامل فإن :
(ن+1) = ك² ، حيث ك عدد طبيعى
ومنها نستنتج ان :

ن = ك² - 1   (( عبارة عن فرق مربعين ))
صورة أخر لـ ن هى : (ك-1) (ك+1)

فيكون بذلك : 14ن + 50

= 14(ك² - 1) + 50

= 14ك² - 14 + 50

= 14ك² + 36

= ك² + 13ك² + 36

هل تعلم ان اى عدد فردى ( مثل 13) يمكن
وضعه فى صورة مجاميع مربعات كاملة ؟؟
يعنى 13 = 9 + 4   ... تابع وصلنا عند :

= ك² + 13ك² + 36

= ك² + 4ك² + 9ك² + 36

= ك² + (2ك)² + (3ك)² + (6)²

( هـ . ط . ث )

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثانى :- بين ان :

          ن
جذر(ــــــــــــــــ)  عدد غير جذرى لكل ن غير منعدم .
        ن+1

لكى نثبت هذا ينبغى ان نثبت ان : كلاً من ن / ن+1
ليسوا مربع كامل .. وكان يمكن استعمال البرهان
بالخلف، لكنه لم طلب فى السؤال عدم البرهنة به .

يمكن بإستقراء على ن ، نفرض اولاً ان ن عدد صحيح
موجب ( لا يمكن ان تكون سالب ) لأننا بذلك سندخل
فى مجال الأعداد المركبة .. وبوضع ن = 1

         1               1
جذر(ــــــــــــ) = ــــــــــــــــ
         2          جذر(2)

بالفعل عدد غير جذرى .. نفرض ان ن مربع كامل
حيث ن = ك²

          ك²             ك
جذر(ـــــــــــــــ) = ـــــــــــــــــ
      ك² + 1      جذر(ك²+1)

ولكن : ك²+1 ليس مربع كامل
لأننا لا نستطيع وضعها على هذه الصورة
مثلاً : س² ( ممكن ان تثبت هذه الخطوة سريعاً )

نفرض ان : ن اى عدد صحيح ليس مربع كامل
وبهذا يكون البسط ( عدد صحيح ليس مربع كامل)
وبناء عليه العدد جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن = اى عدد صحيح موجب ..

نفرض ان ن عدد غير جذرى ( غير نسبى )
وليكن ن = جذر(ص) حيث ص ليست مربع كامل

       جذر(ص)
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
      جذر(ص)+1)

بما ان جذر(ص) عدد غير جذرى
لكل ص ليت مربع كامل اذاً العدد
جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن عدد غير جذرى ايضاً ..


وأخيراً نفرض ان ن عدد جذرى ( نسبى )

                                              أ
اذاً ن توضع على هذه الصورة : ن = ــــــــ
                                             ب

لكل  أ ، ب صحيحين ، ب لا تساوى الصفر ..

            أ/ب
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
         أ/ب + 1

لاحظ انها نفس الخطوات السابقة مع
الأعداد الصحيحة، مع اختلاف ان العدد
هنا ( كسرى ) بفرض ان كلا ً من أ ، ب
مربعين كاملين ، فيكون بذلك المقام ليس
مربع كامل .. وبناء عليه يتضح

                  ن
ان : جذر( ــــــــــــــــــ )
               ن+1

عدد غير جذرى، حيث ن لا يساوى الصفر .

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ 

 واخيراً اثبت ان العدد 1000001 غير اولى ..
بأخذ : جذر(1000001) = 1000.0005
اذا كانت العدد 1000001 يقبل القسمة
على اى عدد اولى محصور بين 2 الى 1000
فإنه بالطبع يكون عدد غير اولى ..
وبتجريب عدد غير اولى ( كبير نسبيا ) حيث ان
العدد الذى نريد اختباره كبير ايضاً، وليكن 101
وبقسمة 1000001 على 101 ينتج : 9901

اذاً 1000001 عدد غير اولى ..