اوجد تكامل جذر(هـ^س + 1) دس من 0 الى 1

الحد الأدنى هو صفر ، والحد الأعلى 1
اولاً نوجد قيمة التكامل العام بدون حدود .

∫ جذر(هـ^س  + 1) دس

نفرض ان : هـ^س + 1 = ص²
، بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

هـ^س دس = 2ص دص

             2ص دص
دس = ـــــــــــــــــــــ
             هـ^س

ولكن : هـ^س + 1 = ص²

ومنها : هـ^س = ص² - 1  بالتعويض ..  اذاً


             2ص دص
دس = ـــــــــــــــــــــ  ،، بالتعويض بكل هذا فى التكامل
             ص² - 1           الاصلى ..

                          2ص
∫ جذر(ص²) × ــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

لاحظ جذر(ص²) = ص  .. تابع

           2ص²
= ∫ ــــــــــــــــــــــ دص
         ص² - 1

بإضافة 2 للسط وطرحها مرة أخرى ..

           2ص² - 2 + 2
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
              ص² - 1


          2(ص² - 1) + 2
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
              ص² - 1

بتوزيع البسط على المقام ..


                            2    
= ∫ 2دص + ∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

وباقى التكامل يكون بالكسور الجزئية ..
حيث ان :

        2                       2
ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
  (ص² - 1)        (ص - 1) (ص+1)

نضع هذا الكسر على الصورة :

          أ                        ب
= ـــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)

ثم نقوم بتوحيد المقامات ..

     أ(ص+1) + ب(ص-1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ  وهذا معناه ان :
      (ص-1) (ص+1)

أ(ص+1) + ب(ص-1) = 2

أص + أ + ب ص - ب = 2

ص (أ+ب) + (أ - ب) = 2

بوضع : ص(أ+ب) = 0 ومنها أ + ب = 0
وبوضع : أ - ب = 2
بحل المعادلتين معاً ينتج 2أ = 2  ، ومنها أ = 1
بالتعويض فى معادلة منهم .. ينتج
ب = -1     . .  بالعودة الى


          أ                        ب
= ـــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)


          1                        1
= ـــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)

التكامل الأصلى اصبح :

                            2    
= ∫ 2دص + ∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

                      1                       1
= 2ص + ∫ ــــــــــــــــــ دص - ∫ــــــــــــــــــــ دص
                 ص - 1                 ص + 1

لاحظ ان البسط اصبح عبارة عن مشتقة المقام .. اذاً

= 2ص + لط (ص-1) - لط(ص+1)

ولا نضع الثابت (ث) لأننا نريد ان نحدده فى فترة ..
ولكن : ص = جذر(س^هـ + 1 ) بالتعويض نجد ان :
∫ جذر(هـ^س  + 1) دس
= 2جذر(هـ^س  + 1) + لط |جذر(هـ^س  + 1) - 1|
   -  لط |جذر(هـ^س  + 1) + 1|

وبإيجاد حدود التكامل من 0 الى 1


= 2جذر(هـ^س  + 1) + لط |جذر(هـ^س  + 1) - 1|
   -  لط |جذر(هـ^س  + 1) + 1|

من       0       الى            1
يتم التعويض بالحد العلوى (1) ثم ناقص الحد السفلى (0)
: لاحظ سيكون طويل جداً ولا يمكن كتابته فى سطر واحد ..

= 2جذر(هـ+1) + لط |جذر(هـ+1) -1|
   - لط |جذر(هـ+1) + 1|

 - 2جذر(2) - لط|جذر(2) - 1| + لط|جذر(2) + 1|

≈ 1.642



░ حل آخر ░

لاحظ يمكن وضع هـ^س على الصورة

[هـ^(س/2) ]²  حيث هـ العدد النيبيرى ..

وهذه الخطوة مهمة جداً، وهى من خصائص الأسس

ثم نفرض ان : هـ^(س/2) = ظاص
بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س :-

½ هـ^(س/2) دس = قا²ص دص


              2 قا²ص
دس = ـــــــــــــــــــــــــــ دص
            هـ^(س/2)

ولكن : هـ^(س/2) = ظاص بالتعويض نجد ان :

              2قا²ص
دس = ــــــــــــــــــــــ دص
              ظاص

بالتعويض فى التكامل الأصلى اصبح بهذا الشكل :

                                قا²ص
2∫ جذر(ظا²ص + 1) × ــــــــــــــــــــ دص
                                ظاص

ولكن اذا راجعت متطابقات الدوال المثلثية تجد
ان : ظا²ص + 1 = قا²ص ، وعندما تخرج من تحت
الجذر التربيعى تصبح قاص ، ويأخذ التكامل هذا الشكل .


      قا³ص
2∫ ــــــــــــــ دص
      ظاص

بتحويل كلاً من قا ، ظا الى جا ، جتا من الإختصار ..

             1              جتاص
= 2∫  ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــ دص
         جتا³ص           جاص

                1
= 2∫ ـــــــــــــــــــــــــــــ دص
         جاص جتا²ص

= 2∫قا²ص قتاص دص

= 2∫قتاص ( 1 + ظا²ص ) دص

= ∫قتاص دص + ∫قتاص ظا²ص دص


لاحظ انه يمكن فك قتاص ظا²ص الى

     1          جا²ص        جاص
 ـــــــــــ × ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
 جاص         جتا²ص      جتا²ص

      جاص          1
= ـــــــــــــ × ــــــــــــــ = ظاص قاص
    جتاص        جتاص

بالعودة للتكامل اعلاه اصبح بهذا الشكل ..

= 2 [∫قتاص دص + ∫ظاص قاص دص]

ربما تعلم ان قيمة ∫ظاص قاص دص = قاص
اى ان التكامل اصبح :

= 2 [قاص + ∫قتاص دص]

الآن بقى ايجاد ∫قتاص دص
هل تعلم ان : ∫قتاص دص = - لط|قتاص + ظتاص| ؟؟
والإثبات تستطيع ان تفهمه سريعاً :
∫قتاص دص

بضرب كلاً من البسط ، والمقام فى :
(قتاص + ظتاص)

               (قتاص + ظتاص)
∫قتاص × ــــــــــــــــــــــــــــــــ  دص
              (قتاص + ظتاص)


       قتا²ص + قتاص ظتاص
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
         قتاص + ظتاص

بأخذ -1 عامل مشترك من البسط

       - قتا²ص - قتاص ظتاص
= - ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
          قتاص + ظتاص

تماماً البسط هو مشتقة المقام، وقيمة
هذا التكامل = - لط|قتاص + ظتاص|

((لاحظ ان هذه الجزئية للشرح فقط، وكان يمكنك كتابتها
مباشرةً بدون اثبات ))

بالعودة الى الخطوة التى توصلنا اليها سابقاً، وهى :
 قاص + ∫قتاص دص

= قاص - لط|قتاص + ظتاص|

ولكن : هـ^(س/2) = ظاص
حاول تتخيل مثلث فيثاغورث، وان ظاص
للزاية (ص) حيث ان ظا= المقابل/المجاور
= هـ^(س/2)/1 ، فيصبح بذلك الوتر
= جذ[(هـ^س/2)² + 1 ] = جذر(هـ^س + 1)

بالعودة الى : 2 [قاص - لط|قتاص + ظتاص| ]
نحد اننا نريد كلاً من قاص ، قتاص ، ظتاص
من خلال معرفتنا ان :
المقابل = هـ^(س/2)
المجاور = 1
الوتر = جذر(هـ^س + 1)

                    1
اذاً : قاص = ــــــــــــــ = جذر(هـ^س + 1)
                 جتاص

               1          جذر(هـ^س + 1)
قتاص = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
            جاص           هـ^(س/2)


               المجاور               1
ظتاص = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
               المقابل          هـ^(س/2)


بعد التعويض بكل هذا نستنتج ان :

∫ جذر(هـ^س  + 1) دس

= قاص - لط|قتاص + ظتاص|

                                        جذر(هـ^س + 1)         1
= 2[ جذر(هـ^س + 1) - لط |ــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ|]
                                        هـ^(س/2)        هـ^(س/2)

الآن عوض بحدود التكامل من 0 الى 1
يتم التعويض بالرقم 1 اولاً ، ثم 0

                             جذر(هـ+1)              1
= 2[جذر(هـ+1) - لط|ـــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــ|
                                هـ^½            هـ^½


- جذر(2) + لط|جذر(2) + 1|  ]

≈ 1.642



░ حل ثالث ░

وهو اسهل من الحلين السابقين، لكن يحتاج الى
دراسة قاعدة سمبسون للتكامل المحدود، وبتقسيم
فترة التكامل الى فترتين كل فترة = ½ حيث ان قيمة
التكامل تقريباً :

    دلتا
≈ ـــــــــ [د(س1)+4د(س2)+د(س3)]
      3

دلتا = ½
د(0) = جذر(2)
د(½) = جذر(هـ^½ + 1)
د(1) =  جذر(هـ+1)

     1
اذاً: ∫ جذر(هـ^س  + 1) دس
      0

≈ ⅙[جذر(2)+4جذر(هـ^½ + 1)+جذر(هـ+1)]

≈ 1.642         ..  انتهى !


اضغط هنا لمشاهدة الحل بالرموز الإنجليزية