ما هو تفسير هذه الظاهرة فى الإشتقاق الضمنى، والإشتقاق الصريح ؟

جا( 3س ) = ظا(2ص)، حاولت فك الظل الى جيب مقسوم على جيب تماماً
لكن لم تظهر نفس النتيجة عندما اشتققت ضمنياً بدون تحويل الظل .. فما 
هو تفسير هذه النتيجة ؟




تستطيع اشتقاق هذه الدالة ضمنياً، ويمكنك ايضاً
تحويلها الى دالة صريحة، ولكن الأسهل، والأفضل
والاسرع، ان تحلها ضمنياً لأن هذا يختصر عليك
ووقت، ومجهود ، لكنى سألحها بالطريقتين حتى
تعم الفائدة .. اولاً الإشتقاق الضمنى :

أ) الإشتقاق ضمنياً بدون تحويل الظل الى
جيب مقسو على جيب التمام ..
ربما تعلم ان ان مشتقة ظا(ص) = قا²ص
وبناء عليه يكون مشتقة ظا(2ص) = 2 قا²(2ص)
ولكن لاحظ انك بذلك اوجدت المشتقة بالنسبة لـ ص
لكننا نريد المشتقة بالنسبة لـ س .. ولذلك
                                                            دص
مشتقة ظا(2ص) بالنسبة لـ س = 2قا²(2ص) × ـــــــــ
                                                            دس

حل السؤال كاملاً :

جا(3س) = ظا(2ص)  نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

                                     دص
3جتا(3س) = 2قا²(2ص) × ــــــــــ
                                    دس

         دص       3 جتا(3س)
اذاً : ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
        دس        2قا²(2ص)

لاحظ : لقد تعودنا ان المشتقة بالنسبة لـ تحتوى
على س فقط ، ولكن هذه المرة ( لأننا اشتققنا ضمنياً )
فإن المشتقة الأولى تحتوى على ص ، وهذا امر عادى
جداً، فبدلا ً من ان يطلب منك الإشتقاق عندما س = أ
مثلاً حيث أ عدد ثابت، يطلب منك الإشتقاق عند نقطة
معينة ( س ، ص ) ، او يطلب منك الإشتقاق عندما
س = أ ، بالتعويض فى الدالة الأصلية توجد د(أ)
ومن ثم التعويض بالنقطة كاملة فى المشتقة الأولى .

ب) الإشتقاق عن طريق فك ظا(2ص) الى جا(2ص)/جتا(2ص)

                 جا(2ص)
جا(3س) = ـــــــــــــــــــــ  اى ان
                جتا(2ص)


جا(3س) جتا(2ص) = جا(2ص)
ثم اشتق الطرفين بالنسبة لـ س
ولاحظ ان الطرف الأيمن حاصل
ضرب دالتين :
مشتقة الأول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول
ولكن مشتقة الثانى عبارة عن اشتقاق جتا(2ص)
لكننا نشتق بالنسبة لـ س اذاً ( تذكر) مشتقة
جتا(2ص) بالنسبة لـ س = - 2جا(2ص) × دص/دس
وبالعودة الى المسألة :

جا(3س) جتا(2ص) = جا(2ص)

                                               دص  
3جتا(3س) جتا(2ص) - 2جا(2ص)×ــــــــ×جا(3س)
                                               دس
                        دص
= 2جتا(2ص) × ــــــــــــ
                        دس

اجعل الحدود التى تحتوى على دص/دس
فى الطرف، وباقى المتغيرات فى طرف .

3جتا(3س) جتا(2ص) =

                 دص                                     دص
2جا(2ص)×ــــــــ×جا(3س) + 2جتا(2ص) × ــــــــــــ
                 دس                                     دس

وبأخذ دص/دس عامل مشترك ..

 دص
ـــــــــ [2جا(2ص) جا(3س) +2جتا(2ص) ]
 دس

= 3جتا(3س) جتا(2ص)

اذاً : دص / دس

               3جتا(3س) جتا(2ص)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        2جا(2ص) جا(3س) +2جتا(2ص)

وعن طريق بعض المتطابقات المثلثية ستصل الى
نفس النتيجة التى وصلت اليها بدون فك ظل الزاوية .
تستطيع مثلاً قسمة البسط، والمقام على جتا(2ص)

                       3جتا(3س)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             2ظا(2ص) جا(3س) +2


                       3جتا(3س)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             2(ظا(2ص) جا(3س) +1 )

لقد تعمدت حل السؤال عن آخر حتى تقارن
بين الإشتقاق الأول ، والثانى ، فهل هذا
يعنى ان :
 [ظا(2ص) جا(3س) + 1] = قا²(2ص)
اذا ما قارناها بالمشتقة قبل فك الظل ؟؟
نعم بالتأكيد هذه المساواه صحيحة ( لكن
لاحظ هى ليست متطابقة عامة ، بل هى
صحيحة فى هذه المسألة فقط لأنها تحققها
واذا اردت التحقق ايضاً من هذا اختبر نقطة
تحقق الدالة وعوض، مثلاً النقطة (0 ، 0 )

[ظا(0) جا(0) + 1] = قا²(0)

وبالفعل المتطابقة صحيحة تماماً فى ظل
هذه المسألة فقط .


ثانياً : الإشتقاق الصريح :

يعتمد هذا الإشتقاق عن طريق فصل ص فى صورة
مستقلة عن صورتها س ، والفعل هذا نحول ظا(2ص)
الى الظل العكسى لها .. هكذا .. بما ان :

جا(3س) = ظا(2ص)       . .  اذاً

            -1
2ص = ظا [جا(3س)]    .. اذاً

              -1
ص = ½ ظا [جا(3س)]


ثم تذكر ان : مشتقة الظل العكسى :

           مشتقة الزاوية
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         مربع الزاوية + 1

              -1
ص = ½ ظا [جا(3س)]


  دص              3جتا(3س)
ـــــــــــ =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 دس           2 (جا²(3س) + 1 )


ولا تندهش من ان النتيجة متختلفة عن الأولى،
او الثانية، لأن مثل هذه الأشياء تحدث كثيراً فى
الدوال المثلثية، لأنها اولاً دوال دورية ( تكرر قيمها
كل فترة معينة) ، ثانياً لكثر المتطابقات المثلثية التى
تؤدى نفس الغرض للوصول الى نفس الحل، وبمقارنة
هذه المشتقة بالأولى : ينبغى علينا ان نتحقق من ان

جا²(3س) + 1 = قا²(2ص)

بالتعويض بالنقطة ( 0 ، 0 )  التى تحقق الدالة الاصلية
ثم تحقق من ان :

جا²(0) + 1 = قا²(0)

وبالفعل هذا صحيح تماماً لأنها تؤدى الى
نفس صور المشتقات الأولى عند اى نقطة .