ما السبب فى أن مشتقة مساحة الدائرة تعطى محيط الدائرة

قانون مساحة الدائرة = ط×نق²
معدل تغير المساحة بالنسبة للقطر (د م \د نق) = 2×ط×نق  وهو نفسة قانون محيط الدائرة

قانون حجم الكرة =  4\3 × ط × نق³
معدل تغير الحجم بالنسبة للقطر(د ح \د نق) = 4×ط×نق²  وهو نفسة قانون مساحة سطح الكرة

قانون الحجم الفائق لما فوق الكرة = 1\2 ×ط^2×نق^4
معدل تغير الحجم الفائق بالنسبة للقطر(د ف \د نق) = 2×ط²×نق³  وهو نفسة قانون الحجم المحيط بالكرة الفائقة.

فما هي العلاقة؟

محاولة تخيل ما حدث (مجرد تخيل، والا فإن د نق تؤول للصفر)

سأتناول شرح الدائرة ثم يكون من السهل استنتاج البقية .
ليكن لدينا دائرة نصف قطرها نق فتكون المساحة ط نق²
بعدها نضيف الى نصف القطر دنق والمعنى كأننا لم نضيف
شىء حيث دنق هو معدل تغير نصف قطر الدائرة وهو كما
تعلم كمية تؤول الى الصفر، بدورها ايضاً لا تؤثر كثيراً فى
مساحة الدائرة وكأن شىء لم يحدث، ولكن التفاضل يعترف
بهذه الكميات المتناهية فى الصغر ويصنع لها كل اعتبار .

الآن : محيط الدائرة = 2 ط نق

بعد احداث تغيير = 2 ط (نق + د نق) = 2ط نق + 2ط دنق

ما الذى حدث ؟ لقد حدث انه حدث تغيير بسيط جداً فى
نصف القطر، والذى بدوره قد صنع حلقة حول محيط الدائرة
ونحن الآن نريد ان نحسب مساحتها ..

مساحة هذه الحلقة = 2 ط (نق + د نق) × د نق

(طبعاً فعد فردها تعطيك شكل اشبه بالمستطيل)

          معدل تغير مساحة الدائرة        دم
الآن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
           معدل تغير نصف قطرها         دنق

    2 ط (نق + د نق) × د نق
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            د نق

= 2 ط (نق + د نق)

وبهذا يمكننا اهمال القيمة د نق حيث أنها قيمة مهملة
أصلاً وتؤول الى الصفر، متى يكون لها قيمة ؟؟ فى حالة
ضربها فى مالانهاية مثلاً او قسمتها على قيمة قريبة منها
ولهذا السبب نهمل د نق حيث انها ليست عامل مؤثر فى
هذه الحالة.
                         دم
وبناء عليه يصبح : ـــــــــــــــ = 2 ط نق
                        د نق

وهذا تفسيير هندسى مقبول من وجهة نظرى، بحيث يمكن
استنتاج نفس الشىء بالنسبة للكرة .


مرجع قد يُفيدك 

---------------------------------------------------------------------------------------
.

بالنسبة للكرة فالموضوع مشابه لما حصل :

حجم الكرة = 4\3 ط نق³

حجم الكرة بعد الزيادة = 4\3 ط (نق + د نق)³


معدل تغير الحجم     4\3 ط (نق + د نق)³ - 4\3 ط نق³
ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 معدل تغير نق                      د نق

   4\3 ط[3 (د نق) نق² + 3 (دنق)² نق + (د نق)³]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                            د نق


= 4\3 ط[3 نق² + 3(د نق) نق + (د نق)²]

والآن يمكنك تجاهل  3(د نق) نق + (د نق)² حيث أنها قيمة تؤول للصفر .

                      معدل تغير الحجم
وبناء عليه فإن : ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 4 ط نق²
                       معدل تغير نق