كيف نوجد نها(س←0) [لط(1 - س²) - لط(جتاس)]/س² بدون استخدام قاعدة لوبيتال ؟

لقد اوجدت النهاية بالفعل بدون قاعدة لوبيتال لكن هذا
يتطلب منا ان نعلم مسبقاً التالى :
1
اذا كنا نعلم أن : نهـــــــــــا (1 + ــــــــــ)^س = هـ
س←∞ س

1 1
فإن : نهـــــــا (1 - ــــــــ)^س = ــــــــــ
س←∞ س هـ

حيث هـ هو العدد النيبيرى ...
------------------------------------------------------------------
بالعودة الى مسألتك، بعد توزيع البسط على المقام ...

لط(1 - س²) لط(جتاس)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 س²

لط(1 - س²) 2لط(جتاس)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 2س²

لط(1 - س²) لط(جتا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 س²

لط(1 - س²) لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 س²

لط(1 - س²) جا²س لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 جا²س س²

جا²س
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــ = 1
س←0 س²

ولهذا نقوم بعزلها من النهاية الثانية فتصبح النهاية بهذا الشكل ...

لط(1 - س²) لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 جا²س

فى النهاية الثانية نفرض أن جاس = ع وعندما س
تؤول للصفر فإن ع ايضاً تؤول للصفر .. بالتعويض

لط(1 - س²) لط(1 - ع²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
س←0 س² ع←0 ع²

ما الفرق بين النهاية الأولى والنهاية الثانية ؟

الإجابة : لا فرق ...

اذاً بكل بساطة نستطيع ان نقول أن النهاية اصبحت :

لط(1 - س²) لط(1 - س²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
س←0 س² س←0 س²

لط(1 - س²)
= ½ نهــــــــا ــــــــــــــــــــ
س←0 س²

1
بوضع ـــــــــــــ = ص ومنها ص تؤول الى ∞
س²

وبعدها تأخذ النهاية هذا الشكل ...

1
= ½ نهــــــــا ص لط(1 - ـــــــــ)
ص←∞ ص

1
= ½ نهــــــــا لط(1 - ـــــــــ)^ص
ص←∞ ص

1
= ½ لط(ـــــــــ) = ½ × -1 = -½
هـ

كلمات مفتاحية