كم عددا يمكن تكوينه من 4 ارقام مختلفه وتحتوي على الرقمين 8،0 ؟

لقد فهمت سؤالك هكذا : كم عدداً يمكن تكوينه
من أربع أرقام مختلفة (اى خانات العدد) ويحتوى
على الرقمين 0 ، 8  ويكون الجواب كالتالى .

هذه هى المجموعة الرئيسية {0 ، 8 ، س ، ص}

الآن جميع الأرقام هى من 0 الى 9 = 10 أرقام
نستثنى منها 0 ، 8 فيتبقى 8 أرقام ....

س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بسبع طرق نظراً لأننا
نستثنى  منها قيمة  س

المجموعة السابقة يمكن توليد تبديلات منها عددها 4! = 24

ولكن نريد ان نحذف منها المجموعات التى يكون
الصفر على يسارها لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، وهذه المجموعات الإستثنائية تكون
تعتمد على عدد تبديلات المجموعة {8 ، س ، ص}
وعدد تبيدلاتها معروف وهو 3! = 6

وبناء عليه يصبح عدد المجموعات الناشئة من
التبديل هى 24 - 6 = 18 مجموعة ممكنة .

نلاحظ أيضاً أنه لا فرق مثلاً بين المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}
وبين المجموعة {0 ، 8 ، ص ، س} وهذا لأننا نتعامل مع متغيرات
، فمثلاً اذا كانت س = 1 ، ص = 2  فإننا نضمن من
نفس المجموعة وجود س = 2 ، ص = 1  لأننا نتعامل مع متغيرات
وليس ثوابت تأخذ قيماً محددة، ولهذا نقسم العدد 18 على 2
فتكون جميع المجموعات الممكنة = 9

ونظراً لأن س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بـ 7 طرق
اذاً كل مجموعة من الـ 18 مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة .

اذاً عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد

====================================

ولمراعاة المزيد من الدقة، نكتب جميع التبديلات
الناشئة من المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}

{0 ، 8 ، س ، ص} , {0 ، 8 ، ص ، س}
{0 ، س ، 8 ، ص} , {0 ، س ، ص ، 8}
{0 ، ص ، 8 ، س} , {0 ، ص ، س ، 8}
{8 ، 0 ، س ، ص} , {8 ، 0 ، ص ، س}
{8 ، س ، 0 ، ص} , {8 ، س ، ص ، 0}
{8 ، ص ، 0 ، س} , {8 ، ص ، س ، 0}
{س ، 0 ، 8 ، ص} , {س ، 0 ، ص ، 8}
{س ، 8 ، 0 ، ص} , {س ، 8 ، ص ، 0}
{س ، ص ، 0 ، 8} , {س ، ص ، 8 ، 0}
{ص ، 0 ، 8 ، س} , {ص ، 0 ، س ، 8}
{ص ، 8 ، س ، 0} , {ص ، 8 ، 0 ، س}
{ص ، س ، 0 ، 8} , {ص ، س ، 8 ، 0}

لاحظ عددهم = 4! = 24 ولكن عدد المجموعات
التى الصفر آخر عنصر فيها من اليسار تكون عدد
مكون من 3 خانات لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، ونحن لا نريد ذلك .

وعدد هذه المجموعات الإستثنائية = 3! = 6

أو حتى يمكنك عدهم مباشرة ً بشكل تقليدى .

بقسمة هذا العدد على 2 كما قُلنا ...

اذاً عدد المجموعات الممكنة = (24 - 6 )/2 = 9 مجموعات

ولكن نظراً لأننا نريد عدد مكون من اربعة أرقام مختلفة
يكون فيها دائماً الـ 0 ، 8 فإن كلاً من س ، ص يجب ان
تكون أرقام مختلفة ايضاً، ولما كانت جميع الأرقام من
صفر الى 9 عددها 10 فنطرح منها 0 ، 8 فيتبقى 8
أعداد (تأخذها إحتمالات س الممكنة) فتصبح ص
ذو 7 إحتمالات ممكنة .

الخلاصة :

س تكتب بـ 8 طرق ممكنة .
ص تكتب بـ 7 طرق ممكنة .

اذاً : كل مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة ممكنة .

اذاً : عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504

============================
 الآن بعدما فهمنا ما حدث نريد ان نحل السؤال فى بضعة أسطر ...

المجموعة الرئيسية هى {0 ، 8 ، س ، ص} ، عدد طرق س = 8 ، عدد طرق ص = 7
اذاً عدد طرق (س×ص) = 8 × 7 = 56 ، بقى لنا أن نوجد كم مجموعة يمكن إنشائها ؟
الإجابة هنا تتعلق بعدد تبديلات 0 ، 8 والناتج هو 4 ل 2 = 12 (4 تباديل 2 = 12)
ولكن لا نريد المجموعات التى آخر عنصر فيها صفراً ، لنرى كما عددها ...
{س ، ص ، 8 ، 0} , {س ، 8 ، ص ، 0} , {8 ، س ، ص ، 0}  أى ان عددها 3

ليكون بذلك عدد المجموعات الممكنة = 12 - 3 = 9 مجموعات .

وبناء عليه عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد ممكنة .
============================
• تعليقات إضافية على ضرب المجموعات وبعض خصائصها •

ان ضرب مجموعة فى نفسها تضمن لنا وجود (س،ص) ، (ص،س)

مثال :

س = {1 , 2 , 3}
ص = {1 , 2 , 3}


س×ص = ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (2 , 3) ،                  
                            (3 , 1) ، (3 , 2) ، (3 , 3)}

فمثلاً وجود العنصر (1 ، 2) يضمن لنا وجود (2 ، 1) لمجرد اننا ضربنا
مجموعة فى نفسها، واذا حذفنا العناصر (س،س) منها يتبقى لنا
عدد عناصر وقدره 2 × 3 = 6

العناصر المكررة هى (1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (3 ، 3)

وهذه خاصية هامة جداً عند ضرب مجموعة فى نفسها ... 

معلومة أخرى :

اذا كانت س = ص فإن س ⊆  ص ، ص ⊆ س  ، س×ص = ص×س
، س ∩ ص = ص ∩ س = س = ص

النقطة الثانية : اذا كان  س ∩ ص = ع

فإن : (س×ص) ∩ (ص×س) = ع²

مثال :

س = {1 , 2 , 3 , 4}
ص = {1 , 2}

س×ص = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (3 , 1) ، (3 , 2)
            ، (4 , 1) ، (4 , 2)}

ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (1 , 4) ، (2 , 1) ، (2 , 2
            ، (2 , 3) ، (2 , 4)}

لاحظ : س ∩ ص = {1 , 2}

(س×ص) ∩ (ص×س) = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2)}

وهذه خاصية أيضاً مهمة جداً عند إجراء ضرب المجموعات ...