كيف نثبت أن sqrt(3) - sqrt(2) لا ينتمى الى Q ؟

فى مثل هذه المسائل البرهان نلجأ الى البرهان بالتناقض .

نفرض أن :  $\sqrt(3) - \sqrt(2) = \frac{a}{b}$

حيث أن العدد اذا كان نسبياً فيمكن وضعه فى
أبسط صوره، ولنفرض أننا قد وضعناه فى أبسط
صورة .. اذاً  gcd(a,b) = 1  والمعنى ان المضاعف
المشترك الأكبر بين a و b  يساوى 1 .

والآن نقوم بتربيع الطرفين ...

$$\left(\sqrt(3) - \sqrt(2)\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$$

$$1 - 2\sqrt(6) = \frac{a^2}{b^2}$$

انت تعلم انه مربع عدد نسبى يعطى عدد نسبى أيضاً .
ولكن الواحد عدد نسبى قطعاً، اذاً حتى تكون الفرضية
السابقة صحيحة يجب ان يكون $\sqrt(6)$ عدد نسبى .
ويمكن ان نتعرف على ذلك من خلال ايجاد $\sqrt(6)$
بدلالة كلاً من a و b  .

وهنا نعمل على فرضية أخرى أيضاً :

ليكن :  $\sqrt(6) = \frac{s}{r}$ حيث gcd(s,r) = 1

وهذا يعنى وفق نظرية الأعداد أن : gsc(a²,b²) = 1

بتربيع الطرفين :     $\frac{s^2}{r^2} = 6$

وهذا يؤكد لنا على أن r² قاسم لـ s² والدليل ان
خارج القسمة 6 ولكن هذا يحولنا الى gcs(a,b) = r²
وهذا بالطبع مخالف قد فرضناه الا أن r² = 1   ومنها
نحصل على فى هذه الحالة على أن : s² = 6
,هذا يعنى أن s² عدد زوجى يقبل القسمة على 2
اذاً s ايضاً تقبل القسمة على 2  لأن 2 عدد أولى .

لتكن :  s = 2k  حيث  k  عدد صحيح .. بالتعويض

4k² = 6  ومنها  2/3 = k² = 4/6  وهذا تناقض لأنه اذا
كان k عدد صحيح فإن مربعه يجب أن يكون صحيح أيضاً .
            
النتيجة : $\sqrt(3) - \sqrt(2)$ لا تنتمي إلى المجموعة Q‏