Loading web-font TeX/Main/Regular
  • 400_F_28612555_2WG0UNTnuxk3CHoqSckYkjMe1yexlYXd
  • stock-photo-mathematics-background-22109443
  • stock-photo-mathematics-background-22109443
  • stock-photo-11722429-math-geometry-background
  • stat4u_cover_eng
  • .com/
  • stock-vector-math-background-73955404
  • Eulers_formula
  • math-wallpapers-backgrounds-for-powerpoint
  • 81097-Royalty-Free-RF-Clipart-Illustration-Of-A-Math-Problem-Background-On-Ruled-Paper
  • matematica
  • binary_heart
  • 5pascaltri1
  • allconics
  • Mat_Plato4
  • Maclaurin_sine
  • be905f6ac2486c334186459a4b3a8ef0
  • unitcirc
  • 22706
  • zeta
  • WindowsLiveWriterTaylorSeriesApproximationIllustrated9min_A7C5taylorSeries_thumb
  • matematik01
  • funny-t-shirt-keep-it-real
  • funny%252Bexam%252Banswer%252B003
  • math3
  • funny-math-pic-1
  • 03-math
  • MathFail1
  • 00630-funny-cartoons-math-brain
  • 2007-11-26-graduate-topology-true-story
  • m104027
  • test.jpg
  • worldmathday
  • mazin_mathematics2
  • mickeymouse

كيف نثبت أن sqrt(3) - sqrt(2) لا ينتمى الى Q ؟

السبت، 22 سبتمبر 2012 التسميات: ,
فى مثل هذه المسائل البرهان نلجأ الى البرهان بالتناقض .

نفرض أن :  \sqrt(3) - \sqrt(2) = \frac{a}{b}

حيث أن العدد اذا كان نسبياً فيمكن وضعه فى
أبسط صوره، ولنفرض أننا قد وضعناه فى أبسط
صورة .. اذاً  gcd(a,b) = 1  والمعنى ان المضاعف
المشترك الأكبر بين a و b  يساوى 1 .

والآن نقوم بتربيع الطرفين ...

\left(\sqrt(3) - \sqrt(2)\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}


1 - 2\sqrt(6) = \frac{a^2}{b^2}


انت تعلم انه مربع عدد نسبى يعطى عدد نسبى أيضاً .
ولكن الواحد عدد نسبى قطعاً، اذاً حتى تكون الفرضية
السابقة صحيحة يجب ان يكون \sqrt(6) عدد نسبى .
ويمكن ان نتعرف على ذلك من خلال ايجاد \sqrt(6)
بدلالة كلاً من a و b  .

وهنا نعمل على فرضية أخرى أيضاً :

ليكن :  \sqrt(6) = \frac{s}{r} حيث gcd(s,r) = 1

وهذا يعنى وفق نظرية الأعداد أن : gsc(a²,b²) = 1

بتربيع الطرفين :     \frac{s^2}{r^2} = 6

وهذا يؤكد لنا على أن r² قاسم لـ s² والدليل ان
خارج القسمة 6 ولكن هذا يحولنا الى gcs(a,b) = r²
وهذا بالطبع مخالف قد فرضناه الا أن r² = 1   ومنها
نحصل على فى هذه الحالة على أن : s² = 6
,هذا يعنى أن s² عدد زوجى يقبل القسمة على 2
اذاً s ايضاً تقبل القسمة على 2  لأن 2 عدد أولى .

لتكن :  s = 2k  حيث  k  عدد صحيح .. بالتعويض

4k² = 6  ومنها  2/3 = k² = 4/6  وهذا تناقض لأنه اذا
كان k عدد صحيح فإن مربعه يجب أن يكون صحيح أيضاً .
            
النتيجة : \sqrt(3) - \sqrt(2) لا تنتمي إلى المجموعة Q‏

2 التعليقات:

Unknown يقول... 1

اريد طريقة تبيان ان جذر 3 عدد أصم أريد الطريقة من فضلكم

Sabah يقول... 2

شكرا لكم⁦☹️⁩💜💜

إرسال تعليق

 
mathematics problem solving © 2010 | تعريب وتطوير : سما بلوجر | Designed by Blogger Hacks | Blogger Template by ياعرب