اثبت انه اذا كان : اذا كان : أ > س > ب فإن 1/ب > س > 1/أ ؟

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ

ويمكن اثبات ذلك نقول :

بما أن : أ > س > ب

اذاً : أ - س  ،  س - ب كلاهم أكبر من الصفر

والآن نريد ان نبين أن :

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ
     
                            1            1
أولاً نتحقق من أن : ـــــــــــــ - ــــــــــــ > 0
                           ب           س

نحسب حساب عادى جداً (نوحد المقامات ...)

    1              1             س - ب
ـــــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
   ب            س              ب س

ولكننا ذكرنا أن  س - ب  أكبر من الصفر ولهذا
يجب ان نتحقق ايضاً من ان المقام وهو  ب س
أكبر من الصفر .

وبالفعل ب س أكبر من الصفر  لماذا ؟

نقول : بما أن  س - ب أكبر من الصفر  اذاً

س > ب   بضرب الطرفين فى ب

ب س > ب²   ولكن نحن نعلم انه اذا كانت ب عدد حقيقى

ما خلا الصفر .

فإن التربيع دائماً يكون عدد موجب،

                                1               1
وبهذا نكون اثبتنا أن :  ـــــــــــــــ -  ـــــــــــــــــ > 0
                               ب              س

وهكذا نكون اثبتنا الشق الأول من السؤال، والشق الثانى
يكون بنفس الطريقة بحيث نثبت أن :

     1                 1
ـــــــــــــــــ  - ـــــــــــــــــ > 0
    س               أ

علماً أن لدينا علاقة تقول : أ - س > 0

وبعد اثبات الشق الثانى نتحقق من أنه  :


اذا كان : أ > س > ب  فإن

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ

طبعاً ما سبق صحيح فى حالة كان :

أ ، ب ، س تنتمى لـ ح - {0}

حيث لا يجوز القسمة الصفر .